Fractales - Un fractal es basicamente un figura geométrica que se repite a diferentes escalas. PDF

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Un fractal es basicamente un figura geométrica que se repite a diferentes escalas. Los fractales tienen una propiedad que les diferencia de las demas representaciones geometricas y es que son autosimilares, es decir que las figuras se repiten una y otra vez de una forma infinita. Otra propiedad es q...

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HAMELIN – INTERNACIONAL LAIE

FRACTALES Proyecto de matemáticas Ona Niubò Mas

ONA NIUBÒ MAS

MATEMÁTICAS

ÍNDICE Parte teórica  Fractales  ¿Qué son?  Dimensión fractal  Geometría fractal  Fractales clásicos  Ejemplos de fractales en la vida real Parte práctica  Explicación de la parte práctica Bibliografía

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MATEMÁTICAS

Parte teórica

FRACTALES Un fractal es basicamente un figura geométrica que se repite a diferentes escalas. Los fractales tienen una propiedad que les diferencia de las demas representaciones geometricas y es que son autosimilares, es decir que las figuras se repiten una y otra vez de una forma infinita. Otra propiedad es que los fractales tienen un número infinito de vertices. La personalidad mas conocida dentro del mundo de los fractales se podría decir que es Benoît B MandelBrot quien ha desarrollado toda la geometria fractal. Benoît aseguraba que los fractales no tienen 1, 2 o 3 dimensiones sino que tienen un numero no entero de dimensiones como por ejemplo 1.76508 dimensiones. Actualmente los fractales se utilizan para varias cosas por ejemplo para la compresion de imagenes o para aplicar filtros gráficos a las imagenes o incluso para deducir los fenomenosmetereologicos.Existen muchísimos fractales, ya que son muy fáciles de construir.

DIMENSIÓN FRACTAL La medición de formas fractales ha obligado a introducir conceptos nuevos que van más allá de los conceptos geométricos clásicos. El concepto de longitud no está claramente definido. La longitud de la línea fractal depende de la longitud de instrumento, o de la unidad de medida que tomemos, la noción de longitud en estos casos, carece de sentido. Para ello se ha ideado otro concepto: el de dimensión fractal, que sea una generalización de la dimensión euclídea. Sabemos que en geometría clásica un segmento tiene dimensión uno, un círculo tiene dimensión dos, y una esfera tiene dimensión tres. Para que sea coherente con lo dicho una línea fractal tiene que tener dimensión menor que dos (no llena toda la porción de plano). En general lo que sucede es que la longitud de la curva fractal es superior a la del segmento de recta que lo genera, y por lo tanto, en 2

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general la dimensión fractal será un número comprendido entre uno y dos.

Para calcular la dimensión de un fractal se usan los conceptos de límite, logaritmo, escalas y medidas. En el cálculo de la dimensión de fractales muy complejos como el conjunto Mandelbrot se usan computadoras, pero para fractales más simples se usan formulas matemáticas, una muy común es la de Hausdorff-Besicovitch. Ejemplo: el cálculo de la dimensión del triángulo de Sierpinski, utilizando un método llamado similitud por duplicación. Si tomamos un segmento de longitud 1 y lo duplicamos tendremos 2 segmentos iguales al original

Si duplicamos los lados de un cuadrado de lado 1 tendremos 4 cuadrados iguales al original

Tomamos ahora un cubo de largo, alto y ancho 1 y duplicamos todas sus medidas, tendremos ahora 8 cubos iguales al original.

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Disponemos estos datos en una tabla:

FIGURA

DIMENSION

Nº DE COPIAS

Líneas

1

2 = 21

Cuadrado

2

4 = 22

Cubo

3

8 = 23

Similitud al duplicar

d

n = 2d

GEOMETRÍA FRACTAL Rama de la geometría, introducida por el matemáticoMandelbrot, utilizada para explicar muchosobjetos comunes, como nubes, costas, rangos de montañas, ríos y árboles que no pueden ser descritos por la geometría Euclidiana tradicional. 4

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La geometría fractal se utiliza sobre todo en a naturaleza para explicar circunstancias, características y comportamientos de elementos y objectos que otras geometrías no pueden explicar.

FRACTALES CLÁSICOS

La curva de koch

El creador en 1904 fue Niels FabianHelge von Koch , matemático sueco. Partimos de un triángulo equilátero. Lo dividimos en tres partes iguales de longitud 1/3 cada lado. Sustituimos el segmento central por dos segmentos de tamaño idéntico formando un diente. Tenemos una curva poligonal P1 de longitud 3·4··1/3=4. Repetimos la operación con cada uno de los cuatro nuevos segmentos de cada uno de los "lados". Obtendremos así la curva P2 de longitud 3·42·1/32=16/3. La iteración indefinida nos proporciona la isla de Koch o copo de nieve de Koch.

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Laisla de koch

Salchicha de Minkowski

Curva del Dragón

Su frontera tiene una dimensión fractal de 1,5236270862[14] .

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Curva de Levy

Estimado por Duvall y Keesling (1999). La propiacurvatiene una dimensión fractal de 2.

Triángulo de Sierpinski

El matemáticopolacoWaclawSierpinskiintrodujo este fractal en 1919. Partimosde un triánguloequilátero. Seguidamentecalculamoslos puntosmedios de cada lado y construimos a partir de ellos un triánguloequiláteroinvertido de lado 1/2. Lo recortamos. Ahorarepetimos el proceso con cada uno de los tres triángulos de lado 1/2 que nos quedan. Así que recortamos, esta vez, tres triángulosinvertidos de lado 1/4. Si repetimosinfinitamente el procesoobtendremos una figura fractal denominada triángulo de Sierpinski.

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Alfombrade Sierpinski

Cada una de las caras de la esponja de Menger es una alfombra de Sierpiński, como lo es la superficie inferior de la superficie de Kochcuadrática tridimensional

De Koch a Sierpinski

Hexágono de Sierpinski

Polígonos de Sierpinski 8

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El juego del caos

Curvas de Cesàro

Fractal pentagonal

H

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En cada iteración se cambia cada hexágono por un copo de 7 hexágonos. Su frontera es el copo de von Koch y contiene infinitos copos de Koch (blancos y negros).

C

d Hilb t

Dibujamos un cuadrado. Lo dividimos en cuatro partes iguales. Unimos los centros de los cuatrocuadrados. Volvemos a dividir cada cuadrado en cuatrocuadradosidénticos y unimos de nuevo los centros de todos los cuadradosmediante una sola curva). Observamoscómo la curvaserpenteacomenzando en el cuadrado superior izquierdo y acabando en el cuadrado superior derecho. En el límiteobtendremos la curva de Hilbert.

C

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d M

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Esta curva es un caso particular de la curva de Hilbert. Sudefinición es igual, pero la curva de Moore impone como condición inicial adicional que la curvadebe ser cerrada.

Curva de Peano

Familia de curvasconstruidas de forma similar, como las curvas de Wunderlich.

Logo de la SEMCV

Logo de la SEMCV 11

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Otra curva de relleno

Las aspas de Vicsek 1

Las aspas de Vicsek2

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Construidas mediante la sustitución iterativa de un cuadrado por una cruz formada por cinco cuadrados. Cada una de ellas es una variante ya que existen los dos tipos de aspas de Vicsek.

Isla de Gosper

Curva de Gosper

Su frontera es la isla de Gosper.

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Árbol pitagórico

Se genera a partir de un cuadradodibujando un triángulorectángulo e isósceles (isorrectángulo) de forma que la hipotenusa esté sobre uno de los lados del cuadrado. Sobre cada cateto del triángulo se dibuja un cuadrado y se repite el proceso para cada cuadrado que se genere en la etapa anterior.

Se construye dividiendo cada segmento en tres y eliminando el de en medio en cada iteración. No es denso en ninguna parte y es un conjunto no numerable.

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Conjunto de Cantor en 2D.

Fractal del T - cuadrado

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Pentagramas

EJEMPLOS DE FRACTALES EN LA VIDA REAL 

Los relámpagos



La coliflor, etc

Podemos decir que estos dos elementos son ejemplos de fractales en la vida real porque son autosimilares, es decir la parte es similar al todo. Este fenómeno lo introdujo BenoîtMandelbrot, uno de los genios de la segunda mitad del siglo XX, el cual lo explico en su libro “La geometría fractal de la naturaleza”. 16

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¿Por qué podemos afirmar que tanto los relámpagos como la coliflor son fractales? Porque si una persona parte una coliflor en trozos más pequeños veremos que parecen mini coliflores, por tanto le ocurre el fenómeno de autosimilaridad, por lo tanto es correcto afirmar que la coliflor es un ejemplo de fractal.

En cambio con el relámpago desde un punto de vista teórico el rayo es fractal porque una parte del relámpago es igual en su aspecto al rayo en su conjunto. Pero fijándonos en un punto de vista experimental podríamos llegar a ver que el relámpago tiene características autosimilares aunque a una escala muy pequeña por lo que realmente tanto a nivel teórico como práctico es un ejemplo de fractal.

î

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Parte práctica En la parte práctica se llevaran a cabo siete fractales hecho con papel tamaño A3 y utilizando tijeras. Esta parte práctica se realiza para demostrar que los fractales son fáciles de hacer y que no cuestan mucho esfuerzo. A continuación se mostraran los fractales realizados, de los cuales cuatro de ellos han sido inventados y los otros son fractales clásicos:

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Triángulo de Sierpinski

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

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Escalera Fractal

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Conjunto de Cantor

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

Fractal inventado 1



Fractal inventado 2

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

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Fractal inventado 3

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

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Fractal inventado 4

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Bibliografía http://usuarios.multimania.es/Hylian57/fractal.htm http://www.abc.es/ciencia/20130413/abci-relampagos-fractales-201304121429.html http://platea.pntic.mec.es/~mzapata/tutor_ma/fractal/fractal.htm http://www.xatakaciencia.com/matematicas/que-son-los-fractales-y-como-se-construyen http://www.oni.escuelas.edu.ar/olimpi99/fractales/

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http://docentes.educacion.navarra.es/msadaall/geogebra/fractales.htm http://www.youtube.com/watch?v=a4FKizvVx0c http://www.youtube.com/watch?v=aepxB7Y-0UA http://www.youtube.com/watch?v=A53WfpOTAMQ http://www.youtube.com/watch?v=5dOtaM0QYKo libro: “una nueva manera de ver el mundo. La geometría fractal” de María Isabel BinimelisBassa http://www.dmae.upm.es/cursofractales/capitulo1/2.html http://definicion.de/frecuencia/

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