Matemáticas discretas - L8. Tablas de verdad y equivalencias PDF

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 Todo lo que sucede en la computadora tiene relación con las actividades de los seres humanos, sin embargo, el lenguaje en la cotidianidad puede ser ambiguo y al generar software se necesitan órdenes muy claras para que el sistema cree los procesos necesarios....

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TABLAS DE VERDAD Y EQUIVALENCIAS

 Todo lo que sucede en la computadora tiene relación con las actividades de los seres humanos, sin embargo, el lenguaje en la cotidianidad puede ser ambiguo y al generar software se necesitan ordenes muy claras para que el sistema cree los procesos necesarios. o En la siguiente frase hay cierta ambigüedad que no puede trasladarse a un lenguaje de programación.  Observa:  El gato de pepe es flojo o ¿Pepe es flojo? o Pepe tiene un gato como mascota? o Los filósofos han analizado las diferentes formas de comprobar la verdad en un enunciado, pero la propuesta que se utiliza actualmente son las tablas de la verdad.  TABLAS DE LA VERDAD  Una tabla de verdad muestra claramente los posibles valores de verdad que tendrá una proposición compuesta (formada por dos o mas proposiciones simples). Es decir, indica en que situaciones será verdadera o falsa.  Un valor de verdad es el valor que puede tomar una proposición y solo puede ser verdadero (V) o falso (F).

o

Las tablas de la verdad son muy útiles ya que son la base del pensamiento lógico y de las relaciones entre proposiciones.  ¿Cómo se construye una tabla de verdad?  Nombra cada proposición simple con letra minúscula: o p, q, r, s, …  Formula la proposición junto con sus operadores lógicos

o ˜, ^, , … 

Determina la cantidad de posibles combinaciones con la fórmula:

o

2n 

  

Donde:  2 son los posibles valores de verdad (V o F)  n es la cantidad de proposiciones.

Dibuja una tabla con la cantidad de filas igual al numero de combinaciones obtenidas. Y la cantidad de columnas igual al número de proposiciones existentes. Asigna a cada proposición sus posibles valores de verdad. Resuelve las operaciones lógicas.

 Ejemplo 1: o Construye la tabla de la verdad para la siguiente proposición:  Luis no sabe manejar un auto y no tiene licencia de conducir. o

o

o

Nombra cada proposición simple, con una letra minúscula.  ˜p: Luis no sabe manejar un auto.  ˜q: Luis no tiene licencia de conducir. Formula la proposición junto con sus operadores lógicos:  Luis no sabe manejar un auto y no tiene licencia de conducir.  ˜p: Luis no sabe manejar un auto.  ˜q: Luis no tiene licencia de conducir.  Observa que las proposiciones p y q son negaciones (˜), además las une el operador lógico y que es conjunción (^).  Por lo tanto: ˜p ^ ˜q Determina la cantidad de posibles combinaciones con la fórmula: 



2n En este caso tenemos 2 proposiciones ˜p y ˜q, por lo tanto, n = 2.



o

22=4 o Donde:

 2 son los posibles valores de verdad (V o F)  n es la cantidad de proposiciones.  Entonces las posibles combinaciones serian 4, el mismo numero de filas de mi tabla. Dibuja una tabla con la cantidad de filas obtenidas en el paso tres; y en la que el numero de columnas sea igual al de las proposiciones.  En este caso hay 4 combinaciones por lo cual serán 4 filas.  Hay 2 proposiciones, mas 2 proposiciones negadas, así que en total serán 4 columnas:

p

o

o

q

˜p

˜q

Asigna a cada proposición sus posibles valores de variedad. Para asignar estos valores recuerda que:  La negación de una proposición es falsa cuando se niega una proposición verdadera. Es decir, es el valor contrario de la proposición.

p

q

˜p

˜q

V V F F

V F V F

F F V V

F V F V

˜p

˜q

˜p ^ ˜q

F F V V

F V F V

F F F V

Resuelve las opciones lógicas.

p V V F F

q V F V F

 Ejemplo 2: o Construye la tabla de la verdad para la siguiente proposición compuesta:  Rene ahorrará todo el año o se irá de vacaciones.  Esta proposición es una disyunción exclusiva, representada con el símbolo Ꚛ) o

o

Nombra cada proposición simple, con una letra minúscula.  ˜r: Rene ahorrará todo el año.  ˜s: Rene se irá de vacaciones. Determina la cantidad de posibles combinaciones con la fórmula: 

2

n





o o

o

Donde:

o 2 son los posibles valores de verdad (V o F) o n es la cantidad de proposiciones. En este caso tenemos 2 proposiciones ˜r y ˜s, por lo tanto, n = 2. 2  2 =4

 Entonces las posibles combinaciones serian 4, el mismo número de filas de mi tabla. Dibuja una tabla con la cantidad de filas igual al número de combinaciones obtenidas. Y la cantidad de columnas igual al número de proposiciones existentes. Asigna a cada proposición sus posibles valores de verdad, con base en la tabla de disyunción exclusiva:

r

s

Verdadero Verdadero Falso Falso

Verdadero Falso Verdadero Falso

Por último, observa nuevamente la tabla de disyunción exclusiva y resuelve las operaciones lógicas.

r

s

V V F F

V F V F

rꚚs F V V F

 Equivalencias lógicas. o Una equivalencia lógica ocurre cuando dos proposiciones p y q tienen el mismo valor de verdad.  Se representa como:  p≡q o p y q son equivalentes. o Las equivalencias son importantes, ya que se usan para hacer demostraciones. o Se denomina teorema a toda proposición cuya afirmación se puede demostrar.  Ejemplo: o Demuestra que las dos proposiciones compuestas siguientes son equivalentes.  Si Andrés come mucho, entonces subirá de peso.  Si Andrés no come mucho, entonces no subirá de peso. o Nombra cada proposición simple con una letra minúscula:

o

Formula la proposición junto con sus operadores lógicos:  p q˜rs

o

Determina la cantidad de posibles combinaciones para cada tabla con la fórmula: 

2

n



Donde:

o 2 son los posibles valores de verdad (V o F) o n es la cantidad de proposiciones. 

Posibles combinaciones por tabla

 o o

o

2

2 =4

Dibuja una tabla con la cantidad de las filas igual al numero de combinaciones obtenidas. Y la cantidad de columnas igual al número de preposiciones existentes: Asigna a cada preposición sus posibles valores de verdad, con base en la tabla de operador condicional.

p

q

Verdadero Verdadero Falso Falso

Verdadero Falso Verdadero Falso

Por último, observa nuevamente la tabla y resuelve las operaciones lógicas:

p

q

pq

Verdadero Verdadero Falso Falso

Verdadero Falso Verdadero Falso

Verdadero Falso Verdadero Verdadero

o

Al realizar las tablas podemos observar que ambas tienen los mismos valores de verdad, por lo tanto, son equivalentes.

o

Estas proposiciones son un teorema ya que tienen idénticos valores (V, F) en las mismas combinaciones

 ¿Cuál es la relación entre las tablas de verdad y la programación? o Una aplicación importante de las tablas de la verdad tiene que ver con el hecho de que ayudan a trabajar con circuitos electrónicos; en este caso las tablas de la verdad permiten comprobar los valores para un determinado número de componentes. o En las técnicas de electrónica y programación de trabaja con 0 y 1 donde el 1 representa el paso de corriente y el 0 corta el paso de la corriente. o En la programación el 1 representa un valor verdadero (V)y el 0 un valor falso (F)

CUESTIONARIO L8...