Fragenkatalog - Vorbereitung für Klausur PDF

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Vorbereitung für Klausur...

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Fragenkatalog zur Vorlesung Mathematische Stochastik Wintersemester 2018/19 S. Christensen Die folgenden Fragen sollen dazu dienen, nach einer Wiederholung des bisher behandelten Stoffs zu ¨uberpr¨ ufen, ob Sie die wesentlichen Punkte verstanden haben. 0. Beantworten Sie die Grundlegenden Fragen zu allen (bisher behandelten) Kapiteln. 1. Seien A, B Ereignisse. Beschreiben Sie das Ereignis, dass entweder A oder B eintritt, mengentheoretisch. 2. Geben Sie einen passenden Ergebnisraum f¨ur den sechsfachen W¨ urfelwurf an. 3. Es werde ein W¨ urfel geworfen. Zeigt dieser k, k = 1, ..., 6, werden k M¨unzen geworfen. Geben Sie einen passenden Ergebnisraum an. 4. Seien A1 , A2 , ... Ereignisse. Beschreiben Sie das Ereignis lim sup An in Worten. S T 5. Seien A1 , A2 , ... Ereignisse. Wieso ist dann auch n∈N k≥n Ak ein Ereignis? Beschreiben Sie dieses in Worten. 6. Motivieren Sie die definierenden Eigenschaften von σ-Algebren aus stochastischer Sicht. 7. Sei Ω eine Menge. Beschreiben Sie alle σ-Algebren auf Ω mit genau 3 und mit genau 4 Elementen. 8. Beschreiben Sie im Modell des unendlichen M¨unzwurfs das Ereignis, dass unendlich oft Zahl f¨ allt. Ist dieses Ereignis eine Zylindermenge? Ist es in der Produkt-σ-Algebra enthalten? 9. Motivieren Sie die definierenden Eigenschaften von Wahrscheinlichkeitsmaßen aus stochastischer Sicht. 10. Beweisen Sie einige der Rechenregeln f¨ur Wahrscheinlichkeitsmaße, z.B. P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B). 11. Inwiefern motiviert das Beispiel von Vitali unsere Definition von Wahrscheinlichkeitsr¨ aumen? 12. Welche Rolle spielt die Abz¨ahlbarkeit im Kapitel 2?

13. F¨ ur welche(s) c ∈ R ist durch P ({ω }) = cω ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf Ω = {1, 2, ..., n}, n ∈ N, gegeben? 14. Begr¨unden Sie, dass das Ziehen aus einer Urne ohne Reihenfolge und mit Zur¨ucklegen kein Laplaceexperiment darstellt. Wie modellieren Sie dieses stattdessen? 15. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit beim Lotto genau 3 Richtige zu haben? 16. Warum definiert man Zufallsvariablen so, wie man sie definiert? 17. Welche Einschr¨ankung stellt die Messbarkeitsbedingung f¨ ur Zufallsvariablen dar, wenn der zugrundeliegende Wahrscheinlichkeitsraum diskret ist. 18. Rechnen Sie nach, dass die Verteilung einer Zufallsvariablen ein Wahrscheinlichkeitsmaß ist. 19. Geben Sie ein Modell zum zweifachen M¨unzwurf einmal mittels Angabe eines Wahrscheinlichkeitsraums und dann mittels Zufallsgr¨ oßen an. 20. Gibt es zu folgenden Eigenschaften je ein reelles Wahrscheinlichkeitsmaß, das dies erf¨ullt? Wenn es ein solches nicht gibt, dann begr¨ unden Sie dies. Ansonsten beschreiben Sie bitte ein konkretes. (a) P ({0}) = 1/2, P ((−∞, 0)) = 1/3. (b) P ({0}) = 1/2, P ((−∞, 1)) = 1/3. (c) P (Q) > P (R \ Q). (d) P ({x}) > 0 f¨ ur alle x ∈ Q. (e) P ({x}) > 0 f¨ ur alle x ∈ R \ Q. 21. Zeigen Sie, dass eine Verteilungsfunktion FP zu einem reellen Wahrscheinlichkeitsmaß P rechtsseitig stetig ist. 22. Geben Sie ein reelles Wahrscheinlichkeitsmaß ohne stetige Dichte an. 23. Geben Sie eine Verteilungsfunktion an, die ¨uberall außer in einem Punkt stetig differenzierbar ist, aber keine Dichte besitzt. 24. Definieren Sie eine Verteilungsfunktion, die auf einem Intervall mit der Sinusfunktion ¨ubereinstimmt. 25. Hat Ihre Verteilungsfunktion eine stetige Dichte? Berechnen Sie diese ggf. 26. Wenden Sie den Dichtetransformationssatz auf ein Beispiel Ihrer Wahl an.

27. Seien (Ω, A, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum, (Ω′ , A′ ) ein messbarer Raum, und X : Ω → Ω′ , h : Ω‘ → R Zufallsvariablen. Entscheiden Sie von folgenden Aussagen, ob sie wahr, i.a. falsch oder Quatsch sind: (a) X ist durch die Verteilung eindeutig beschrieben. (b) Die Verteilung von X ist durch die Verteilungsfunktion eindeutig beschrieben. (c) h(X) ist durch die Verteilung eindeutig beschrieben. (d) Die Verteilung von h(X) ist durch die Verteilungsfunktion eindeutig beschrieben. (e) Die Verteilung von h(X) ist eine Funktion B → [0, 1]. (f) Die Verteilungsfunktion von h(X) stimmt mit der von P h(X) uberein. ¨ (g) P tritt als Verteilung einer Zufallsvariablen auf. (h) X tritt als Verteilung einer Zufallsvariablen auf. 28. Wieso definiert man die bedingte Wahrscheinlichkeit auf diese Weise? 29. Beweisen Sie den Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit. ¨ berlegen Sie sich selbst ein interessantes Beispiel f¨ ur den Satz von Bayes und bearbeiten 30. U Sie es. 31. Geben Sie im vorigen Beispiel den Wahrscheinlichkeitsraum konkret an. 32. Wie viele Bedingungen muss man ¨uberpr¨ufen, um festzustellen, dass vier Ereignisse A, B, C, D stochastisch unabh¨ angig sind? 33. Konstruieren Sie selbst auf einem konkreten Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P ) zwei unabh¨ angige Zufallsvariablen. 34. Fassen Sie die Konstruktion einer Folge unabh¨angiger R-wertiger Zufallsvariablen mit vorgegebener Verteilung (Satz 5.21) zusammen, ohne sich in Details zu verlieren. ¨ 35. Geben Sie die Uberlegungen zum Infinite Monkey Theorem wieder....