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FACULTAD DE INGENIERIA Y SISTEMAS LÓGICA MATEMÁTICA/LÓGICA PROPOSICIONAL

GUÍA DE UNIDAD 2 TABLA DE VERDAD Y CONECTIVOS LOGICOS ING. MELENDEZ REVISION 2021-1

UNIDAD 2: LÓGICA SIMBOLICA

TABLA DE CONECTIVOS LÓGICOS CONECTIVO a) Conjunción

b) Disyunción i) Inclusiva: El uno o el otro o ambos ii) Exclusiva: El uno o el otro, pero no ambos

c)

Condicional

d) Bicondicional

•

•

2.

SÍMBOLO

• ^ &

Presentar alternativas u opciones La “o” en medio de las proporciones simples.

v

Presenta una sola opción La “o” antes de la primera proposición y otra “o” en medio de las proporciones.

v

Presenta una relación hipotética entre 2 o más eventos que tengan una secuencia lógica. Es necesario que ocurra “A” (antecedente) para que suceda “B” (consecuencia)

 →  ↔  

Niega una preposición, cambia o invierte el valor de verdad de una proposición.

Agrupación

Determinan orden y prioridad de los términos

LECTURA Y, pero, mas, también, mientras, sin embargo Tanto…….como…… Aunque, además A menos que, o,

Implica una relación de igualdad o de equivalencia

La Negación

Signos 1.

FUNCIÓN Juntar, Agregar, Adherir, (enunciados /no términos)

~ ( ) { } [] , . ;

Puntuación

Ni………ni……….. O bien…… o……. O bien……..a menos que……. O el uno ó el otro pero no ambos Si ... entonces … Se sigue que, Implica que, Contiene a Si y solo si Equivalente

Es falso que No es el caso que No es cierto que No ocurre que No sucede que Cuando existe una “coma”; “punto”, y “punto y coma”, aislar la expresión siguiente con signos de agrupación.

TABLAS DE VERDAD Proposiciones

v

v

Conjunción

Disyunción Inclusiva

Disyunción Exclusiva

p q

pvq



pvq

→

↔

Condicional

Bicondicional

p→q

p↔q

P

q

Antecedente

Consecuente

V

V

V

V

F

V

V

V

F

F

V

V

F

F

F

V

F

V

V

V

F

F

F

F

F

F

V

V

~

Negación

P

~P

V

F

F

V

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UNIDAD 2: LÓGICA SIMBOLICA

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PRUEBA FORMAL DE VALIDEZ E INVALIDEZ DE UN ARGUMENTO

REGLAS DE INFERENCIA 2. Modus Tollens (M · T) 1. Modus Ponens (M.P.) pq pq p q q  p 3. Silogismo hipotético (S.H.) 4. Silogismo disyuntivo (S.D.) pvq pq pq p o q qr ó rp pr rq q p 5. Dilema Constructivo (D.C.) 6. Absorción (Abs.) (p  q) · (r  s) pq o pq pvr  p  (q · p)  p  (p · q) qvs 7. Simplificación (Simp.) 8. Conjunción (Conj.) p· q p· q p p q o q p q p· q q · p 9. Adición (Ad.) p pvq

X-

REGLA DE REEMPLAZO Teoremas de De Morgan (De M) XIConmutación (Conm.) a) (p . q)  (p v q) a) (p v q)  (q v p) b) (p v q)  (p · q) b) (p . q)  (q · p) XII- Asociación (Asoc.) a) [p v (q v r)]  [(p v q) v r] b) [p . (q . r)]  [(p . q) . r]

XIV- Doble negación (D.N.) p   p XVI- Implicación Material (Impl.) (p  q)  (p v q) XVIII- Exportación (Exp.) [(p . q)  r]  [p  (q  r)]

XIII- Distribución (Dist.) a) [p . (q v r)]  [(p . q) v (p . r)] b) [p v (q . r)]  [(p v q) . (p v r)] XV-

Transposición (Trans.) (p  q)  (q  p) XVII- Equivalência Material (Equiv.) a) (p  q)  [(p  q) . (q  p)] b) (p  q)  [(p . q) v (p . q)] XIX- Tautologia (Taut.) a) p  (p v p) b) p  (p . p)

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Orden de ejecución de las operaciones dentro de una fórmula proposicional 1. Realizar las negaciones que estén afectando directamente a una variable proposicional. Ejemplo: ~A, B 2. Realizar las operaciones que se encuentren dentro de signos de agrupación (paréntesis, corchetes, llaves) empezando por los signos de agrupación que están más adentro y luego se sigue hacia afuera. 3. Si hay dos operaciones que se pueden hacer al mismo tiempo, realizarlos en el orden de izquierda a derecha, según aparezcan en la fórmula.

I. Si A, B y C son enunciados verdaderos y X, Y y Z son enunciados falsos, ¿cuáles de las siguientes fórmulas son verdaderas? Nota: Como puede observarse en las indicaciones, todos los ejercicios de esta parte poseen fórmula en la que las variables proposicionales son conocidas, ya sea que sean verdaderas o falsas. Por lo que al utilizar la fórmula 2n=20=1, es decir que todos los ejercicios de esta parte sólo necesitan 1 fila para resolverlos. 1. ~A v B 1 ~ F

2. B v X A V

2 v V

B V

R/ Verdadero. Es tautología. 3. Y v C

4. Z v X

5. (A  X) v (B  Y)

6. (B  C) v (Y  Z)

7. (C Y) v (A  Z)

8.  (A  B) v (X  Y)

9. (X  Z) v (B  C)

10.  (X  Y) v (B  C)

11. (A v X)  (Y v B)

12. (B v C)  (Y v Z)

13. (X v Y)  (X v Z)

14.  (A v Y)  (B v X)

15. (X v Z)  (X v Z)

16.  (A v C) v (X Y)

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17.  (B v Z)  (X v  Y)

18.  [(A v C) v (C v A)]

19.  [(B  C).  (C  B)]

20.  [(A  B) v  (B A)]

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21. [A v (B v C)]   [(A v B) v C]

[A v

3 v v

1 (B v C)] v v v

6 . f

5 2 4 ~ [(A v B) v C] f v v v v v

22. [X v (Y  Z)] v [(X v Y)  (X v Z)] 23. [A  (B v C)]   [(A B) v (A C)] 24. [(A  B) . (X  Z)]   [(A  B) v  (Y  Z) 25. {[(B  C) v (Y  Z)]  [(B v X) v (B v Y)]

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UNIDAD 2: LÓGICA SIMBOLICA

II. Si A, B y C son enunciados verdaderos y X, Y y Z son falsos, determine ¿cuáles de las siguientes fórmulas son verdaderas? Nota: Como puede observarse en las indicaciones, todos los ejercicios de esta parte poseen fórmula en la que las variables proposicionales son conocidas, ya sea que sean verdaderas o falsa. Por lo que al utilizar la fórmula 2n=20=1, es decir que todos los ejercicios de esta parte sólo necesitan 1 fila para resolverlos. 1. (A  B) Z

2. (A B) Z

3. (A  B)

4. (X  Y)  C

C 5. A  (B Z) 2 --> f

A v

1 --> f

(B v

Z) f

 (Y  Z) 7. [(A B) C]  Z 9. [A (X Y)]  C 11. [(X Z) C] Y 6. X

1 --> v

[(X f

8. (A  X)  Y   Z 10. (A  B)  Y  X 2 --> v

Z) f

C] v

3 --> f

Y f

12. (Y  B) Y  Y 13. [(A  Y)  B]  Z 14. [(A · X) C]  [(A C) X] 15. [(A · X)  C]  [(A X)  C] 1

[(A

.

X)

3 >

v

f

f

v

C]

5 >

v

v

[(A

2 >

v

f

X)

4 >

C]

f

v

v

16.[(A · X) Y]  [(X A)  (A Y)] 17. [(A · X) v ( A · X)]  [(A X) · (X A)] 18. {[A  (B  C)]  [(A · B)  C]}  [(Y  B)  (C  Z)]

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19. {[(X  Y)  Z]  [Z  (X  Y)])  [(X  Z)  Y] 20. [(A · X)  Y]  [(A  X) · (A  Y)] 21. [A (X · Y)]  [(A  X) v (A  Y)]

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III. Si sabemos que A y B son verdaderos y que X y Y son falsos, pero desconocemos los valores de verdad de P y Q, ¿Cuáles de los valores de verdad de los siguientes enunciados se pueden conocer, si son falsos, verdaderos o desconocidos? Nota: Como puede observarse en las indicaciones, todos los ejercicios de esta parte poseen fórmula en la hay por lo menos una variable proposicional que no es conocida (P o Q o ambas). De tal forma que si sólo aparece una de estas variables (ya sea sólo P o sólo Q) al utilizar la fórmula 2n=21=2, es decir que en ese caso se necesitan 2 filas para resolverlos. En cambio, si aparecen ambas (tanto P como Q) al utilizar la fórmula 2n=22=4, es decir que en ese caso se necesitan 4 filas para resolverlos 1. A v P A v v

2. Q  X v v v

P v f

R/ Es verdadero. Es Tautología (opcional) 3. Q v X 5. P v P 7. Q  Q 9.  (P Q) v P 2 ~ (P f v v v v f v f

1 . Q) v v f f f v f f

4. B  P 6. P v (Q v P) 8. P (P v X)

3 v P v v v v v f v f

R/ La fórmula es verdadera. Es una tautología (opcional) 10. Q  (P v Q)  P 11. (P v Q)   (Q v P) 13. P v  Q v (P Q) 15. P  [  (P v Q) v P] 17. [(P v Q) v P v P 19. (A v P)  (P v Y) 20. [P v (B  Y) v [(P v B)  (P v Y)]

12. (P Q)  (P v  Q) 14. P v  (A v X) 16.  (P  Q) v (Q  P) 18. (P v Q)   [P v (P  Q)]

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21. [P v (Q  A)]  [(P v Q)  (P v A) 22. P v (Q  X)]  (P v Q)  ~ (P v X)] 23. P v (Q v X) v [(P v Q) v (P v X)] 24.  [P v (Q v A)] v [ (P v Q) v (P v A)] 25. [(P Q) v (Q  P)   [(P Q) v ( Q  P)]

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IV. Si A y B se conocen como verdaderos y X y Y como falsos, pero los valores de verdad de P y de Q no se conocen, ¿Cuáles de los valores de verdad de los siguientes enunciados se pueden conocer, si son falsos, verdaderos o desconocidos? Nota: Como puede observarse en las indicaciones, todos los ejercicios de esta parte poseen fórmula en la hay por lo menos una variable proposicional que no es conocida (P o Q o ambas). De tal forma que si sólo aparece una de estas variables (ya sea sólo P o sólo Q) al utilizar la fórmula 2n=21=2, es decir que en ese caso se necesitan 2 filas para resolverlos. En cambio, si aparecen ambas (tanto P como Q) al utilizar la fórmula 2n=22=4, es decir que en ese caso se necesitan 4 filas para resolverlos 1. P  A

2.X Q

3. (Q A) Y

4. (P · A)  B

5. (P P)

6. (X

X 7. X (Q  X) 9. [P  (Q P)] Y [P v v f f

2 --> v v v v

Q) X 8. (P · X)  Y

(Q v f v f

1 --> v v f v

P)] v v f f

3 --> f f f f

Y f f f f

R/ Es falso. Es contradicción 10. (Q Q)  (A  X) 11. (P  X) (X  P)

12. (P  A)  (B  X)

13. (X  P)

14. [(P  B)  B]  B

(B Y) 15. (X  Q)  Q  Q [(X f f

1 --> v v

Q) v f

2 --> v f

Q] v f

3 --> v v

Q v f

16. (P  X)  (X P)

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UNIDAD 2: LÓGICA SIMBOLICA

17. (X P) (X Y)

18. (P A) (A 

B)

19. (P Q) (P Q) 20. (P 

P) (A  B) 21. (A · P)  (A v  P) 23. (X v Q) (X · Q) 24. [P  (A v X)]  [(P A) X] 25. [Q v (B · Y)]  [(Q v B) · (Q v Y) [Q

4 v

v f

v f

(B

1 .

v v

f f

Y) ]

6 -->

f f

v v

22. (P · X)   (P v  X)

[ (Q

2 v

v f

v v

B)

5 .

v v

v f

(Q

3 v

Y) ]

v f

v f

f f

R/ es verdadera (es Tautología)

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UNIDAD 2: LÓGICA SIMBOLICA

V. Use tablas de verdad para caracterizar las siguientes formas enunciativas como tautológicas, contradictorias o contingentes. 1. [p  (p  q)]  q [p v v f f

--> v f v v

(p v v f f

--> v f v v

q)] v f v f

--> v v v f

q v f v f

R/ Contingencia

2. (p  q)  (  p  3. (p · q) · (p 

 q)

 q)

4. p 

p  (q v  q)] 6. (p  p)  (q · q)

5. p  [p  (q ·  q)] 7. [p  (q  r)  [(p  q)  (p  r)] 8. [p  (q  p)]  [(q  q) 

(r  r)] 9. {[(p  q) · (r  s) · (p v r)]  (q v s)} 1

5

2

6

3

7

4

{[(p

-->

q)

.

(r

-->

s)

.

(p

v

r)]

-->

(q

v

s) }

v v

v v

v v

v f

v v

v f

v f

v f

v v

v v

v v

v v

v v

v v

v f

v

v

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f

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f

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f

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f

f

f

f

v

f

v

v

f

v

f

v

f

v

f

f

f

f

f

v

f

f

f

R/ Tautologia

10. {[p  q) . (r  s)] · (q v s)  (p v r)

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VI. Use tablas de verdad para decidir cuáles de los siguientes bicondicionales son tautologías, contradicciones o contingencias. 1. (p  q)  (q 

 p)

3 --> v f v v

5

v v v v

(p v v f f

q) v f v f

1 (~ f v f v

q v f v f

4 --> v f v v

2 ~ f f v v

p) v v f f

R/ Tautologia

2. (p  q)  (p 

q) 3. [(p  q)  r  [(q  p)  r]

4. [p  (q  r)   q  (p  r) 6. p  p v (p · q )

5. p  [p · (p v q)]

 q) 9. p  [p v (p  q)]

8. p  [p · (q  p)

7. p  [p · (p

10. (p  q)  [(p v q)  q]

11. p  [p v (q · q) 4 p v v f f

v v v v

[p v v f f

3 v v v f f

(q v f v f

2 . f f f f

1 ~ f v f v

q)] v f v f

R/ Tautología

12.p  [p · (q · q) 13. p  p · q] 15. p · (q v r)  (p · q) v (p · r) 17. [p v (q v r)]  [(p · q) v (p · r)]

14. p  p v (q v q) 16. p · (q v r)]  [(p v q) · (p v r)] 18. [p v (q · r)]  [(p v q) · (p v r)]

19. [(p · q)  r]  [p  (q  r)] 20. [(p  q) · (q  r)  [(p · q) v (p. q)]

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FACU...