Guía 1 Derivadas por definicion PDF

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Guía que habla sobre las derivadas por definición ...

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Guía 1: Derivadas por definición Definición:

La derivada de la función f en “ =  ” se define como

( + ℎ) −  () "    " ℎ →

′() = lim

Una forma alternativa para este límite es:

() −  () → −

  () = lim

Obs: se sugiere la forma alternativa, cuando en el primer caso el limite sea muy engorroso. Algunos limites clásicos para tener en cuenta en los próximos ejercicios.

Algunas fórmulas algebraicas a tener en cuenta.

I.

1)

Derivación mediante definición En cada caso determine la derivada de la función dada usando la definición, además indique el dominio en donde existe ′() 1   ( ) = −    ()  Si () = determine  

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

Si () =

determine 





 ()

Si () = √ + 1 determine ′()

Si () = √2 + 3 determine ′() Si () = √ + 1 determine ′() 

Si () = () determine ′() Si () = cos() determine ′() Si () = 



determine ′()

Si () = ln() determine ′()

Si () = ( + ) determine ′() Si () =

   

2 − 



; < 1

; ≥ 1

determine ′(1)

() ;  <  determine ′() Si () =  − +  ;  ≥ 

  ( ) = −   ( ) =

  ( ) =

  ( ) =

1 ( − 2) 1

2√ + 1 3

2√2 + 3 1

3( + 1) 

  () = cos()

  () = −()   () =     ( ) =

1 

 () = ′( + ) No existe ′(1)   () = −1

Una observación para los problemas 11,12 y 13. Obs 1:         =  Obs 2: Las derivadas laterales deben existir y ser iguales, es decir ( + ℎ) −  ()   () = lim , → ℎ ( + ℎ) −  ()   () = lim , → ℎ   Y además  () =  () 1 − cos() ; ≠ 0  ( ) =  | | 0 ; = 0 Analice la existencia de ′(0)

13) Considere la función

Solución: no existe   (0),   (0) = ≠   (0) = −   



II. Derivada por definición, recta tangente y recta normal a la gráfica de una función. 1) Considere la función () =   − 4 − 5 Determine la ecuación de la recta tangente y la recta normal a la gráfica de f en x=2. 2) Dada la función  ; ≠ 2  () = −2 Determinar la ecuación de la recta tangente y normal a la gráfica de f en x=3. 3) Sea la función −1 ;  ≠ −1  () = +1 Determine la ecuación de la recta tangente y normal a f en x=0. 4) Sea la función definida por () = ||cos(3) ¿Existe ′(0)? ¿Se puede determinar la ecuación de la recta tangente en x=0? 5) Considere la función 2− ; ≤ 1 () =    − 2 − 2 ;  > 1 ¿Es f derivable en x=1? ¿Existe la recta tangente a la gráfica de f en x=1? 6) Sea la función 3 +  ;  ≤ 1 () =    +  ; > 1 Determinar los valores de “  ” de modo que f sea continua en x=1 y derivable en x=1. 7) Considere la función definida por

  − 2 + 3 ; ≤ 1 () =    − 3  + 2 ; > 1 Determinar los valores de “  ”de modo que f sea continua en x=1 y derivable en x=1. 8) Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva en x=0, si la función se define mediante   −   cos   ;  ≠ 0 () =   0 ; = 0 Ayuda: Teorema del cero aniquila. Suponga que lim () = 0 y que además g(x) es una función acotada para →

todo x en una vecindad de  (es decir − ≤ () ≤    > 0 ), bajo estas condiciones se cumple que lim  () ∙  () = 0 →

1      ;  ≠ 0 ( )   =  0 ; = 0 Muestre que la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en x=0, es m = 0.

9) Considere la función...