Geometria Analítica (Material de la Escuela) PDF

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Gamboa, R. (s.f.). Elementos de geometría analítica. Documento sin publicar. Escuela de
Matemática, Universidad Nacional de Costa Rica.
Wisniewski, P. M. y Gutiérrez, A. L. (2002). Introducciòn a las matemàticas universitarias.
México DF, México:Mc Graw Hill.
Swokowski, E. (1...

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Capítulo 4 Elementos de geometría analítica en el plano Miguel Picado Contenido

página

4.1. El plano cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4.2. Cálculo de distancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 4.3. Ecuación de la recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 4.4. Representación gráfica de rectas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 4.5. Paralelismo y perpendicularidad de rectas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 4.6. Sistemas de ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

En este capítulo se introduce el sistema de coordenadas para analizar diversas figuras geométricas mediante una serie de ecuaciones, fórmulas y métodos.

4.1. El plano cartesiano Un sistema de coordenadas cartesianas o rectangulares corresponde a un tipo de coordenadas ortogonales utilizadas en un espacio euclideo para representar una función. En un sistema bidimensional se denomina plano cartesiano. El eje horizontal, o de las abscisas (eje x), y el eje vertical, o de las ordenadas (eje y), se consideran rectas numéricas. La figura 1 muestra un plano cartesiano. El punto O representa la intersección de las rectas. Este coincide con el punto cero de las rectas. Se conoce como origen del sistema.

1

y

4

Eje de las ordenadas

3

II

I 2 1

x

O (origen) −4

−2

−3

1

0

−1

2

3

4

Eje de las abscisas

−1

−2

III

IV

−3

−4

Figura 1. Plano Cartesiano Para localizar un punto (a, b) en el plano cartesiano se traza una recta x = a y otra recta y = b. La recta x es perpendicular al eje x. La recta y es perpendicular al eje y. El punto de intersección de estas rectas es (a, b). La figura 2 muestra los puntos A(−1, 4), B(0, 3), C (2, 0), D(1, −2), E(0, 0) y F (−3, −4) en el plano cartesiano. Note que el punto E corresponde al origen. Los puntos B y C quedan sobre los ejes. A

y

4 3

B

2 1 E

−3

−2

−1

0

x

C

1

2

3

−1 D

−2

−3 F

−4

Figura 2. Localización de puntos en el plano cartesiano

2

Ejercicio práctico. Trace un sistema de coordenadas rectangulares y ubique en éste los puntos    √ −3 10, −3 . ,5 ,E P (−2, 5), R(4, −6), S (1, −1), C (0, 5), H (−2, 0), D 2 5 y 4 3 2 1 x

−3

−2

−1 −1

0

1

2

3

4

−2 −3 −4 −5 −6

4.2. Cálculo de distancias Existen fórmulas para calcular distintas distancias en el plano cartesiano como la distancia entre dos puntos y la distancia entre un punto y una recta. Se presenta en este apartado la primera y la fórmula para calcular las coordenas del punto medio de un segmento. En apartados siguientes se muestra la fórmula para calcular la distancia entre un punto y recta. 4.2.1. Cálculo de la distancia entre dos puntos La distancia entre dos puntos cualesquiera A(x1 , y1 ) y B(x2 , y2 ), en un plano cartesiano, es d(A, B) =

p

(x1 − x2 )2 + (y1 − y2 )2

Ejemplo 4.1. p La distancia entre los puntos A(−4, −1) y B (2, 5) es d(A, B) = (x1 − x2 )2 + (y1 − y2 )2 =

=

p

p

(−4 − 2)2 + (−1 − 5)2

(−6)2 + (−6)2 √ = 36 + 36 √ = 72 √ d(A, B) = 6 2ul

3

Ejercicio práctico. Determine la distancia entre los puntos √ R. 5 2ul

1. A(3, 0), B(−2, 5) 2. E







3 −1 , −1 ,4 ,D 2 2



R.

√ 29ul

Ejercicios de pruebas pasadas. 1. Considere el triángulo con vértices A(2, 1)B (3, 4)C (6, 3). Será ese triángulo un triángulo equilátero? √ √ √ R. No, es un triángulo isósceles, d(A, B) = 10, d(B, C) = 10 y d(A, C) = 2 5. 2. Considere en un sistema de coordenadas cartesianas los siguientes pares ordenados A(1, 3), B(−1, 2), C(0, −4). Determine el perímetro del triángulo. √ √ √ √ √ √ R. d(A, B) = 5, d(B, C) = 37, d(A, C) = 5 2 y P = 5 + 37 + 5 2. 3. Sea P (1, a) y la distancia desde P hasta Q(6, 7) es 13. Determine el o los valores de a. R. a = 19 ∧ a = −5 4. Considere P (x, 2), A(9, −6) y B (−1, 5). Si d(P, A) = 2d(P, B), determine el valor de x. R. x = 3 ∧ x = −35 3 5. ¿Cuáles son los valores de z que satisfacen d(P, Q) = 3 para P (1, 0) y Q(−1, z)?

R. z ±

√ 5

4.2.2. Cálculo del punto medio de un segmento El punto medio de un segmento determinado por los puntos C es Pm



x1 + x2 y1 + y2 , 2 2



Ejemplo 4.2. Las coordenadas del punto medio del segmento definido por los puntos A(−4, −1) y B(2, 5) son 

x1 + x2 y1 + y2 , = 2 2 



−4 + 2 −1 + 5 , 2 2



=



−2 −4 , 2 2



= (−1, 2)

Ejemplo 4.3. Las coordenadas del punto medio del segmento definido por los puntos A(3, 0) y   −3 B −6, son 5  −3   −3    0+ −3 −3 3 + − 6 −3   5 = , , 5 = ,    2 10 2 2 2 2

Ejercicio práctico. Determine las coordenadas del punto medio del segmento definido por los puntos P y Q. 1. P (7, 1), Q(5, −13)

R. Pm (6, −6) 4

2. P (0, −11), Q(d, 2)

R. Pm



d −9  , 2 2

3. Sean G(−5, 8), K (2, a) y H (b, 1). Determine a y b de manera que K sea el punto medio de GH . R. a = 92 , b = 9 4. Halle la distancia y el punto medio del segmento cuyos extremos son los puntos A(−3√ , 4) y B(3, 2). R. Pm = (0, 3) y d = 2 10

4.3. Ecuación de la recta La recta es el lugar geométrico de los puntos tales que, para cualesquiera dos, la razón entre las diferencias de las ordenadas y la diferencia de las abscisas es constante. Desde la geometría analítica, la recta corresponde a una ecuación lineal o de primer grado con dos variables. De esta forma, una recta que pasa por los puntos A(x1 , y1 ) y B (x2 , y2 ), x1 6= x2 tiene por pendiente a m m=

y2 − y1 x2 − x1

La pendiente m corresponde a la tangente del ángulo de inclinación de la recta respecto al eje x. Esto es, m = tanθ (figura 3).

m = tanθ

y

θ |

{z

x

}

Figura 3. Pendiente de la recta

5

La pendiente es cero cuando las ordenadas de los puntos son iguales. En este caso, la recta es paralela al eje x. La figura 4 muestra una recta con pendiente igual a cero. y (ordenadas)

La pendiente es infinita cuando las abscisas de los puntos son iguales. La recta es paralela al eje y. La figura 5 muestra una recta con pendiente infinita. y (ordenadas)

m=0

Pendiente infinita x

x

(abscisas)

(abscisas)

Figura 5. Recta con pendiente infinita

Figura 4. Recta con pendiente cero Cuando la pendiente es mayor a cero la recta se comporta de manera creciente. La figura 6 muestra una recta con pendiente mayor a cero. y (ordenadas)

Cuando la pendiente es menor a cero la recta se comporta de manera decreciente. La figura 7 muestra una recta con pendiente menor a cero. y (ordenadas)

m0 x

x

(abscisas)

(abscisas)

Figura 6. Recta con pendiente cero

Figura 7. Recta con pendiente infinita

4.3.1. Formas de la ecuación de la recta Se presentan tres formas para representar la ecuación de una recta. De éstas, se utilizarán en el curso la Pendiente-ordenada y la General. (a) Punto-pendiente. La ecuación de la recta, con pendiente m, que pasa por A(x1 , y1 ) es 6

y − y1 = m(x − x1 ) (b) Pendiente-ordenada. La ecuación de la recta, con pendiente m, que interseca al eje de las ordenadas (eje y) en el punto (0, b) es y = mx + b (c) General. Para A, B, C constantes arbitrarias, la ecuación lineal con variables x y y es Ax + By + C = 0 Ejemplo 4.4. Considere la recta que pasa por los puntos M (2, 3) y P (3, −2). La pendiente de −2 − 3 = −5. la recta es m = 3−2 (i) La forma pendiente-ordenada de la ecuación de la recta es y = −5x + b; utilizando los valores de las coordenadas del punto M , el valor de b es 13. De esta forma, la ecuación es y = −5x + 13.

(ii) La forma general de la recta se obtiene agrupando en uno de los miembros de la ecuación todos los términos distintos de cero, de lo que se obtiene 5x + y − 13 = 0. Ejercicio práctico. 1. Determine la ecuación de la recta a partir de los puntos dados. 

(a) (2, −3), 4,

10 5

(b) (1, 0), (0, 3)



R. 2y = 5x − 16 R. y = −3x + 3

(c) (1, 7), (−3, 2)

R. 5x − 4y + 23 = 0

(d) (−4, 6), (−1, 18)

R. y = 4x + 22

(e) (−3, 5), (6, −2)

R. 9y = −7x + 24

(f) (−1, −3), (−1, 2)

R. x = −1

(g) (−3, 4), (2, 4)

R. y = 4

(h) (−1, 1), (2, −7)   1 (i) 3, , (4, −1) 2 (j) (2, 1), (−2, −7)

R. 3y = −8x − 5 R. 2y = −3x + 10 R. y = 2x − 3

2. Determine la ecuación de la recta que pasa por A(2, −6) y tiene pendiente

1 . 2 R. 2y = x − 14

3. Determine la ecuación de la recta que pasa por A(5, −1) y tiene pendiente k, k ∈ R.

R. y = kx − 5k − 1

7

4. Determine la ecuación de la recta que pasa por A(b, −6) y tiene pendiente 3, b ∈ R.

R. y = 3x − 6 − 3b

5. Indique los valores reales de a para los cuales la ecuación representa una recta creciente. 2 a x = a+1 3 • y = (a − 1)2 x + x

S

R.] − ∞, −1[ ]0, +∞[

• y−

R. R

6. Para cada caso, determine la ecuación de la recta l cuya pendiente es m y contiene al punto P . −3x − 5 2 x R. y = + 7 √ 2√ R. y = 2x − 2

−3 , P (−3, 2) 2 1 (b) m = , P (2, 8) 2 √ (c) m = 2, P (1, 0)

R. y =

(a) m =

Ejercicios de pruebas pasadas. 1. Dado el triángulo ABC, de coordenadas A(0, 0), B (4, 0), C (4, 4). Encuentre la ecuación de la mediana sobre el lado AB. (Recuerde: la mediana es un segmento que va desde un vértice de un triángulo hasta el punto medio del lado opuesto). R. x = 2 2. Determinar las ecuaciones de los lados de un cuadrado sabiendo que dos de sus vértices son A(1, 1) y B (3, 1). R. y = 1, x = 3, x = 1, (y = 3 ∨ y = −1) 3. Determine la ecuación general de la recta que pasa por los puntos (7, −3) y (−4, 3).

R. 11y + 6x − 9 = 0

4.3.2. Intersecciones de la recta con los ejes Para la  recta l,  con ecuación y = mx + b, se definen los puntos de intersección con los ejes x y b y (0, b), respectivamente. y como − m Ejercicio práctico. 1. Determine los puntos de intersección de la recta con los ejes coordenados. (a) y = −16 + 13x

R.

(b) 4x − 1 + 2y = 0



16 , 0 ; (0, −16) 13     1 1 R. , 0 ; 0, 4 2 

2. Determine la ecuación de la recta que tiene pendiente -3 e intersección con y igual a 5. R. y = −3x + 5 3. Determine la ecuación de la recta que tiene intersección y igual a 8 e intersección con x igual a −4. R. y = 2x + 8 8

4. Determine la ecuación de la recta que pasa por A(8, −2) y tiene intersección con y igual a 8. R. 4y + 5x − 32 = 0 5. Calcular la longitud de la hipotenusa y el área de un triángulo determinado por los ejes 1 de coordenadas y la recta 3x − 4y − 1 = 0 R. h = 512 y A = 24 4.3.3. Distancia de un punto a una recta La distancia de un punto a una recta, cuya ecuación es de la forma Ax +By +C = 0 (forma general), es la longitud d del segmento perpendicular trazado desde el punto a la recta. Corresponde a la distancia más corta entre el punto y la recta. d=

|mx + b − y| |Ax1 + By1 + C| √ = √ 2 2 A +B m2 + 1

La figura 8 muestra la distancia entre el punto P (x1 , y1 ) y la recta Ax + By + C = 0. y

Ax+By+C

d P (x1 , y1 ) x

Figura 8. Distancia entre un punto y una recta √ 8 5 . Esto Ejemplo 4.5. La distancia entre el punto P (2, 1) y la recta 2x − y + 5 = 0 es d = 5 se obtiene de aplicar la fórmula. d = = = = =

Ax1 + By1 + C √ A2 + B 2 2x − y + 5 p 22 + (−1)2 2·2−1·1+5 √ 4+1 4−1+5 √ 4+1 8 √ 5 9

Ejercicio práctico. 1. Determine la distancia entre la recta l y el punto P . √ 2 13 R. d = ul 13 √ R. d = 2ul 8 R. d = √ ul 13

(a) l : 2x + 3y + 1 = 0; P : (−1, 1) (b) x + y = 2; P : (5, −1) (c) 2x − 3y + 4 = 0; P : (5, 2)

2. Determine la distancia entre las rectas l1 y l2 si l1 : 2y + 4x = 8 y l2 : 6x + 9 = −3y

7 R. d = √ ul 5

Ejercicios de pruebas pasadas. 1. Considere en un sistema cartesiano de coordenadas los pares ordenados A(−1, 3), B(2, 1), C(0, −4) √ √ √ (a) Determine el perímetro del triángulo ABC R. P = 13 + 5 2 + 29 (b) Halle la distancia entre el punto medio del segmento AB y la recta y + 2x = 5

(d) Determine la longitud de la altura sobre AC.

√ 2 5 ul 5 √ 34 R. 2 ul R. 19 50 ul

(e) Determine la longitud de AC.

R.

√ 50ul

(f) Halle el área del △ABC.

R.

19 2 2 (ul)

R.

(c) Determine la longitud de la mediana sobre AC.

2. Considere en un sistema cartesiano de coordenadas los pares ordenados A(1, −3), B(−4, 1), C (0, 5) √ √ √ (a) Determiine el perímetro del triángulo ABC R. P = 41 + 4 2 + 5 (b) Halle la distancia entre el punto medio del segmento AC y la recta 3y + 2x = 3 R. d =

√ 13 13 ul

4.4. Representación gráfica de rectas Para representar gráficamente un recta basta con ubicar dos puntos de la recta en un sistema de coordenadas y trazar la recta que los contiene. De la gráfica, al igual que de la ecuación, se extrae información como los puntos de intersección de la recta con los ejes (si los hay) y la monotonía. La figura 9 muestra la representación gráfica de la recta del ejemplo 4.4.

10

5 4 M

3 2 1 −5 −4 −3 −2 −1 −1

0 1

2

−2

3

4

5

P

−3 −4 −5

Figura 9. Representación gráfica de la recta. Ejercicio práctico. En un sistema de coordenadas rectangulares, trace la gráfica de la recta m. 1. m : y = 6 − x 2. m : 7y = 10x − 35 3. 2x − 5y = 8

4.5. Paralelismo y perpendicularidad de rectas Considere las rectas l1 y l2 en un mismo plano. Entre estas rectas se establece una relación de acuerdo con la intersección entre ellas. Si las rectas no se intersecan (la intersección es vacía) son paralelas; simbólicamente l1 ||l2 . En caso contrario, si las rectas se intersecan, se denominan rectas oblicuas y su intersección es un punto. Si dos rectas oblicuas forman un ángulo recto en su intersección se denominan perpendiculares; simbólicamente l1 ⊥l2 . 4.5.1. Rectas paralelas Dos rectas no verticales son paralelas si y sólo si sus pendientes son iguales, es decir, m1 = m2 . La figura 10 muestra la representación gráfica de dos rectas paralelas.

11

l2

l1

y

5 4 3 2 1

x −6

−5

−4

−3

−2

−1 −1

0

1

2

3

4

5

6

−2 −3 −4 −5

Figura 10. Rectas paralelas en el plano (a) Distancia entre rectas paralelas La distancia entre dos rectas paralelas es la distancia d desde un punto de una de las rectas a la otra recta. Considere las rectas l1 : y = mx + b1 y l2 : y = mx + b2 paralelas, es decir l1 ||l2 . La distancia entre estas rectas es |b1 − b2 | d= √ 1 + m2 Ejemplo 4.6. Considere las rectas l1 y l2 paralelas. La ecuación de la recta l1 es 2y − 6 = x y la recta l2 pasa por el punto (−2, −4). Para determinar la ecuación de la recta l2 se determina la 1 pendiente de l1 . En este caso, al escribir la ecuación en su forma pendiente-ordenada, m1 = . 2 1 Como las rectas son paralelas, éstas tienen la misma pendiente. De esta forma, m2 = . Ahora, 2 como el par ordenado (−2, −4) está en la recta, la igualdad se cumple para y = −4 y x = −2. 1 x+b 2 1 · (−2) + b −4 = 2 −4 = −1 + b y =

−4 + 1 = b −3 = b Por lo tanto, la ecuación de l2 es y =

1 x − 3. 2

Ejercicio práctico. 12

1. Determine la ecuación de la recta l2 a partir de la información dada. Considere las rectas l1 y l2 paralelas. (a) l1 : y = 7x − 7; l2 : pasa por el punto (1, 7)  √  3 √  18 (b) l1 : ,1 +3 2 ; , 18 ; l2 : (2, 3) 5 5   2x − 3 a+1 (c) l1 : y = , −1 ; l2 : 2 5 (d) l1 : 6x + 3y − 4 = 0; l2 : pasa por el punto (5, −7)

R. l2 : y = 7x 7 1 R. l2 : y = x + 3 3 R. l2 : 5y = 2x − (a + 6) R. l2 : 2x + y − 3 = 0

(e) l2 : es paralela al eje y y pasa por el punto (10, −6)

R. x = 10

(f) l2 : es paralela al eje x y pasa por el punto (10, −6)   3 1 (g) l1 : x + 3y = 1 ; l2 : − , − 4 2

R. y = −6 R. l2 : 12y + 4x − 9 = 0

2. Determine la ecuación de a recta l1 que es paralela a l2 , cuya ecuación está dada por l2 : 4x + 2y = 1 y que pasa por el vértice de la parábola con ecuación y = −x2 + 2x.

R.l1 : y = −2x + 3

3. Encuentre el(los) valor(es) de k para que l1 ||l2 si l1 : y = (k+2)x−

1 y l2 : y = 3





1−k 2 + 4 7 −7 R. k = 3

4.5.2. Rectas perpendiculares Dos rectas no verticales son perpendiculares si y sólo si el producto de sus pendientes es -1. En −1 . este caso, m1 = m2 6

l2

y l1

5 4 3 2 1

x −4 −3 −2 −1 −1

0 1

2

3

4

−2 −3 −4 −5

Figura 11. Rectas paralelas en el plano

13

5

6

Ejemplo 4.7. Considere las rectas l1 : 5x − 3y + 1 = 0 y l2 : 15y = 10 − 9x. La forma 1 2 −3 5x + yy= + x, respectivamente. El producto pendiente-ordenada de cada una es y = 3 3 3 5 5 −3 = −1. De esta forma, se verifica que las rectas son perpendiculares. de las pendientes es · 3 5 Ejemplo 4.8. Considere las rectas l1 y l2 perpendiculares y k ∈ R. La ecuación de la recta l1 −1 . Como el par es y = kx + 4 y la recta l2 pasa por el punto (0, k). La pendiente de l2 es k ordenado (0, k) está en la recta l2 , la igualdad se cumple para y = k y x = 0. −1 x+b k −1 · (0) + b k = k k = 0+b k = b −1 x +k. La forma general de la ecuación es x +ky −k 2 = 0 Por lo tanto, la ecuación de l2 es y = k y =

Ejercicio práctico. 1. Determine la ecuación de la recta l2 a partir de la información dada. Considere las rectas l1 y l2 perpendiculares. √   √ 1 −7 −39 3 x−2 (a) l1 : y = 3x − 1; l2 : pasa por el punto √ , . R. l2 : y = 3 3 9 3 (b) l1 : (4, −6); (1, −3); l2 : pasa por el punto (10, 0). R. l2 : y = x − 10 x k + 2y = ; l2 : pasa por el punto (5, −a). R. l2 : y = −3x + 15 − a (c) l1 : 2 3 (d) l1 : 6x + 3y − 4 = 0; l2 : pasa por el punto (5, −7). R. l2 : x − 2y − 19 = 0 (e) (f) (g) (h) (i)

l2 : pasa por (−5, 1) y es perpendicular al eje x. l2 : pasa por (−5, 1) y es perpendicular al eje y. l1 : 2x − 5y = 8; l2 : (7, −3). l1 : 3x + 2y − 4 = 0; l2 : (−2, 3...