FÓRMULAS PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA PDF

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Recopilación de las fórmulas necesarias para aprobar la asignatura ....

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Análisis de datos económicos: Formulas relevantes

Febrero 2018

Esta resumen de formulas incluye un gran parte de formulas usadas durante el curso. Nota importante: No es la hoja de formulas que vamos a adjuntar el examen. Media aritmética n

Frecuencias unitarias;

x  x  ...  xn   i 1 x 1 2 n n

En el caso contrario;

x

xi

k x1n1  x 2n 2  ...  xk nk xn  i i n i1 n

Comentario: Normalmente usamos la notación que i 1,2,..., n en el sumatorio, pero aquí hemos usado k para indicar el último valor; Es para tener claro que no es lo mismo como el tamaño de la muestra (n) en la formula. No obstante, abajo usamos i 1,2,..., n y el último valor en la sumatorio no tiene que ser lo mismo como el tamaño de la muestra.

xi'  xi k

Cambio de origen;

x ' x k

Cambio de escala; x i' x i k x i'' 

xi k

x ' x k 1 x ''  x k

Media geométrica n

G N x1n 1  x2n 2  xnnn N

x

ni i

n n n 1/N ( x1 1  x 2 2 x n n )

i 1

n

log G log N  xini  i 1

 n  1 1 log   x nii   N  i 1  N

n

 log x

ni i



i 1

1 n  (log x i )n i N i 1

Media armónica H

N 1 1 1 n 1  n 2  ...  n n x1 x2 xn



N 1 ni  i1 x i n

Mediana Número impar de observaciones (n): Número par de observaciones (n):

Me x n 1     2 

x n   x n Me 

  1 2 

  2 

2

En distribuciones agrupadas en intervalos: Busca el valor que ocupa el lugar N / 2 , es decir, identifica el intervalo que contiene la mediana y calcula una aproximación de la mediana;

Me Li  1

 N   N i 1   2  ci  ni      

Moda La moda es el valor que tiene la frecuencia más alta. En distribuciones agrupadas en intervalos debemos identificar el intervalo que contiene la moda y después calcular una aproximación. ni 1    ci a) intervalos de la misma amplitud; Mo L i 1     ni  1  ni 1  

 di 1 b) intervalos de distinta amplitud; Mo L i 1    d i 1  d i1

  c   i

Medidas de posición no centrales; Cuantiles b) Para distribuciones agrupadas en intervalos

Q r / k L i 1

  r  N  N i  1  k   ci    ni    

Varianza de la población n

x n

2 i i

n

n   ( x i   ) i N i1 2

2

 2  i1

N

 x2 n

n

 m2 a2  a 2

2 1

Nota:

 xn

i i

a1 

i 1

N

x

,

a2 

x n 2 i

i

i1

N

Un cambio de origen en la variable no afecta a la varianza; 2 2 Si Yi  X i  k entonces,  y  x porque k es una constante y var(k ) 0 . Un cambio de escala de la variable afecta a la varianza; 2 2 2 Si Yi  X i k entonces,  y  k  x y  y  k  x .

I

La media después de una fusión de grupos es; xT   f i xi i 1

  n f  donde 1  I 1   ni  i1

    y hay I grupos.   I

I

i 1

i 1

2 2 2 La varianza después de una fusión de grupos es;  T  f i i   fi ( xi  xT )

 n2    n1   x1   xT   ( n  n )  x2   1 2   (n1 n2 )    n2   2  n1  2  n2  n1  ( x2  xT ) 2  (x 1  x T ) 2     2     1    T2          (n1  n 2 )   (n1  n 2 )   (n1  n 2 )   (n 1  n 2 ) 

Ejemplo con dos grupos:

Varianza de la muestra n

 (x

s 2  i1

i

 x )2 n i

n 1

   n  2 s    n  1   

n

x

2 i

ni

i 1

n

  2   x   

Desviación típica o estándar (de una muestra) s  s2 

n

 (x  i

i 1

x )2

ni n 1

Tipificación zi 

xi  x 

zi es la posición relativa de observación i , es decir, cuantas desviaciones típicas por encima de la media o por debajo de la media (si el signo es negativo). Si realizamos el cálculo para todas las observaciones i 1,..., n hemos estandardizado la variable; la media es 0 y la desviación típica es 1.

Medidas de dispersión relativas

C 3  C1 C 3  C1

Recorrido semi-intercuartílico;

Rs 

Coeficiente de variación de Pearson;

CV 

 x

Coeficiente de asimetría de Pearson AP 

x  Mo 

o alternativamente:

AP 

3 ( x  Me) 

Coeficiente de asimetría de R.A. Fisher n

 (x

 x )3

i

ni N

m g 1  33  i1 3/ 2   n 2 ni    ( x i  x) N    i1 m3 a3  3a2 a1  2 a31

Índice de Gini IG 

2 k  xi fi Fˆi  1 x i 1

IG 2 1

k

 p

i

i 1 f f Fˆ i   f j  i  Fi  1  i 2 2 j1

2 IG  cov( x, Fˆ ) x

 pi  1  qi  q i  1 

i1

Si tenemos el porcentaje de renta total para cada grupo i 1,..., k , en lugar de x i , podemos calcular: k

IG  2 u i Fˆi  1 i 1

Distribución normal 1 ( x ) 2

 1 f (x )  e 2  2

2

Coeficiente de Asociación Chi-Cuadrado (χ2)

I

J

   2

n

i1 j1

Coeficiente “C” de contingencia de Karl Pearson C

2 2  n

límite _ máximo  1 

1 min(I ,J )

ij

 e ij  2 e ij

Donde I es número de filas y J número de columnas en la tabla de contingencia. Covarianza de la población      

 n   ( xi  x ) ( yi  y )ni  xy   i 1  N  

 xy m11 a11  a10 a01 n

xyn i

 xy  i 1

i

i

N

 xy

Covarianza de una muestra

s xy

   n     n  1   

n

x

i

yi ni

i1

n

   xy    

Coeficiente de correlación lineal   xy rxy    x y 

  s xy       sx sy    

Regresión lineal y a  bx  u

 b  xy 2  x

a y  b x

  s xy   2   sx

Varianza residual (VR) de una población

 u2

 n ˆ )2 n i   (yi  y  i1  N  

           

 ni  i1   N   n

u

2 i

Varianza residual (VR) de una muestra

s

2 u

     

n

  ˆ) 2 ni    y   n      n  k  n k    

 (y i 1

i

n

 ni    n  

u i 1

2 i

  

yˆ0 a  bx0

Coeficiente de determinación de una población a) con sólo una variable explicativa:   xy   xy  R bb' xy   x2  y2    x y 2

2

 2   rxy  

b) fórmula más general:

VR VE u2 Y2  u2  R2 R 1  2   2 1  2 VT VT Y Y u 2

2 2 2 Donde varianza explicada es VE  R  Y   u . (El subíndice R se refiere a regresión, ¡NO residual!).

Coeficiente de determinación de una muestra (Coeficiente de determinación ajustada)

2

R 2adj 1

su s 2Y

 n 2    ui n i   n  i 1     n  n K       1  n 2    yi n i   n   i1  y2    n  n  1     

 n 1 2 2 Radj 1   (1 R )  n k 

Nota: en este contexto k se refiere al número de parámetros del modelo de regresión.

Momento rs con respecto origen

Momento rs con respecto al las medias

Probabilidad condicionada P( A1 A2 ) 

P ( A1  A2 ) P (A 2 )

Ley de probabilidad total (LPT) P (D )  P (H 1  D )  P (H 2  D )  ...  P( H1 ) P( D H1 )  P (H 2 ) P (D H 2 )  ...

El Teorema de Bayes P( H i D) 

P ( H i ) P ( D Hi ) P( H 1) P( D H 1)  P( H 2 ) P( D H 2 )  ...

Variable aleatoria discreta x

F ( x )  P ( X  x )  p ( x ) 0

x2

 P[ x1  X  x2 ]  p x( x) x1

 P (X  x) 1 - F(x)

Variable aleatoria continua x

F ( x)  P( X  x)  f ( x) dx  

x

 P [x 1 X x 2 ]   f x (x )dx F (x 2 )  F ( x 1) x 2

1



F (x )  f ( x) x

Valor esperado a) discreto

E ( X )  xi f ( x i )

b) continuo

E( X )  xi f ( x)dx

i 



Varianza a) discreto  2 Var ( X )  E(( X   ) 2 )  ( xi   ) 2 f ( xi ) i

b) continuo 

( xi   )2 f ( x )dx  2 Var ( X ) E (( X  ) 2 )   

Desviación estándar   Var ( X )

Distribución Bernoulli p ( x )  p x (1  p ) 1 x

x 0, 1

Bernoulli, esperanza y varianza 1

E[ X ]    x P( X  x) 0 P( X 0)  1P( X 1)  p x0

1

Var (X ) E [ X 2 ]  (E [ X ]) 2  x 2 P ( X x )  p 2 x 0

 0 P( X  0)  1 P( X 1)  p2  p  p2  p(1 p) 2

2

Distribución Binomial

 n f ( x)   p x (1  p ) (n  x )  x

f (x ) = probabilidad de x éxitos en n intentos.  n n!    x x n ! (  x)!  

p = probabilidad de éxito en un intento. (1  p ) = probabilidad de fracaso en un intento. Distribución Binomial, esperanza y varianza E[ X ]  np Var [ X ]  2  np(1  p )

Distribución Poisson e   y P(Y y)  f ( y | )  y!

y 0, 1, 2,...,

Distribución Poisson, esperanza y varianza Var (Y )  

E (Y )  

Función de densidad de distribución Normal

Distribución Chi-cuadrado Y  X12  X 22  ...  Xn2 ~  n2 2 2 2 Donde X 1 , X 2 , ..., X n son variables aleatorios independientes y X i  N (0,1) y n son los grados de libertad.

E (Y ) n

Var (Y ) 2n

Distribución t student tn 

z 1 2 n n

Distribución F de Fisher-Snedecor

Fn1 ,n2 

n21 / n1  2n2 / n2

Muestreo sin reemplazamiento 2 N  n   n  N 1

E (x ) 

Var ( x) 

E (R) 

Var (R ) 

 (1   )  N  n    n  N 1

Teorema Central de Límite Aproximar la distribución Binomial con la distribución Normal. x  np np (1  p )

~ N(0,1)

 x  0,5  np   p ( X x )     np (1  p )     x  0,5  np   p ( X  x )    np(1  p)   

Aproximar la distribución Poisson con la distribución Normal. 



Pi (1)   (1)

i 1





x  ~ N(0,1) 

 y  0,5     p (Y  y )      y  0,5     p (Y  y )    

Aproximar la distribución Chi-cuadrado con la distribución Normal. Z

 n2  n ~ N(0,1) 2n

 y n p (Y  y )    2n 

Varianza muestral es una variable aleatoria con distribución chi-cuadrado y n  1 grados de libertad;

 n2 1 

( n  1) s 2 2

El cociente da las varianzas muestral es una variable aleatoria con distribución F nA  1, n B  1 con n A  1 y nB  1 grados de libertad Fn A  1,n B  1 

s 2A s 2B

Elegir tamaño de muestra para estudiar la proporción poblacional a) sin reemplazamiento n1 n2  1 (n1 / N )

b) con reemplazamiento 2

Z  n1  1  / 2   (1   )  c 

Elegir tamaño de muestra para estudiar la media poblacional a) sin reemplazamiento n2 

n1 1 (n1 / N )

b) con reemplazamiento 2

 Z n1  1  / 2   2  c 

Las fórmulas requieren tamaño de muestra, grandes.

n , y el tamaño de la población,

Estimación puntual Parámeter Media (  )

Estimator Media muestral

N

xn i

x  i1

n

i

N ,

2 Varianza ( )

n

Varianza muestral

Sˆ 2  Proporción ( )

 (x

i

 x ) 2n i

i 1

Proporción muestral

R  ˆp 

n 1 n1 n...