Herleitung Omega Tafel PDF

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Institut f¨ur Werkstoffe und Mechanik im Bauwesen Prof. Dr.-Ing. J. Schneider Dipl.-Ing. J. Franz

Statik I Biegeanteil aus Kr¨ummung Herleitung der ω - Tafeln

Einfeldtr¨ ager unter einer Gleichstreckenlast und Einzelmoment an den Stabenden q0 Ma

Me

Me > Ma

M-Linie:

Ma Me Mp = q0 · l2/8

Abbildung 1: Systemdarstellung und Momentenlinie

Differentialgleichung der Biegelinie Die Differentialgleichung 4. Ordnung der Biegelinie, bekannt aus der technischen Mechanik, lautet: EI wIV (x)

= q = q0

(1)

Integriert man diese Differentialgleichung viermal, erh¨alt man die Biegelinie des Balkens mit den Unbekannten C1 , C2 , C3 und C4 : EI wIII (x) EI wII (x) EI wI (x) EI w(x)

30. Juli 2009

= −Q = q0 x + C1 x2 + C1 x + C2 = −M = q0 2 x2 x3 + C2 x + C3 + C1 = q0 2 6 x4 x3 x2 + C + C + C3 x + C4 . = q0 1 2 24 6 2

Sommersemester 2009

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Statik I Biegeanteil aus Kr¨ummung Herleitung der ω - Tafeln

Bestimmen der Integrationskonstanten Die Integrationskonstanten C1 , C2 , C3 und C4 in Gleichungen (1)-(5) werden aus den geometrischen und statischen Randbedingungen bestimmt: M(0) = Ma

:

M(l) = Me

:

w(0) = 0

:

w(l) = 0

:

→ C2 = −Ma Ma − Me q 0 l q0 l 2 + C1 l − Ma = −Me → C1 = − 2 2 l → C4 = 0 q 0 l 4 Ma − Me l 3 q 0 l l 3 Ma 2 − + l + C3 l = 0 − l 6 2 6 24 2 q 0 l 4 Ma 2 Me 2 l =0 − → C3 l − l − 6 24 3 q 0 l 3 Ma Me l → C3 = l+ + 6 3 24

(6) (7) (8) (9)

Integrationskonstanten in Gleichung (5) einsetzen, ergibt die Biegelinie     3 Ma l Me l Ma − Me q0 l x3 q0 l q0 4 x2 + + − Ma x + x. + − EI w(x) = 6 24 3 24 2 6 2 l

(10)

¨ Uberf u ¨ hrung der Biegelinie in die ω - Tafel (Hilfsblatt 20) F¨uhrt man in Gleichung (10) die Abk¨ urzungen Mp = Mp EI w(ξ) = 2 l4 ξ 4 + 3l 1 w(ξ) = EI





Ma − Me 2 Mp − 6l 3l



q0 l2 8

und ξ =

Ma 2 2 l ξ + l ξ − 2 3

3



x l

ein , ergibt sich

 Mp l Ma l Me l + + lξ 3 3 6

Ma l 2 Ma l 3 Me l Me l 3 Mp l 2 Mp l 3 Mp l 4 Ma l ξ− ξ + ξ + ξ− ξ + ξ− ξ + ξ 3 2 6 6 6 3 3 3

i      w(ξ ) l h = 2 ξ − 3 ξ 2 + ξ 3 Ma + ξ − ξ 3 Me + 2 ξ − 2 ξ 3 + ξ 4 Mp . l 6 EI | {z } | {z } | {z } ′

ωD

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   : (EI l) 

ωD

Sommersemester 2009

    :l 

(11)

′′

ωp

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Statik I Biegeanteil aus Kr¨ummung Herleitung der ω - Tafeln

Die Gleichung (11) l¨aßt sich analog zu Hilfsblatt 20 in Matrizenschreibweise darstellen

mit

  Ma   l v(ξ ) w(ξ) ′ ′′  ω = = ω D 2 ω p Me  , 6 EI D l l Mp ′

ωD = 2 ξ − 3 ξ 2 + ξ 3 ωD = ξ − ξ 3 ′′

ωp = ξ − 2 ξ 3 + ξ 4 .

(12)

(13) (14) (15)

Gleichungen (13)-(15) lassen sich in Matrizenschreibweise darstellen, analog zu Hilfsblatt 20,    ξ 2 −3 1 0  2 ωD ωD  =  1 0 −1 0 ξ 3 . ξ  ′′ 1 0 −2 1 ωp ξ4 

′





(16)

Maximale Durchbiegung in Feldmitte bei einer Gleichstreckenlast Gesucht ist die Durchbiegung von einem Einfeldtr¨ager mit einer konstanter Streckenlast q0 an der Stelle x = 0, 5 l. Die Anfangs- und Endmomente sind bei einem Einfeldtr¨ager mi einer Gleichstreckenlast gleich Null (Ma = 0 , Me = 0).

Allgemeine Biegelinie Somit l¨ aßt sich die allg. Biegelinie nach Gleichung (10) vereinfachen zu EI w(x) =

q0 4 q0 l x3 q0 l3 + x − x. 2 6 24 24

Man erh¨ alt hieraus eine Durchbiegung an der Stelle x = 0, 5 l von   q0 q0 l 3 1 q0 l 3 4 (0, 5 l) (0, 5 l) + (0, 5 l) − w(0, 5) = EI 24 24 12 5 q0 l 4 . = 384 EI

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Hilfsblatt 20

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Statik I Biegeanteil aus Kr¨ummung Herleitung der ω - Tafeln

ω - Tafel

F¨ur die Berechnung der Durchbiegung in Feldmitte mit den ω-Tafeln ergibt sich ξ = Mit Ma = 0 bzw. Me = 0 vereinfacht sich Gleichung (12) zu v(ξ) = w(ξ) = mit Mp = F¨ur ξ =

x l

x l

′′ l2 2 ω p Mp , 6 EI

= 0, 5.

(19)

q0 l2 . 8 ′′

= 0, 5 erh¨alt man ein ωp -Wert nach Gleichung (16) von ′′

ωp = ξ − 2 ξ 3 + ξ 4 (20)

= 0, 5 − 2 · 0, 53 + 0, 54 . = 0, 3125 ′′

Einsetzen von Mp und ω p in Gleichung (19) ergibt eine Durchbiegung in Feldmitte von  q0 l 2 l2  · 2 · 0, 5 − 4 · 0, 53 + 2 · 0, 54 6 EI 8 4 5 q0 l . = 384 EI

w(0, 5) =

(21)

Diese Durchbiegung ist identisch mit der Biegelinie aus den Holschemacher Entwurfs- und Berechnungstafeln f¨ ur Bauingenieure bzw. den Schneider Bautabellen.

Die vertafelten Biegelinien f¨ ur die einzelnen Systeme, sowohl in den Berechnungstafeln als auch auf dem Hilfsblatt 20, resultieren aus der Einarbeitung der geometrischen und statischen Randbedingungen in die Differentialgleichungen des Biegebalkens und deren Auswertung. Sie sind somit aquivalent zueinander. ¨

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