Guía Parcial 3 - Principios Matemáticos PDF

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PRINCIPIOS MATEMATICOSPARAMEDICINATEXTO GUÍA.NOTAS DE CLASE PARA EL CURSO:MATE1721DIRIGIDO A ESTUDIANTES DEPRIMERSEMESTRE DEMEDICINA.EN REPARACIÓN.PORJOSÉRICARDOARTEAGA BEJARANOUniversidad de los Andes Bogotá, ColombiaJ R2021PUBLISHERMATE1721 Prof. José Ricardo Arteaga B.MATE1721 Prof. José Ricardo ...

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PRINCIPIOS MATEMATICOS PARA MEDICINA

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Principios Matemáticos para Medicina

Índice general 6. Epidemiología 6.1. Definiciones básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2. El modelo SIR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3. El número reproductivo básico R 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4. El número reproductivo efectivo R t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5. El modelo SEIR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5.1. El modelo SEIR (básico) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5.2. Una variante del modelo SEIR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6. El modelo SLIAR. Un modelo para la influenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.7. El modelo SITR. Un modelo de Tratamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.8. El modelo SEQIJR. Un modelo de Cuarentena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.9. Algo más sobre el modelo SIR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.10.Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

129 130 132 139 141 142 142 144 145 150 151 153 157

7. Probabilidad y Fórmula de Bayes 7.1. Conteo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2. Permutaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3. Combinaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4. Espacio de probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5. Las leyes de Medel (genética) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.6. Probabilidad condicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.7. Ley de probabilidad total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.8. Independencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.9. Fórmula de Bayes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.10.Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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159 159 160 160 161 161 162 164 165 166 171

8. Distribuciones discretas 8.1. Variables aleatorias discretas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1.1. Distribución de probabilidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1.2. Media o Valor Esperado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1.3. Varianza y Desviación típica (estándar) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1.4. Propiedades del valor esperado y de la varianza . . . . . . . . . . . . . . .

175 175 176 178 178 179

I

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MATE1721 8.2. 8.3. 8.4. 8.5. 8.6. 8.7. 8.8.

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180 180 184 184 187 189 191

9. Distribuciones continuas 9.1. Variables aleatorias continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1.1. Función de distribución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1.2. Función de densidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1.3. Esperanza y Varianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2. La distribución Uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2.1. Esperanza y Varianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3. Distribución exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3.1. Esperanza y Varianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.4. Función de Supervivencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

195 195 196 197 199 199 200 201 201 202 203

10.La distribución Normal 10.1.Distribución normal . . . . . . . . . . . . . 10.1.1. La función de densidad . . . . . . . 10.1.2. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . 10.1.3. La distribución normal estándar . 10.2.Apéndice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2.1. Importancia de las distribuciones . 10.3.Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

205 205 205 206 207 212 212 212

II

Distribución uniforme . . . . . . . . . . . . . Distribución Binomial . . . . . . . . . . . . . Distribución Multinomial . . . . . . . . . . . Variables aleatorias X e Y independientes Distribución Geométrica . . . . . . . . . . . Distribución de Poisson . . . . . . . . . . . . Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Capítulo 6

Epidemiología La palabra “epidemiología” (ep-demio-logia) se deriva de los términos griegos epi, que significa “sobre”, demos, que significa “gente” y logos, que significa “estudio”. El padre de la epidemiología a menudo se le asigna al médico griego Hipócrates (460-377 a. C.), quien describió la conexión entre la enfermedad y el medio ambiente [3] En este texto estudiaremos una parte de esta disciplina llamada “epidemiología matemática”, la cual trata de entender, desde el punto de vista matemático, los patrones de salud y enfermedad y los factores asociados a nivel poblacional. Lo haremos a través de modelos matemáticos compartimentales los cuales se representan con sistemas de ecuaciones diferenciales autónomas en los cuales cada ecuación representa el cambio de una sub-población respecto a la enfermedad. Por lo tanto, con esta limitante, podremos estudiar solo algunas enfermedades. La transmisión de enfermedades infecciosas puede ocurrir a través de una variedad de vías. Según el medio de transmisión, las enfermedades infecciosas se clasifican de la siguiente manera:[4] Contacto directo o indirecto Las enfermedades transmitidas de persona a persona son enfermedades que requieren contacto directo o indirecto. El contacto directo incluye tocar o tener contacto sexual. Las enfermedades que se transmiten por contacto sexual se denominan enfermedades de transmisión sexual. Las enfermedades de transmisión sexual incluyen el VIH, la gonorrea y la sífilis. El contacto indirecto incluye el intercambio de un objeto infectado, sangre u otros fluidos corporales. La influenza se puede transmitir por contacto indirecto. Aérea. La transmisión aérea ocurre por inhalación de aire infectado. Las enfermedades transmitidas por el aire incluyen influenza, viruela, sarampión, varicela y tuberculosis. Ingesta de alimentos. Las enfermedades transmitidas por los alimentos y el agua se transmiten a través de la ingestión de alimentos o agua contaminados. El cólera es una enfermedad transmitida por el agua. Las enfermedades transmitidas por los alimentos incluyen la salmonela y la gripe estomacal. 129

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Transmisión vectorial. Las enfermedades transmitidas por vectores son transmitidas por un vector, generalmente un artrópodo como un mosquito o una garrapata, o un molusco como un caracol. Ejemplos de enfermedades transmitidas por vectores son la malaria, el dengue y el virus del Nilo Occidental, que son transmitidos por mosquitos. Transmisión vertical La transmisión vertical ocurre cuando una enfermedad se transmite a través de la placenta de una madre a un niño antes o al nacer. Ejemplos de tales enfermedades son el VIH, la hepatitis B, la sífilis, la rubéola, el virus del herpes simple y según algunos reportes el ZIKA.

6.1. Definiciones básicas Definición 6.1 (Individuos susceptibles). Individuos sanos que son vulnerables a contraer una enfermedad y pueden desarrollar la enfermedad o no. En los modelos matemáticos, a menudo asumimos que todos los individuos susceptibles eventualmente desarrollan la enfermedad. Algunas veces también se les denomina expuestos. Definición 6.2 (Individuos infectados e infecciosos). Si el patógeno se establece en un individuo expuesto, ese individuo se infecta. Las personas infectadas que pueden transmitir la enfermedad se denominan infecciosas. Las personas infectadas pueden no ser infecciosas durante todo el tiempo que permanecen infectadas. Definición 6.3 (Individuos latentes). Estos son individuos que están infectados pero que aún no son infecciosos. El período de latencia se define como el tiempo desde la infección hasta que el huésped puede transmitir el agente infeccioso a otra persona. Definición 6.4 (Periodo de incubación). El período de incubación es el período entre la exposición a un agente infeccioso y la aparición de los síntomas de la enfermedad. En las enfermedades infecciosas, el período de incubación es el tiempo necesario para que el agente infeccioso se multiplique hasta un umbral necesario para producir síntomas o pruebas de laboratorio de infección. El período de incubación no coincide necesariamente con el período latente. Por ejemplo, en la influenza, las personas se vuelven infecciosas aproximadamente un día antes de mostrar síntomas visibles de influenza. Definición 6.5 (Incidencia). La incidencia se define como el número de casos nuevos, personas que se enferman durante un intervalo de tiempo específico. En la mayoría de los casos, la incidencia se determina a partir del número de casos clínicos, lo que subestima la verdadera incidencia, ya que ignora los casos subclínicos.

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Definición 6.6 (Prevalencia). La prevalencia de una enfermedad es el número de personas que la padecen en un momento específico. A veces, la prevalencia se define como el número de personas que padecen la enfermedad en un momento específico dividido por el tamaño total de la población. La incidencia, como ya lo dijimos, es el número total de nuevos casos contados en una ventana de tiempo fija. Por ejemplo, el Zika es una enfermedad producida por el virus Zika (género Flavivirus, familia Flaviviridae) y transmitido por la picadura de mosquitos hembra del género Aedes aegypti o Aedes albopictus. En Octubre de 2015, llegó el Zika a Colombia siendo el municipio de Turbaco (Bolívar) donde se confirmaron los primeros casos. A partir de este brote se inició la vigilancia epidemiológica rutinaria del evento y en Julio del 2016, el Ministerio de Salud y Protección Social y el Instituto Nacional de Salud, declararon el cierre de la fase epidémica de la enfermedad. Mediante un ejemplo ilustraremos los conceptos de incidencia y prevalencia. Ejemplo 6.1 (Incidencia y prevalencia). Supongamos que el gráfico 6.1 representa una ventana de tiempo de 10 semanas. Las semanas se contarán así: semana 1 correspondiente al intervalo de tiempo [0, 1), semana 2 correspondiente al intervalo de tiempo [1, 2), semana 3 correspondiente al intervalo de tiempo [2, 3), etc. Infectados Tipo 8 Tipo 7 Tipo 6 Tipo 5 Tipo 4 Tipo 3 Tipo 2 Tipo 1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Semanas

Figura 6.1: Ventana de tiempo de 10 semanas. El gráfico (6.1) nos muestra ocho tipos de personas. La clasificación en estos diferentes tipos depende del momento en que adquirió el virus y del momento que dejó de presentar alguno de los síntomas. La linea continua gruesa significa las semanas que estuvieron enfermos y la linea continua tenue negra significa que no tuvieron síntomas o al menos no fueron reportados. Tipo 1: Personas de tipo 1 son aquellas que en esta ventana de tiempo se mantuvieron sin la enfermedad. Tipo 2: Las del tipo 2 son aquellas personas en dicha ventana no se enfermaron pero si lo hicieron un poco antes. Principios Matemáticos para Medicina

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Tipo 3: El tipo 3 representa las personas que en esta ventana de tiempo siempre estuvieron enfermas debido al virus. Tipo 4: Las del tipo 4 en el inicio de la ventana de observación estaban enfermas pero se recuperaron un día comprendido en este periodo. Tipo 5: Las del tipo 5 no se enfermaron en este periodo de tiempo aunque podemos observar que si lo hicieron después del periodo observado. Tipo 6: Las del tipo 6 se enfermaron en una semana específica del periodo observado. Tipo 7: Las del tipo 7 se enfermaron y se recuperaron en una de las semanas comprendidas en el periodo de interés y Tipo 8: Las del tipo 8 son aquellas que se enfermaron al inicio de la ventana de tiempo y estuvieron enfermas hasta el ultimo reporte de la semana 10. Para nuestro interés los tipos 1, 2 y 5 representan los mismos casos. Por lo tanto, si suponemos que solo había un individuo de cada tipo el total de casos nuevos en esta ventana es 3. Es decir, Incidencia en la ventana [0, 10] = 3 (6.1)

La incidencia en este periodo de tiempo observado, [0, 10], es 3 individuos (los de tipo 6,7, y 8) nuevos. La prevalencia se puede medir en una ventana de tiempo como la incidencia pero, también se puede medir puntualmente. La prevalencia puntual es el número total de casos en un punto particular de tiempo. Por ejemplo, bajo el supuesto que solo existe un individuo de los diferentes tipos mostrados en la figura 6.1 la prevalencia puntual de la semana 6 es 4 casos. La prevalencia en un periodo es el número total de casos en una periodo particular de tiempo. Por ejemplo, en la ventana de 10 semanas mostrados el la figura 6.1 observamos, bajo el supuesto de un individuo por tipo, que hay un total de 5 casos. Es decir, la prevalencia en esta ventana es 5. Prevalencia (Semana 1) = 3 Prevalencia (Semana 7) = 4 Prevalencia (Semana 9) = 3

Prevalencia (Periodo[0, 10]) = 5

(6.2) casos en esta ventana.

En este capítulo daremos una introducción a modelos matemáticos básicos usados en epidemiología.

6.2. El modelo SIR Modelo SIR de Kermack-McKendrick El modelo SIR de Kermack-McKendrick (1927) (William Ogilvy Kermack y Anderson Gray McKendrick) es un modelo basado en el modelo para de transmisión de la Malaria 132

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de Ross-MacDonald (Ronald Ross MD 1911, premio Nobel en Medicina en 1902 y George Macdonald 1957). Suponga que queremos estudiar la dinámica de una enfermedad que ataca una comunidad donde S(t) indica el número de individuos susceptibles en el instante t, I(t) el número de individuos infectados en el instante t (consideramos infectado e infeccioso la misma clase), y R(t) el número de individuos recuperados o inmunes en el instante t. Este modelo está basado en las siguientes suposiciones.

Supuestos: 1. Ley de acción de masas, “La tasa a la cual una enfermedad se propaga es proporcional al número de individuos susceptibles por el número de individuos infecciosos” es decir, la tasa de propagación de la enfermedad es: βSI donde β es la constante de proporcionalidad. Esta ley fue propuesta por Hammer en 1906 (William Heaton Hamer 1862-1936) la cual fue tomada de la ley que lleva el mismo nombre para reacciones químicas. En química, la ley de la acción de masas, afirma que la velocidad de una reacción química es directamente proporcional al producto de las concentraciones de los reactivos. Esta ley proviene de la investigación realizada por Cato M. Guldberg y Peter Waage entre 1864 y 1879. Lo anterior se deduce, suponiendo que la transmisión es por contacto directo, y que un miembro promedio de la población hace contactos suficientes para transmitir la enfermedad con β N individuos por unidad de tiempo. Como que la probabilidad de que S , entonces el número total de nuevas inun infeccioso encuentre un susceptible es N S fecciones por unidad de tiempo es β N I = βSI. Al número β le llamaremos tasa de N transmisión o propagación. 2. Tasa de salida de los enfermos. Los infectados dejan la clase de de los infectados, I , a una tasa de γ I 3. No existen dinámicas vitales. Es decir, podemos suponer que que durante el período de infección de la enfermedad en una población no se tienen en cuenta nacimientos, muertes ni migraciones. 4. La población total permanece constante. Es decir, N(t) = S(t) + I(t) + R(t) es un número constante. 5. Adquisición de inmunidad. Una fracción de individuos deja la clase infecciosa por unidad de tiempo para convertirse en recuperados con inmunidad permanente. Denotaremos con γ I dicha fracción por unidad de tiempo. Más adelante mostraremos, que γ 1 puede interpretarse de la siguiente manera: el inverso es el tiempo promedio que un γ individuo infeccioso promedio dura con la enfermedad. Principios Matemáticos para Medicina

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El modelo SIR (Tipo 1) El modelo matemático, bajo los supuestos anteriores es,

S(t)

β

γ

I(t)

R(t)

Figura 6.2: Diagrama de flujo del modelo SIR de Kermack-McKendrick El sistema dinámico de ecuaciones diferenciales asociado es, dS = −β S I dt dI =βS I −γI dt dR = γI dt

(6.3)

Podemos entonces deducir que la población permanece constante,

Por lo tanto,

N ′ (t) = S ′ ( t) + I ′ ( t) + R ′ ( t) = 0

N( t) = S(t) + I ( t) + R ( t) = Constante.

(6.4)

Es plausible pensar en usar este modelo para enfermedades de corta duración y que cumplan todos los supuestos anteriores. En este caso el número reproductivo básico es,

R0 =

βN γ

(6.5)

Nota 1 (Interpretación). La cantidad β N se interpreta como: el número de contactos por día (o unidad de tiempo establecida) suficientes para transmitir la enfermedad que un individuo promedio infectado tiene con miembros de la población de susceptibles. Observe que β realmente no es una tasa por sus unidades, aunque muchos autores le llaman tasa. En caso que las variables de estado sean densidades de población entonces N = 1 y en este caso β si es una tasa. El número reproductivo básico, R 0 , se interpreta como: el número de contactos suficientes para transmitir la enfermedad que un individuo promedio infectado tiene con miembros de la población de susceptibles durante su periodo de infección (promedio). 134

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