Trabajo EJE 3 Cálculo aplicación de limites PDF

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Caso problema: aplicación de los conceptos de límite y derivada de funciones devariable realEn 4 contextos: sociodemográfico, hogar, lugar de trabajo y ciencia.María Paz Bonilla LizarazoFundación Universitaria del Área AndinaCálculo DiferencialTutor. Antonio Salustiano Rodríguez Pacheco21 marzo de 2...

Description

Caso problema: aplicación de los conceptos de límite y derivada de funciones de variable real En 4 contextos: sociodemográfico, hogar, lugar de trabajo y ciencia.

María Paz Bonilla Lizarazo

Fundación Universitaria del Área Andina Cálculo Diferencial

Tutor. Antonio Salustiano Rodríguez Pacheco

21 marzo de 2022 Bogotá D.C. Tarea eje 3 1

TABLA DE CONTENIDO

Introducción .........................................................................................................................................4 

Exprese claramente el significado de las variables 𝑃 y 𝑡. .............................................................5



Encuentre el dominio y el rango de la función 𝑃(𝑡)......................................................................5



Dibuje aproximadamente la gráfica de la función. Resalte puntos clave del gráfico. ..................6



Determine la derivada, 𝑃´(𝑡). .......................................................................................................7



Calcule, analítica y gráficamente, la población máxima de manera aproximada. ........................8



Encuentre el límite cuando t tiende a infinito. ¿qué significa el resultado encontrado? ............... 8



Encuentre el dominio y el rango de la función 𝑣(𝑡). ................................................................... 10



Dibuje aproximadamente la gráfica de la función. Resalte puntos clave del gráfico. ................10



Determine la derivada, 𝑣´(𝑡). .....................................................................................................12



Encuentre el límite cuando t tiende a 2. ¿Qué significa el resultado encontrado? ......................13



Dibuje aproximadamente la gráfica de la función. Resalte puntos clave del gráfico. ................14

 Sabiendo que el comerciante a su vez se las vende a los estudiantes por 8 dólares la unidad. ¿Cuál es el beneficio por camiseta según las camisetas vendidas? .................................................... 15 

Determine la derivada, 𝑔´(𝑤)..................................................................................................... 15



¿Cuánto cobra el proveedor si el comerciante pide 5.000 unidades? .........................................16



¿Cuántas camisetas ha de vender para obtener la máxima utilidad? ..........................................16



Escribe una función que dé la presión (𝑃) en función de la altura (ℎ)........................................ 17



Dibuje aproximadamente la gráfica de la función. Resalte puntos clave del gráfico. ................17

 Si ascendemos en globo, ¿Qué presión soportaremos cuando nos acercamos a los 5.000 m de altura? .................................................................................................................................................18 

Determine la derivada 𝑃´(ℎ). ...................................................................................................... 18



Si subimos indefinidamente, ¿hacia qué valor tiende la presión?............................................... 19

 Queremos ahora descender a una cima que está a 2.000 m de profundidad bajo el nivel del mar, ¿a qué tiende la presión que iremos soportando al bajar? ..................................................................19 CONCLUSIÓN ..................................................................................................................................20

2

TABLA DE ILUSTRACIONES

Gráfico 1...............................................................................................................................................4 Gráfico 2...............................................................................................................................................6 Gráfico 3...............................................................................................................................................6 Gráfico 4...............................................................................................................................................7 Gráfico 5...............................................................................................................................................7 Gráfico 6...............................................................................................................................................8 Gráfico 7...............................................................................................................................................8 Gráfico 8...............................................................................................................................................9 Gráfico 9.............................................................................................................................................11 Gráfico 10...........................................................................................................................................11 Gráfico 11...........................................................................................................................................11 Gráfico 12...........................................................................................................................................12 Gráfico 13...........................................................................................................................................12 Gráfico 14...........................................................................................................................................13 Gráfico 15...........................................................................................................................................13 Gráfico 16...........................................................................................................................................14 Gráfico 17...........................................................................................................................................15 Gráfico 18...........................................................................................................................................16 Gráfico 19...........................................................................................................................................17 Gráfico 20...........................................................................................................................................18 Gráfico 21...........................................................................................................................................18 Gráfico 22...........................................................................................................................................19 Gráfico 23...........................................................................................................................................19

3

Introducción

“Trabajar en equipo divide el esfuerzo y multiplica los resultados” Anónimo. “Llegar juntos es el principio. Mantenerse juntos es el progreso. Trabajar juntos es el éxito” Henry Ford

En el siguiente trabajo se desarrollan una serie de problemas matemáticos que se exponen en diferentes situaciones cotidianas, en dónde el estudiante puede demostrar sus habilidades para la Gráfico 1

resolución de los mismos, apoyándose en el

pensamiento crítico, que le permitirá adquirir nuevos conocimientos para que pueda desenvolverse ante las situaciones más complejas de la vida llevándolas a cabo con gran destreza sin afectación alguna en los procesos productivos o industriales que se presentan en las empresas.

4

CASO PROBLEMA

Situación Sociodemográfica

La población de un estado viene dada, en millones de habitantes, por la función:

𝑃(𝑡𝑡) =

+ 20

Donde t es el tiempo en años.

 Exprese claramente el significado de las variables 𝑃 y 𝑡.

Rta. La variable P representa la población o habitantes del estado, la cual es una variable que depende del tiempo.

La variable t es independiente y representa el tiempo de crecimiento o decrecimiento de la función P(t).

 Encuentre el dominio y el rango de la función 𝑃(𝑡𝑡).

5

Rta. El domino de la función son todos los números reales, Dom: (-∞, ∞), (t|t ∈ R) esto sucede porque la variable (t) puede tomar cualquier valor

 Dibuje aproximadamente la gráfica de la función. Resalte puntos clave del gráfico.

Gráfico 2

Gráfico 3

6

Gráfico 4

 Determine la derivada, 𝑃´(𝑡𝑡).

Rta.

Gráfico 5

7

 Calcule, analítica y gráficamente, la población máxima de manera aproximada. Rta.

Gráfico 6

 Encuentre el límite cuando t tiende a infinito. ¿qué significa el resultado encontrado? Rta.

Gráfico 7

8

Gráfico 8

Situación Casera

Luis y María tienen una piscina en su jardín y al llegar el verano necesitan cambiar el agua de la piscina. Abren el desagüe y la piscina se comienza a vaciar según la función:

𝑣 𝑡−2 𝑣 expresa el volumen de agua medido en metros cúbicos, y 𝑡 expresa el tiempo de vaciado medido en horas. Investiga, de manera detallada, hacia qué valor se aproxima el volumen de la piscina cuando el tiempo que ha transcurrido se aproxima a 2 horas. Presenta un gráfico y una tabla que faciliten el cálculo.

Para tal fin, usted debe realizar las siguientes actividades: 9

 Encuentre el dominio y el rango de la función 𝑣(𝑡𝑡).

Rta. Dominio: [−4,2) ∪(2 ,∞) ,{t ∕ t ≥−4 ,t ≠ 2 } Rango: [−4,2) ∪(2 ,∞) ,{t ∕ t ≥−4 ,t ≠ 2 }

 Dibuje aproximadamente la gráfica de la función. Resalte puntos clave del gráfico.

Rta. Relacionemos unos puntos de referencia para caja Eje para aproximar más la gráfica.

X

Y

-4

0.333

-3

0.2

0

0

3

0.646

4

0.414

5

0.333

10

Gráfico 9

Gráfico 10

Gráfico 11

11

Gráfico 12

 Determine la derivada, 𝑣´(𝑡𝑡).

Rta.

Gráfico 13

12

Gráfico 14

 Encuentre el límite cuando t tiende a 2. ¿Qué significa el resultado encontrado? Rta.

Gráfico 15

13

Situación Laboral

Un comerciante vende camisetas a un grupo de estudiantes que están organizando un viaje de estudios. Para ello llama al proveedor para hacer el pedido de las camisetas y éste se las suministra según la función:

3.25𝑤 𝑤 + 6.75 𝑔(𝑤 𝑤) = 𝑤 𝑤 Representa el número de camisetas vendidas y 𝑔(𝑤 𝑤) representa el precio en dólares por camiseta.  Dibuje aproximadamente la gráfica de la función. Resalte puntos clave del gráfico. Rta.

Gráfico 16

14

 Sabiendo que el comerciante a su vez se las vende a los estudiantes por 8 dólares la unidad. ¿Cuál es el beneficio por camiseta según las camisetas vendidas?

Rta. si w = 1 g(1)=(3.25+6.75) = 10 dólares

Las adquirió a 10 dólares y las vende a 8 dólares, no obtiene ninguna utilidad.

 Determine la derivada, 𝑔´(𝑤 𝑤).

Rta.

Gráfico 17

15

 ¿Cuánto cobra el proveedor si el comerciante pide 5.000 unidades?

Rta. g(5000)=(3.25*5000+6.75)/5000 g(5000)= 3,25 cada una – por lo que el proveedor cobra 20.000 dólares

 ¿Cuántas camisetas ha de vender para obtener la máxima utilidad?

Rta.

Gráfico 18

16

Situación Científica

La presión atmosférica a nivel del mar es de 1,033 𝑘𝑔 𝑘𝑔/𝑐𝑚 𝑐𝑚2. A ese valor se le llama una atmósfera. Experimentalmente se ha comprobado que por cada kilómetro de altura respecto el nivel del mar, la presión es de 0,9 veces la presión del kilómetro anterior.

 Escribe una función que dé la presión (𝑃 𝑃) en función de la altura (ℎ).

Rta. P( H)= 9H⋅1033 10H  Dibuje aproximadamente la gráfica de la función. Resalte puntos clave del gráfico.

Rta.

Gráfico 19

17

 Si ascendemos en globo, ¿Qué presión soportaremos cuando nos acercamos a los 5.000 m de altura? Rta.

Gráfico 20

 Determine la derivada 𝑃´(ℎ ℎ). Rta.

Gráfico 21

18

 Si subimos indefinidamente, ¿hacia qué valor tiende la presión?

Rta.

Gráfico 22

 Queremos ahora descender a una cima que está a 2.000 m de profundidad bajo el nivel del mar, ¿a qué tiende la presión que iremos soportando al bajar? Rta.

Gráfico 23

19

CONCLUSIÓN

La aplicación de los conceptos de límite y derivada de funciones de variable real están presentes en Matemáticas, así como en casi todas las disciplinas científicas actuales. La teoría de matrices es una de las ramas más rica, abstracta y útil de las matemáticas. Los límites son especialmente útiles para el tratamiento de datos estadísticos. Sus aplicaciones van desde la ingeniería hasta la física, pasando por todas las ramas científicas. Hoy día, no se concibe una matemática aplicada sin este concepto. Las funciones de variable real proporcionan una notación compacta y flexible especialmente adecuada para estudiar transformaciones lineales. Permiten, además, un tratamiento simple y organizado de la resolución de sistemas lineales, incluidos sistemas de ecuaciones diferenciales.

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