Formules des primitives usuelles à une Cte près PDF

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La notation utilis€e dans cette fiche :  f ( x ) dx = [ F(x) ] o• F est une primitive de f : Donc

 f (x) dx = F(x)+ Cte

1)

si on recherche les primitives de f

b

2)  f ( x )dx = F( x ) a = F(b)  F( a ) si on calcule l’int€grale de f sur [ a , b] b

a

 a dx

Si a est une constante :

=[ax]

xn  1 ] ( o• n  -1 ) n 1 1 1 En particulier  x 2 dx = [  x ] ( c’est la formule avec n = 2 ) 1 En particulier  dx = [ 2 x ] ( c’est la formule avec n= 1/2 ) x 1 1 1  x dx = [ ln x ] et plus g€n€ralement si a0  ax  bdx =[ a ln ax+b  ] n  x dx

e

x

=[

dx = [ e x ]

, et plus g€n€ralement si a0

e

 cos x dx

= [ sin x ]

 sin xdx

= [ cos x ] , et plus g€n€ralement si a0

1

1 x

2

, et plus g€n€ralement si a0

ax

dx  [

1 ax e ] a

 cos(ax  b)dx = [

1 sin (a x+b ) ] a 1

 sin( ax  b)dx = [  a

dx = [ arctan x ] , et plus g€n€ralement si a0

a

2

cos(a x+b ) ]

1 1 x dx = [ arctan ( ) ] 2 x  a a

Lin€arit€

 (f ( x)  g(x ))dx =  f (x)dx +  g(x )dx  f (x )dx

=   f ( x )dx

IntÄgration par parties :

 Si

u' ( x) dx = u( x)

(l’int€grale d’une somme est la somme des int€grales)

(on peut ƒ sortir „ ou ƒ rentrer „ dans l’int€grale une constante multiplicative  )

 u(x) v' (x )dx

[ ln u(x)  ]

= [ u(x)v(x) ]   u ' ( x ) v (x )dx

o• u ' d€signe la d€riv€e de u

F est une primitive de f alors  u ' ( x )f ( u ( x ))dx =[F(u(x))]

Exemple1  u ' (x )e u ( x ) dx =[e u ( x ) ]

Exemple2

 u ' (x ) cos(u (x ))dx  [sin( u( x ))]

n 1 sin 4 x ( u( x ))  3 3 = (sin x )' sin x dx = [ ] ] comme par exemple : cos x sin x dx    n1 4 1 u ' (x ) u' ( x) ] et n= 1/2   dx = [ 2 u ( x ) ] En particulier n = 2   dx = [  2 u(x ) u( x) u( x) u' ( x )( u ( x )) ndx = [

Changement de variable : t = (x)  x= g(t) donc

dx = g’(t) puis dt

 f ( x)dx = 

f(g(t) ) g’(t) dt...