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Tautología, contradicción y contingencia Al conjunto de proposiciones, conectivos lógicos y símbolos de agrupación lo denominamos fórmula lógica. Por ejemplo: ~{ (p  q)  (s  t) } Si al evaluar una fórmula lógica, resulta que todos los valores de verdad resultantes son siempre V para cualquier combinación de sus valores de verdad, decimos que dicha fórmula es una Tautología o Ley lógica. Ejemplo: Si analizamos la proposición t: p  ~ p realizando su tabla de verdad:

p ~p p~p

V

F

V

F

V

V

Vemos que para cualquier combinación de las proposiciones p y su negación ~ p, la proposición t: p  ~ p es siempre verdadera. Entonces, la proposición t es una tautología. Ejemplo: Analicemos ahora la fórmula lógica { ( p  q )  p }  q

p q p  q q  p { ( p q )  p }  q

V V

V

V

V

V F

F

F

V

F V

V

F

V

F F

V

F

V

En este caso comprobamos también que independientemente de la combinación de valores de verdad de las proposiciones p y q, el resultado de la fórmula lógica es siempre V. Decimos, aquí también, que esta fórmula es una tautología o ley lógica.

Si al estudiar una fórmula lógica, a diferencia de los ejemplos anteriores resulta que para cualquier valor de verdad de las proposiciones el resultado de dicha fórmula es siempre falso, decimos que dicha fórmula es una Contradicción. Ejemplo: Analicemos la fórmula lógica p  ~ p

p ~p p~p

V

F

F

F

V

F

Encontramos que la fórmula es siempre falsa, es entonces una Contradicción. Si una proposición no es una tautología ni una contradicción (es decir que contiene al menos un valor V y otro F) es una contingencia. Ejemplos: a) (p v q) ↔ (q v p) “Sí es tautología” b) ~(p v q) ↔ (~p) ^ (~q) “Sí es tautología”

c) [(p v q) v r] ↔ [p v (q v r)] “Sí es tautología”

1.7 Equivalencia e Implicación Lógica 1.7.1 Proposiciones lógicamente equivalentes Dos proposiciones p y q se llaman equivalentes si sus tablas de verdad son idénticas. De ser así se denota: p q Ejemplo: Sea p: p  q, recordamos su tabla de verdad:

p q pq

V V

V

V F

F

F V

V

F F

V

Ahora bien, si analizamos la proposición q: ~ p  q, su tabla de verdad resulta:

p q ~pq

V V

V

V F

F

F

V

V

F

F

V

Como vemos, luego de realizar las tablas de valor de verdad encontramos que ambas proposiciones tienen el mismo resultado final. Con esto, decimos que ambas proposiciones son lógicamente equivalentes, y en este caso particular lo simbolizamos: (p  q)  (~ p  q)

Así, se dice que una proposición es equivalente a otra si su bicondicional es tautología

a) Demostrar si P es lógicamente equivalente a Q:

P ≡ [p → {(p v p) ^ (p ^ q)}] Q ≡ (p → q) [p → {(p v p) ^ (p ^ q)}] ↔ (p → q) “P si es lógicamente equivalente a Q, porque su bicondicional es una tautología”

b) Demostrar si P es lógicamente equivalente a Q: P≡p Q ≡ {[(~q v q) ^ ~q] v (p ↔ q)} p ↔ {[(~q v q) ^ ~q] v (p ↔ q)} “P no es lógicamente equivalente a Q porque su bicondicional no es una tautología”

1.7.2 Implicación lógica: Una proposición p implica lógicamente a una proposición q si su condicional es una tautología: Ejemplo: Sea P: (pq) r y Q: p (q  r) , demostrar que P implica lógicamente a Q:

p q (p  q)

 r

V V

V

V V V V

V

V

V V

V

F F

V V

F

F

V F

F

V V V V

V

V

V F

F

V F

V V

V

V

F V

F

V V V F

V

V

F V

F

V F

V F

V

F

F F

F

V V V F

V

V

 p ® (q  r)

F F

F

V F V F V

V

De donde se observa que P si implica lógicamente a Q debido a que su condicional es una tautología. a) Demostrar si P implica lógicamente a Q P ≡ [(p ^ q) → r] Q ≡ [p → (q → r)] [(p ^ q) → r] → [p → (q → r)] “P si implica lógicamente a Q, porque su condicional es una tautología”

b) Demostrar si P implica lógicamente a Q: P ≡ (p v q) v [(p v q) → (~q ^ p)] Q ≡ ~(p → q) (p v q) v [(p v q) → (~q ^ p)] → ~(p → q) “P no implica lógicamente a Q, porque su condicional no es una tautología”

1.8 Leyes del álgebra proposicional Aquellas fórmulas lógicas que resultan ser siempre verdaderas no importa la combinación de los valores de verdad de sus componentes, son tautologías o leyes lógicas. En el cálculo proposicional existen algunas tautologías especialmente útiles cuya demostración se reduce a la confección de su correspondiente tabla de verdad, a saber: Ley de Idem potencia: P  P P P  P P Ley Conmutativa: P  Q Q  P P Q Q  P Ley Distributiva: tiene distinto operador P  (Q R) (P Q)  (P  R) P  (Q  R) (P  Q)  (P  R)

Ley Asociativa: tiene el mismo operador P  (Q  R) P  (Q  R) P  (Q  R) P  (Q  R) Ley de D’ Morgan: ~(P  Q) ~P  ~Q ~(P  Q) ~P  ~Q Ley de Identidad: P  V P P  V V P  F F P  F P Ley de Complemento: P  ~P F P  ~P V ~V F ~F V ~(~P) P Ley de Absorción P  (P  Q) P P  (P  Q) P Otras Leyes de Equivalencia Lógica: P v Q (P v Q)  ~(P ^ Q) Definición de la disyunción excluyente (v) P → Q ~P v Q Definición de condicional (→) P ↓ Q ~P  ~Q Definición de conjunción negativa (↓) P ↔ Q (P → Q)  (Q → P) Definición de bicondicional (↔) Ejemplos: a) ~(p v q) v (p ^ ~q) ~q ~(p v q) v (p ^ ~q) condición inicial (~p ^ ~q) v (p ^ ~q) ley de D’ Morgan (~p ^ ~q) v (~q ^ p) ley conmutativa ~q ^ (~p v p) ley distributiva ~q ^ V ley de complemento ~q ley de identidad b) (~p v q) ^ (~q v ~p) ~p (~p v q) ^ (~q v ~p) condición inicial (~p v q) ^ (~p v ~q) ley conmutativa ~p v (q ^ ~q) ley distributiva ~p v F ley de complemento ~p ley de identidad

(p v q) ↓ p ~(p v q) ^ ~p (~p ^ ~q) ^ ~p (~p ^ ~p) ^ ~q ~p ^ ~q ~(p v q) ~(~(~p) v q) ~(~p → q)

c) (p v q) ↓ p ≡ ~(~p → q) condición inicial definición de ↓ ley de D’ Morgan ley asociativa ley de idempotencia ley de D’ Morgan ley de complemento definición de →

d) [(p ↔ q) ↓ q] v q (p ^ ~q) v q [(p ↔ q) ↓ q] v q condición inicial {[(p → q) ^ (q → p)] ↓ q} v q definición de ↔ {[(~p v q) ^ (~q v p)] ↓ q} v q definición de → {~[(~p v q) ^ (~q v p)] ^ ~q} v q definición de ↓ {[~(~p v q) v ~(~q v p)] ^ ~q} v q ley de D’ Morgan {[(p ^ ~q) v (q ^ ~p)] ^ ~q} v q ley de D’ Morgan y ley de complemento [~q ^ (p ^ ~q) v ~q ^ (q ^ ~p)] v q ley distributiva {[~q ^ ~q) ^ p] v [(~q ^ q) ^ ~p]} v q ley asociativa {(~q ^ p) v (F ^ ~p)} v q ley de idempotencia y complemento {(~q ^ p) v F}v q ley de identidad (~q ^ p) v q ley de identidad (p ^ ~q) v q ley conmutativa e) ~[(p ^ ~q) ^ q] ~[(p ^ ~q) ^ q] condición inicial ~[p ^ (~q ^ q)] ley asociativa ~[p ^ F] ley de complemento ~F ley de identidad V ley de complemento

f) (p ^ ~q) v q ↔ (p v q) (p ^ ~q) v q condición inicial [(p ^ ~q) v q] ^ ~[(p ^ ~q) ^ q] definición de v [(q v p) ^ (q v ~q)] ^ ~[p ^ (~q ^ q)] ley distributiva y asociativa [(q v p) ^ V] ~ [p ^ F] ley de complemento (q vp) ^ ~ (F) ley de identidad (q v p) ^ V ley de complemento qvp ley de identidad pvq ley conmutativa...