Guia de Trabajo N°4 - Introducción a limites PDF

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UNIVERSIDAD DEL MAGDALENA VICERRECTORÍA ACADÉMICA DIRECCIÓN DE DESARROLLO ESTUDIANTIL PROGRAMA DE TALENTO MAGDALENA APOYO ACADÉMICO ÁREA DE MATEMÁTICAS CÁLCULO DIFERENCIAL

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Introducción a Límites.

Est Estrate rate rategia: gia: Se hace una introducción al concepto de limites y su importancia en el cálculo buscando generar motivación en el estudiante, luego se desarrollan algunos ejemplos por parte del tutor y finalmente los estudiantes ponen a pruebas los conceptos aprendidos en clases con una serie de problemas propuestos que serán desarrollados individualmente.

Desa Desarr rr rrollo ollo del Tem Tema: a: Gen General eral eralidad idad idades es: El límite de una función es el concepto principal que distingue al cálculo del álgebra y de la geometría analítica. La noción de un límite es fundamental para el estudio del cálculo. De esta manera, es importante adquirir un buen concepto de límite antes de incursionar en otros tópicos de cálculo. ¿Qu ¿Qué é es el cál cálculo culo culo?? El cálculo es la matemática de los cambios (velocidades y aceleraciones). También son objeto del cálculo rectas tangentes, pendientes, áreas, volúmenes, longitudes de arco, centroides, curvaturas y una gran variedad de conceptos que han permitido a científicos, inge ingenie nie nieros ros y economistas elaborar modelos para situaciones de la vida real. Aunque las matemáticas previas al cálculo también tratan con velocidades, aceleraciones, rectas tangentes, pendientes y demás, existe una diferencia fundamental entre ellas y el cálculo. Mientras que las primeras son más estáticas, el cálculo es más dinámico. He aquí algunos ejemplos. ❖ Las matemáticas previas al cálculo permiten analizar un objeto que se mueve con velocidad constante sin embargo para analizar la velocidad de un objeto sometido a aceleración es necesario recurrir al cálculo. ❖ Las matemáticas previas al cálculo permiten analizar la pendiente de una recta, pero para analizar la pendiente la pendiente de una curva es necesario el cálculo. ❖ Las matemáticas previas al cálculo permiten analizar el área de un rectángulo, pero para analizar el área bajo una curva en general es necesario el cálculo. Cada una de estas situaciones implica la misma estrategia general: la reformulación de las matemáticas previas al cálculo a través de un proceso de límite. De tal modo, una manera de responder a la pregunta “¿qué es el cálculo?” consiste en decir que el cálculo es una “máquina de límites” que funciona en tres etapas. La primera la constituyen las matemáticas previas al cálculo, con nociones como la pendiente de una recta o el área de un rectángulo. La segunda es el proceso de límite, y la tercera es la nueva formulación propia del cálculo, en términos de derivadas e integrales. Ing. Marlon Hurtado Cantillo

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Por desgracia, algunos estudiantes tratan de aprender cálculo como si se tratara de una simple recopilación de fórmulas nuevas. Sí se reduce el estudio del cálculo la memorización de las fórmulas de derivación y de integración, su comprensión será deficiente, el estudiante perderá confianza en sí mismo y no obtendrá satisfacción.

Intr Introdu odu oducci cci cción ón a llos os lími límites tes El proceso de un límite es un concepto fundamental del cálculo. Una técnica que se puede utilizar para estimar un límite consiste en trazar la función y luego determinar el comportamiento de la gráfica a medida que la variable independiente se aproxima a un valor específico. Supongamos que se pide dibujar la gráfica de la función 𝑓 dada por: 𝑓(𝑥) =

𝑥3 − 1 , 𝑥−1

𝑥≠1

Para todos los valores distintos de 𝑥 = 1, es posible emplear las técnicas usuales de representación de curvas. Sin embargo, en x 𝑥 = 1, no está claro qué esperar. Para obtener una idea del comportamiento de la gráfica de 𝑓 cerca de 𝑥 = 1, se pueden usar dos conjuntos de valores de 𝑥, uno que se aproxime a 1 por la izquierda y otro que lo haga por la derecha, como se ilustra en la tabla.

Ing. Marlon Hurtado Cantillo

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Como se muestra en la figura 1, la gráfica de 𝑓 es una parábola con un hueco en el punto (1, 3). A pesar de que 𝑥 no puede ser igual a 1, se puede acercar arbitrariamente a 1 y, en consecuencia, 𝑓(𝑥) se acerca a 3 de la misma manera. Utilizando la notación que se emplea con los límites, se podría escribir: lim 𝑓(𝑥) = 3 𝑥→1

Esto se lee “el límite de 𝑓(𝑥) cuando 𝑥 se aproxima a 1 es 3” Este análisis conduce a una desc descri ri ripció pció pción n infor informa ma mall de lími límite te te. Si 𝑓(𝑥) se acerca arbitrariamente a un número 𝐿 cuando 𝑥 se aproxima a 𝑐 por cualquiera de los dos lados, entonces el límite de 𝑓(𝑥), cuando 𝑥 se aproxima a 𝑐, es 𝐿. Esto se escribe lim 𝑓(𝑥) = 𝐿 𝑥→𝑐

En el cálculo de un límite puede pasar que: ▪ ▪

El limite exista, esto sucederá cuando al aproximarnos por la derecha de 𝑐 y la izquierda de 𝑐 se aproxime al mismo valor. El limite no exista.

Un límite no exi existi sti stirá rá cuando tenga alguno de los siguientes comportamientos: ▪ ▪ ▪

𝑓(𝑥) se aproxima a números diferentes por la derecha de 𝑐 que por la izquierda de 𝑐 𝑓(𝑥) aumenta o disminuye sin límite a medida que 𝑥 se aproxima a 𝑐. 𝑓(𝑥) oscila entre dos valores fijos a medida que 𝑥 se aproxima a 𝑐.

Lim Limite ite itess La Latera tera terales les Cuando nos referimos a que 𝑥 se aproxima por la derecha a 𝑐 y por la izquierda a 𝑐, estamos realizando el cálculo de dos límites, los cuales son lim+ 𝑓(𝑥) y lim− 𝑓(𝑥), llamados limi limites tes 𝑥→𝑐

𝑥→𝑐

por la d dere ere erecha cha y po porr la izq izquie uie uierda rda respectivamente, por tanto, podemos definir que: lim 𝑓(𝑥) = 𝐿 sí y solo sí lim+ 𝑓(𝑥) = lim− 𝑓(𝑥) 𝑥→𝑐

𝑥→𝑐

𝑥→𝑐

En el gráfico de la derecha podemos decir que lim 𝑓(𝑥) = 0 y

𝑥→−2−

lim 𝑓(𝑥) = 2 por lo que lim 𝑓(𝑥) no existe.

𝑥→−2+

𝑥→−2

Ing. Marlon Hurtado Cantillo

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Ejer Ejercic cic cicios ios P Prop rop ropue ue uestos stos En los eje ejercicio rcicio rcicioss 1 a 8 8,, co comp mp mpleta leta letarr la tab tabla la y uti utiliza liza lizarr el res resul ul ultado tado pa para ra eestim stim stimar ar el llími ími ímite. te.

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Ing. Marlon Hurtado Cantillo

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En lo loss ejerc jercici ici icios os 17 al 19, cons onstru tru truir ir una grá gráfica fica de una fun funció ció ción n 𝒇 qu que e satis atisfaga faga los valo valore re ress indi indicad cad cados os (exi (existe ste sten nm much uch uchas as res respue pue puesta sta stass co corre rre rrecta cta ctass).

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22. Si lim 𝑓(𝑥) = 𝐿 , entonces 𝑓(𝑐) = 𝐿 𝑥→𝑐

1

23. Considerar la función 𝑓(𝑥) = (1 + 𝑥 ) 𝑥 . Calcular el límite lim 𝑓(𝑥) mediante la evaluación de 𝑓 con valores de 𝑥 cercanos a 0.

𝑥→0

Ing. Marlon Hurtado Cantillo...