Hausaufgabe 4 PDF

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Universität Hildesheim Mathematische Methoden 1 SS 2018 Institut für Mathematik / Schmeier Hausübung 4 21.06.2018 In Gruppenarbeit bis zu 3 Personen Abgabe bis zum 05.07.2018, 10:00 Uhr, Briefkasten Samelsonplatz, Postfach 50

! ! ! Aufgabe 1. (Linearität des Spatprodukts in jeder Stelle.) Für Vektoren a , b , c ∈ IR 3 bezeichne ! ! ! ! ! ! [ a , b , c ] := a • ( b × c ) ihr Spatprodukt. Man zeige: a) Das Spatprodukt ist additiv in jeder Stelle, d.h. ! ! ""! ""! ! ! ""! ""! ! ! ""! ""! ! ! 3 ∀ a1 , a2 , b , c ∈ IR : [ a1 + a2 , b , c ] = [ a1 , b , c ] + [ a2 , b , c ], entsprechend in der zweiten und dritten Stelle. (Hinweis: Man verwende, dass das Skalarprodukt • distributiv bzgl. der Vektoraddition + und das Vektorprodukt × distributiv bzgl. der Vektoraddition + ist. Man kann auch mit Saalübung 7, Aufgabe 2b, die Additivität der zweiten und dritten Stelle auf die Additivität der ersten Stelle zurückführen.) b) Das Spatprodukt ist homogen in jeder Stelle, d.h. ! ! ! ! ! ! ! ! ! ∀ λ ∈ IR, a , b , c ∈ IR 3 : [ λ a , b , c ] = λ [ a , b , c ], entsprechend in der zweiten und dritten Stelle. "! "! "! "! ! ! ! ! (Hinweis: Man verwende die Regeln ( λ x ) • y = λ ( x • y ), (λ x ) × y = λ ( x × y ), für λ ∈ IR, ! "! x , y ∈ IR 3 . Man kann auch mit Saalübung 7, Aufgabe 2b, die Homogenität der zweiten und dritten Stelle auf die Homogenität der ersten Stelle zurückführen.) Bemerkung: Eine additive und homogene Funktion wird als linear bezeichnet. Aufgabe 2. (Linearkombinationen von Zeilenvektoren.) Man untersuche, ob der Vektor ""! ""! ""! ""! ""! ""! ! Linearkombination der Vektoren a1 , a2 , a 3 ist und ob v ∈ L( a1 , a2 , a3 ) gilt: ""! ""! ""! ! v = (2, − 5, 3), a1 = (1, − 3, 2), a2 = (2, − 4, − 1), a3 = (1, − 5, 7).

! v

Aufgabe 3. (Linearkombinationen von Funktionen.) Man untersuche, ob das Polynom p Linearkombination der Polynome p1 , p 2 , p3 ist und ob p ∈ L( p1 , p 2 , p3 ) gilt: p(t ) = t 2 + 4t − 3,

p1 (t ) = t 2 − 2t + 5, p2 ( t) = 2 t2 − 3t, p3 (t ) = t + 3, t ∈ IR.

Aufgabe 4. (Lineare Unabhängigkeit von Spaltenvektoren.) Man untersuche, ob die folgenden Vektoren im angegebenen Vektorraum linear unabhängig sind:  1  1  1   1  1 0              3 a)  1 ,  2 ,  0  in IR , b)  1 ,  2 , 0  in IR 3 ,  1  1  2   1  1 0               1   − 1  1  2           1  1  − 1         1   5  2  − 10  3 in IR 4 . c)  1 ,  2 ,  3  in IR , d)   ,   ,   ,   1 3 4 −2  0   0  0                 1   3  4  − 6          Aufgabe 5. (Unterräume des IR m .) Es seien m ∈ IN, m ≥ 2. Man untersuche, ob die folgende Menge Unterraum des IR m ist:

2

 v1  a) U1 : = {  ⋮  | v1 , ..., vm ∈ IR, v1 + ... + vm = 0 }. v   m  v1  b) U 2 : = {  ⋮  | v1 , ..., vm ∈ IR, vm = v1 + 1 }. v   m Aufgabe 6. (Matrizenrechnung.) Gegeben seien die Matrizen  1 −1  0 1 2  2 −1 0   1 0 3  . 3 2 A =  , B = , C = 2 2   2  4 1 1   1 1    Man berechne die folgenden Matrizen, falls sie definiert sind: a) CBA, b) ABC, c) BCA, d) BT ⋅ C + A ⋅ A T , e) (AB) T − B T ⋅ A T , f) C 2 − A T ⋅ (CB) T , g) AC − B T , h) (B T − A) ⋅ C ⋅ CT . (Hinweis: Matrizenrechnung in der Vorlesung ab 26.06.2018.)...