GUÍA Práctica N° 06 - Trabajo en equipos, sobre pensamiento en acción PDF

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12 GUÍA PRÁCTICA N°MAGNITUDES PROPORCIONALES Y REPARTO PROPORCIONALFORMACIÓN HUMANÍSTICAEXPERIENCIA CURRICULAR DE PENSAMIENTO LÓGICO 12 MATERIAL INFORMATIVOMAGNITUDES PROPORCIONALES Y REPARTO PROPORCIONAL####### 1 Y CANTIDADMagnitud: Es todo aquello susceptible a ser medido y que puede ser percibido...

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FORMACIÓN HUMANÍSTICA EXPERIENCIA CURRICULAR DE PENSAMIENTO LÓGICO

GUÍA PRÁCTICA N°06 MAGNITUDES PROPORCIONALES Y REPARTO PROPORCIONAL - 12 -

MATERIAL INFORMATIVO MAGNITUDES PROPORCIONALES Y REPARTO PROPORCIONAL 1. MAGNITUD Y CANTIDAD Magnitud: Es todo aquello susceptible a ser medido y que puede ser percibido por algún medio. Además, posee la característica de variar, ya sea aumentando o disminuyendo, (Asociación Fondo de Investigadores y Editores, 2006, p. 470). Cantidad: Es todo estado particular de una magnitud, resulta de medir una determinada magnitud en ciertas unidades, (Asociación Fondo de Investigadores y Editores, 2006, p. 470). Ejemplo: La siguiente tabla muestra algunas magnitudes y su correspondiente unidad de medida: Magnitud Tamaño de un terreno (área) Peso de una persona Sueldo de una persona Velocidad de un automóvil Temperatura

Cantidad 120 m2 68 kg S/ 2 500 90 km/h 18° C

2. MAGNITUDES PROPORCIONALES Relaciones entre dos magnitudes Dos magnitudes son proporcionales, si al variar los valores de una de ellas, los valores correspondientes de la otra también varían proporcionalmente. Las magnitudes proporcionales pueden ser directamente proporcionales e inversamente proporcionales (Asociación Fondo de Investigadores y Editores, 2006, p. 470): A.Magnitudes directamente proporcionales (DP) Dos magnitudes son directamente proporcionales, si al aumentar los valores de una de ellas, los valores correspondientes de la otra, también lo hacen proporcionalmente. Análogamente si una disminuye, la otra lo hará proporcionalmente. Es decir, si al multiplicar el valor de una de ellas por un número, entonces la otra también queda multiplicada por el mismo número, y si al dividir el

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valor de una de ellas por un número, entonces la otra queda dividida por el mismo número. Analicemos el siguiente caso: el costo del metro cuadrado de un terreno en el distrito del Agustino es de S/ 3200. Observa la siguiente tabla que relaciona el tamaño de un terreno y su precio.

Tamaño del terreno Área (m2) Precio (S/)

1

90

120

150

180

200

320 0

288 000

384 000

480 000

576 000

640 000

En los valores de la tabla observamos que, si el área se multiplica por un número, entonces el precio quedará multiplicado por el mismo número. Si comparamos sus valores mediante un cociente obtenemos:

En general, para dos magnitudes A y B, estas se relacionan en forma directamente proporcional, si el cociente de sus valores correspondientes es una constante. A DP B 

Es decir:

( valor de A) k (valor de B )

(k: constante de proporcionalidad)

a a1 a2 a3 =... = n =k = = bn b1 b2 b3

Algunas magnitudes directamente proporcionales son: MAGNITUD 1 Tamaño de un terreno Número de máquinas de coser Número de artículos Cantidad de proteínas consumidas

RELACI ÓN DP DP DP

DP

MAGNITUD 2 Precio del terreno Producción de pantalones Precio total a pagar

Masa corporal

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B.Magnitudes inversamente proporcionales (IP) Dos magnitudes son inversamente proporcionales, si al aumentar los valores de una de ellas, los valores correspondientes de la otra disminuyen en la misma proporción. Análogamente si una de ellas disminuye, la otra aumentará proporcionalmente Es decir, si al multiplicar el valor de una de ellas por un número, entonces la otra queda dividida por el mismo número, y si al dividir una de ellas por un número, la otra queda multiplicada por el mismo número. Analicemos el siguiente caso: el recorrido que realiza un bus interprovincial para ir de Lima a Arequipa es de aproximadamente 1000 km. Teniendo en cuenta que el bus viaja a velocidad constante durante todo su recorrido, obtenemos la siguiente tabla que relaciona la velocidad y el tiempo de viaje. Velocidad(km/h )

50

80

100

125

Tiempo (h)

20

12,5

10

8

En los valores de la tabla observamos que, si la velocidad del bus se multiplica por un número, entonces el tiempo quedará multiplicado por el inverso del mismo número. Teniendo en cuenta cada par de valores obtenemos:

En general, dos magnitudes A y B son inversamente proporcionales si el producto de sus valores correspondiente es constante.

A IP B  (valor de A)( valor de B) k (k es constante de proporcionalidad) Algunas magnitudes inversamente proporcionales son: MAGNITUD 1 Número de inasistencias al trabajo

RELACIÓN

MAGNITUD 2

IP

Remuneración

Número de trabajadores

IP

Número de días para terminar un trabajo

Velocidad de desplazamiento

IP

Tiempo de viaje

Altura msnm

IP

Presión atmosférica

Ejemplo 1:

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Indique, entre los siguientes pares de magnitudes, los que son directamente proporcionales y los que son inversamente proporcionales. 1 .

El número de obreros empleados y el trabajo realizado.

(

)

2 .

Los días de trabajo y las horas diarias que se trabajan

(

)

3 .

La velocidad de un móvil con el tiempo empleado en

4 .

recorrer un espacio. El espacio con el tiempo, si la velocidad no varía.

( (

) )

5 .

El peso y el precio de una mercancía, cuando se paga a razón del peso.

(

)

6 .

El número de obreros empleados y el tiempo necesario para hacer una obra.

(

)

7 .

El número de cosas y el precio, cuando se paga a razón

(

)

del número. El tiempo y las unidades producidas

(

)

La longitud con el ancho y la altura y en general

(

)

8 . 9 .

cualquier dimensión de un cuerpo con otra, si la superficie o el volumen permanecen constantes.

Ejemplo 2: Carlos trabaja como vendedor en una tienda de electrodomésticos y recibe una comisión de S/ 150 por cada televisor vendido cuyo valor sea mayor a S/ 1000. ¿cuántos televisores cuyo valor sea mayor a S/ 1000 tendrá que vender para recibir S/ 1650 de comisión? Solución: Se sabe que, si se incrementa el número de televisores vendidos, entonces la comisión será mayor. Por lo tanto, el número de televisores vendidos es directamente proporcional a la comisión. N° de televisores DP Comisión Por lo tanto se cumple:

Si por cada televisor recibe una comisión de S/ 150; y por x televisores vendidos se recibe S/ 1650, entonces:

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Rpta. Carlos tendrá que vender 11 televisores para obtener una comisión de S/ 1650.

Ejemplo 3: Ciertos estudios han determinado que la temperatura en el interior de una habitación varía de forma inversamente proporcional al área de la misma. Un ingeniero civil ha realizado estudios que indican que en una habitación de 50 m 2 la temperatura es de 20° C, ¿Cuál será la temperatura en un ambiente de 40 m2? Solución: Sabemos que

Temperatura IP Área

Por lo tanto, se cumple:

Luego, reemplazando los valores: (50)(20)  40x 1000  40x 25  x

Rpta. La temperatura en un ambiente de 40 m2 es de 25° C

3. REPARTO PROPORCIONAL Consiste en repartir o dividir cierta cantidad en forma proporcional a determinados factores o números, llamados índices de reparto. Los elementos que siempre se encuentran presentes en un reparto proporcional son: cantidad a repartir, factores o índice de reparto y cociente de reparto o cantidad recibida. Cuando escuchamos la palabra reparto imaginamos una división en partes iguales; sin embargo, no siempre es el caso, en muchas ocasiones se toman en cuenta números indicadores de la forma en que se va a realizar el reparto. Reparto Proporcional Simple: Es aquel reparto que se realiza en forma proporcional a un solo grupo de índices, este reparto puede ser de dos tipos: A.Reparto Simple Directo: Al efectuar este tipo de reparto, se obtienen partes que son directamente proporcionales a los índices.

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En general repartir una cantidad N DP a los índices a1 , a 2 , a 3 ,.... , an Se cumple que las partes obtenidas: P1 , P2 , P3 , .... , Pn son DP a los índices. P1 P2 P3 P     n k a1 a2 a3 an

, donde N P1  P2  P3  ... Pn

B.Reparto Simple Inverso: Al efectuar este tipo de reparto, se obtienen partes que son inversamente proporcionales a los índices. En general repartir N IP a los índices a1 , a2 , a3 ,.... , an Se cumple que las partes obtenidas: P1 , P2 , P3 , .... , Pn son IP a los índices. P1 .a1 P2 .a2 P3 .a3  Pn .an k

Además: N P1  P2  P3  ... Pn Ejemplo 5: Andrés, Benito y Carlos se asocian para realizar un negocio de venta de autopartes, para lo cual Andrés aporta S/ 2000, Benito S/1800 y Carlos S/ 800. Si se proyecta una utilidad de S/ 23 000. ¿Cuánto le correspondería a cada uno? Solución: El reparto de las utilidades debe de darse de manera directamente proporcional al aporte de cada uno y esto debe sumar el total. Sean A, B y C las cantidades que le corresponde de la utilidad a cada uno respectivamente, tenemos A  B  C 23 000 Como la utilidad que le correspondería es DP a sus aportes, se determina la constante de proporcionalidad:  A  2000k A B C    k   B 1800k 2000 1800 800 C 800k  Reemplazando las cantidades que le corresponde a cada uno llegamos a la ecuación:

Por lo tanto, lo que cada uno recibirá, es: Andrés: A = 2000(5) = 10 000 soles. Benito: B = 1800(5) = 9 000 soles. Carlos: C = 800(5) = 4000 soles.

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Ejemplo 6: El gerente de una empresa de servicios de taxi desea disminuir el índice de infracciones a las normas de tránsito y decide repartir un bono de S/ 8 460 entre sus trabajadores. El reparto se realizará de manera inversamente proporcional a las infracciones cometidas según la información de la tabla: Trabajador

N° de infracciones

Javier

4

Leonardo

5

Carlos

3

Calcular el monto que recibirá cada uno. Solución: El reparto del bono debe de darse de manera inversamente proporcional al número de infracciones, y esto debe dar el total.

Si el reparto es inversamente proporcional a 4, 6 y 3; entonces determinamos la constante de proporcionalidad. k  J  4  k  J x 4 L x 5 C x 3 k  L  5  k  C  3  Replanteando las cantidades que le corresponde a cada uno llegamos a la ecuación:

Por lo tanto, cada uno recibe: Javier:

10 800 J  2700 soles 4

10 800 2160 soles Leonardo: L  5

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Carlos:

10 800 C 3600 soles 3

CASOS DIDÁCTICOS Instrucciones: Resuelve las siguientes situaciones contextuales aplicando los conceptos de magnitudes proporcionales y reparto proporcional. 1. En una imprenta, el precio unitario de un libro es IP al número de ejemplares editados. Si los ingresos de una primera edición ascienden a S/ 41 800, ¿cuál será el precio de cada libro en una segunda edición en la que se venden 1900 ejemplares? Datos Planteamiento y solución

significativos

Respuesta: 2. El jefe de servicios de enfermería concluyó que la dosis de medicamento para los pacientes del pabellón “B” es proporcional a la masa de cada persona. Además, se sabe que una persona recibió 20 mg de medicamento y otra persona que pesaba 7 Kg menos recibió 18 mg. Determina la masa de ambos pacientes.

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Datos significativos Planteamiento y solución

Respuesta: 3. Cuatro estudiantes de la UCV sede Lima: Vanessa, Magaly, Lourdes y Carolina hicieron un viaje de pasantía a la UCV sede Huaraz. Reunieron el dinero que cada una tenía S/ 600 de Vanessa, S/ 700 de Magaly, S/ 900 de Lourdes y S/ 800 de Carolina. Al regresar les quedó un total de S/ 150 que decidieron repartirlo de manera proporcional al monto que cada una aporto. Calcule cuanto le tocó al estudiante que más aportó. Datos significativos Planteamiento y solución

Respuesta: 4. En un concurso de matemáticas se entregaron 20 problemas y se premiaron a los 3 primeros lugares en partes inversamente proporcionales al número de problemas no resueltos. El primer puesto resolvió 19 problemas, el segundo puesto resolvió 18 problemas y el tercer puesto resolvió 16 problemas. ¿Cuánto le corresponde a cada uno si el premio es de S/ 700? Datos Planteamiento y solución

significativos

Respuesta: 5. EL PERÚ EN CIFRAS DEL AÑO 2017

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Fuente: INEI Densidad de población Es un indicador que nos permite saber cuánta población habita en una zona territorial, como un país, una región, una comuna, etc. Así como también saber cuándo la población está concentrada o dispersa, respecto al territorio que habitan. Ejemplo: Un área geográfica tiene una población de 9.800 habitantes y tiene una superficie de 15 km2, por tanto, la densidad de población es de 653 hab/km2. En base a la información presentada responde: A.Comenta sobre lo que nos brinda la información. B.¿Qué magnitudes y unidades intervienen en la densidad poblacional de nuestro país? C.Teniendo en cuenta los datos anteriores calcular la densidad poblacional del Perú en el 2017. Interpretar la misma. D. Si el número de habitantes en nuestro país aumenta, ¿Cuál sería el comportamiento de nuestra densidad poblacional? Justifica tu respuesta. E. Asumiendo que las cifras reportadas por el INEI se relacionan proporcionalmente en el citado año, estimar: - La cantidad de personas que tendrían cobertura de salud, de una población total de 100,000 peruanos. - La población económicamente activa por cada 100 peruanos.

PENSAMIENTO EN ACCIÓN

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SITUACIÓN CONTEXTUAL N° 01 EL CENSO EN CIFRAS Censo nacional se dio en medio de reclamos, omisiones y calles vacías. La población cumplió, el INEI no. Pasadas las 5 p.m. no se terminó de censar a todas las casas de las zonas urbanas. El INEI precisó que hubo una omisión del 2% que se atenderá en estos días. Empadronadores denunciaron problemas logísticos y hasta una violación. No hubo transporte público. En La Convención (Cusco) se suspendió el censo. Hoy arranca en el área rural.

16.1%

En base a la información presentada responde: A.Expresa brevemente lo que nos proporciona la información. B. Identifica y escribe las magnitudes con sus respectivas unidades que cita la fuente. C.Estima la razón entre el número de viviendas a censar del área urbana y las del área rural. Interpreta tu respuesta. 7686497 / 2259183 = 64/19 = 3,4

D. Determina la razón entre el número de empadronadores y el número de viviendas a censar, en el área rural e interpreta tu respuesta. Asimismo, con relación a la razón determinada, estimar la cantidad de viviendas que habrían censado 1000 empadronadores rurales.

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

Razón entre el número de empadronadores y el número de viviendas a censar. 2259183/ 24981 = 753061/8327= 90,43



Estimar la cantidad de viviendas que habrían censado 1000 empadronadores rurales.

E. Asumiendo que la población del país se incrementaría en la misma proporción que en la década 2007 - 2017, calcula la población estimada para el año 2027. F. Analizando el porcentaje de crecimiento de las viviendas en edificio en los últimos años, ¿cuál es tu apreciación crítica al respecto?

SITUACIÓN CONTEXTUAL N° 02 MINSA: CASOS CONFIRMADOS POR CORONAVIRUS COVID-19 ASCIENDEN A 1 338 297 EN EL PERÚ (COMUNICADO N°440) Fuente: MINSA 2 de marzo de 2021 - 9:20 p. m. Con relación al procesamiento de las muestras (moleculares, antigénicas y serológicas o rápidas) por coronavirus COVID-19, el Ministerio de Salud (Minsa) informa a la población lo siguiente: 1. Hasta las 22:00 horas del día 1 de marzo de 2021 se han procesado muestras para 7 648 496 personas por la COVID-19, obteniéndose, 1 338 297 casos confirmados y 6 310 199 negativos. a. Personas muestreadas 7 648 496 b. Resultados negativos 6 310 199 c. Casos confirmados 1 338 297 2. Durante el 1 de marzo se registraron los resultados de 43 982 personas muestreadas, de los cuales 3 135 fueron casos sintomáticos confirmados de ese día. 3. Se registraron parcialmente, además, los resultados de 5 358 casos confirmados por COVID-19 de los siete días anteriores. 4. A la fecha, se tienen 15 221 pacientes hospitalizados por la COVID-19, de los cuales, 2 140 se encuentran en UCI con ventilación mecánica. 5. Del total de casos confirmados, a la fecha, 1 244 029 personas cumplieron su período de aislamiento domiciliario o fueron dados de alta de un establecimiento de salud.

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6. El Ministerio de Salud está analizando los sistemas de registro con el fin de actualizar la información. 7. A fin de evitar la propagación de la COVID-19, el Gobierno recomienda distanciamiento físico de al menos un metro de distancia de otra persona, usar mascarilla, lavarse las manos de manera frecuente y usar escudos faciales en el transporte público. 8. El Ministerio de Salud lamenta informar que la COVID-19 ha producido el fallecimiento de 46 894 ciudadanos en el país. Expresamos nuestras sentidas condolencias a los familiares en este momento de dolor. En base a la información presentada responde: A.Expresa tu opinión sobre las cifras que brinda este comunicado. B.Identifica y escribe las magnitudes con sus respectivas unidades que encuentres en esta fuente. C.Teniendo en cuenta los datos del primer numeral estimar: - La razón entre la cantidad de personas muestreadas y el número de casos negativos. Interpreta la misma. - La razón entre la cantidad de personas muestreadas y los casos confirmados. Interpreta tu respuesta. D. Asumiendo que las cifras reportadas por el MINSA hasta las 22:00 horas del día 1 de marzo de 2021 se relacionan proporcionalmente, estimar la cantidad de resultados negativos, de un total de 10 000 000 personas muestreadas. E. Asumiendo que la cantidad de pacientes hospitalizados por la COVID-19 se relaciona proporcionalmente a la cantidad de pacientes que se encuentran en UCI con ventilación mecánica, estimar la cantidad de camas UCI que se necesitaron para 5200 hospitalizados. F. Si la cantidad de resultados negativos aumenta, ¿Cuál sería el comportamiento de los casos confirmados? Justifica tu respuesta.

SITUACIÓN CONTEXTUAL N° 03 PERÚ CONTINÚA ATRACTIVO PARA INVERSORES TRAS EMITIR BONOS POR US$ 4,000 MILLONES Demanda ascendió a 10,000 millones de dólares por parte de inversores de EE.UU, Europa y Asia Fuente: ANDINA 19:53 | Lima, mar. 3. Por Miguel De la Vega El Perú continúa atractivo para los inversores extranjeros en el mercado de bonos soberanos, tras la reciente emisión por 4,000 millones de dólares a bajas tasas de interés y una amplia demanda, señaló hoy el ministro de Economía y Finanzas, Waldo Mendoza.

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“Hoy día colocamos 4,000 millones de dólares, tuvimos una demanda como de 10,000 millones de dólares, lo cual es un indicador que el apetito por los papeles peruanos sigue bueno, esto es signo que el Perú sigue siendo un país con sólidos fundamentos macroeconómicos”, declaró a la Agencia Andina. “Hemos colocado a tasas razonables a los tiempos, y también básicamente hemos cubierto las necesidades de financiamiento que teníamos para este año, así que también por eso nos sentimos tranquilos”, agregó. Refirió que la situación financiera internacional está un poco movida por las tasas de interés que están subiendo en el mundo, particularmente en Estados Unidos, porque los mercad...