I vari metodi di integrazione PDF

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I METODI DI INTEGRAZIONE In questo paragrafo verranno illustrati i vari metodi di integrazione che, pur non costituendo un procedimento generale per effettuare l'integrazione indefinita, permettono senz'altro di calcolare gli integrali indefiniti di estese classi di funzioni. a) INTEGRAZIONE PER SOMMA E D ECOMPOSIZIONE Tale metodo consente di decomporre la funzione f x da integrare nella somma di più funzioni f1 x , f 2 x , ..., f n x che si sappiano già integrare. Ne segue che: (1)

f x dx

f 2 x dx ...

f 1 x dx

f n x dx

dove f1 x , f 2 x , ..., f n x sono funzioni facilmente integrabili. ESEMPI

2x 3 3x 2 x 1 dx

)

)

1 x dx x2

1 dx x2

)

x dx x 1

x 1 1 dx x 1

x log x )

1 x 1 x2

arctgx

)

)

1

dx

1 2

2

x

1 x2

dx

1 cos2x dx 2

sin2 x 2

2

x

1 dx x

x 2 dx

x 1 dx x 1

x4 2

dx

x2 2

x3

1 log x x

1 dx x 1

x 1 x2

dx

x c

c

1 dx x 1

dx

sin2 x 2

c

1 2

c

arctgx

1 2

c

1 2

1

c

1 2

1 log 1 x 2 2

dx

cos2 xdx

x sin xcos x 1 2

1 cos2x dx

1 2 x 2sin xcos x 4

dx

2 1 x2

1 cos2 x dx

1 2 x 2sin xcos x 4

1 cos2 x dx 2

c

1 2

2x

arctgx

2x 1 dx arctgx log1 x 2 2 1 x 2

cos xdx

1 2

x dx x2

xdx

1 c

sin xdx

1 2

2 x 3dx 3 x 2dx

dx

c

cos2xdx

x sin xcos x

c

c

Osservazione. Si poteva risolvere l'integrale ) anche nel seguente modo:

cos 2 xdx

')

1 sin2 x dx

1 x sin x cos x 2

cos3 xdx

)

cos x sin 2 xdx

1 dx sin x cos x

)

sin x dx cos x

log

sin x cos x

1 x 2

1 sin x cos x c 2

cos x 1 sin2 x dx 1 3 sin x c 3

sin x

sin2 x cos2 x dx sin x cos x cosx dx sin x

c

x

c

cos x cos2 xdx

cos xdx

sin 2 xdx

dx

log tgx

tgxdx

sin2 x dx sin x cos x ctgxdx

cos2 x dx sin x cos x

log cos x

log sin x

c

c

b) INTEGRAZIONE PER PARTI Siano f x e g x due funzioni continue e dotate di derivata prima continua in a, b . Com'è ben noto risulta: D f x g x

f ' x g x

f x g'x

ovvero:

f 'x g x

D f x g x

f x g' x

Integrando ora ambo i membri della precedente relazione si ottiene: (2)

f ' x g x dx

D f x g x dx f x g x

f x g ' x dx

f x g ' x dx

che rappresenta proprio la formula di integrazione per parti. Si osservi che, al primo membro, la funzione integranda non è altro che il prodotto di due fattori: f x , fattore finito, e g x dx , fattore differenziale. Affinché tale formula risulti utile, pertanto, è necessario trovare una primitiva di g x , così da rendere più agevole il calcolo dell'integrale che figura al secondo membro.

2

ESEMPI )

xe x d x

e x xdx e x x

avendo posto: f ' x

e x 1 d x xe x

ex

ex x

g x

c

f x g' x

ex 1

Osservazione. Il precedente integrale non era risolvibile agevolmente se si fossero scambiati tra di loro il fattore finito ed il fattore differenziale, ovvero se si fosse posto: x2 f 'x x f x 2 g x ex g ' x ex Infatti, in tal caso, non si sarebbe arrivati ad alcuna conclusione: 2 ex x 2

')

xe xdx

)

log xdx

2 e x x dx 2

..........

x log xdx x log x

x

1 dx log x x

dx

x log x x c

avendo posto:

f' x g x )

x sin xdx

avendo posto: f 'x

g x

1 x 2 dx

)

x

1 x2

1

f x

log x

g' x

x cos x

x 1 x

x 1 x2

x cos x

sin x x

cos xdx

x cos x sin x c

f x cosx g' x 1

1 x 2 1dx x x2 1 1 1 x

2

cos x 1dx

x 1 x

1

x2

1 x2

2

x2

1 x2

1 x2 1 x2

d x x 1 x2

1 x

2

dx

dx

1 1 x2

dx

2

dx

1 1 x

dx 2

x 1 x2

1 x2 dx

1 1 x2

1 x 2 dx arcsin x c

3

dx

avendo posto:

f' x g x

f x

1

g' x

1 x2

x x 1 x2

Dunque:

1 x 2 dx x 1 x2

1 x2 dx arcsin x c

da cui:

1 x 2 dx x 1 x 2

2

arcsin x c

ovvero:

1 x 2 dx

1 x 1 x2 2

arcsin x

c

c) INTEGRAZIONE PER SOSTITUZIONE Siano y f x una funzione continua in a, b e x

g t una funzione continua, con

derivata prima continua, in un intervallo p , q . Si supponga, inoltre, che quando t varia in

p , q , g t varia in a, b . Denotata ora con F x una primitiva di f x , per la regola di derivazione delle funzioni composte, si ottiene: dF g t dF x g' t dt dx

f g t

g' t

x g t

da cui, integrando ambo i membri:

F g t

c

f g t

g ' t dt

ossia: (3)

f x dx

f g t

g ' t dt

x g t

La precedente formula consente di calcolare l'integrale al secondo membro qualora si sia in grado di risolvere quello al primo membro (a tal fine è sufficiente, infatti, sostituire alla x la funzione g t ). Osservazione 1. Se la x

g t , oltre a soddisfare le ipotesi precedentemente enunciate,

risulta anche invertibile (è possibile, cioè, esprimere t in funzione di x: t (4)

f x dx

f g t

g ' t dt t h x

4

h x ), allora:

La (3) e la (4) costituiscono, quindi, le formule di integrazione per sostituzione per gli integrali indefiniti. Osservazione 2. Nella (3) e nella (4) l'espressione f g t g ' t dt

f x dx tramite la sostituzione x

si ottiene dalla

g t , da cui si ottiene:

f g t

dg t

f g t g ' t dt

ESEMPI )

x 1 x2 dx

1 1 x2 3 avendo posto:

3

1 x2 )

2

t 1 1 3

c

2

x

1 dt t 1

x

log x dx x

t

sin 3 x 3

c

3

1 2

t 1

1

t 2 dt

1 32 t 3

c

dx

1 2 t 1

dt

c

t dt t 1

t2

x 4

2cos t

log

t 1 dt t 1

1 dt t 1

x 1 c

2tdt

log t dt log 2 t c log 2 x t dx

2

t 1 1 dt t 1

x

dx

t2

2sint 2 1 cos 2 tdt si n 2t

x

3

log t 2 tdt 2 2 t

4 x2 dx

2t

2

dt

c

t log t 1 c

avendo posto: x t )

3

1 2tdt 2 2t

avendo posto: x t )

2 t 1

t

dt

dt cos xdx

1 dx 2 2 x dt

1

t 1

t 2dt

avendo posto: sin x t )

1 x2

t

sin2 x cos xdx

t

c

2tdt

2sin t dt

4 sin t sin 2 tdt

c

5

2sin t

4 4cos2 tdt

4 sin 2 tdt

4

1 cos2t dt 2

avendo posto: x 2cos t dx 2sin tdt Osservazione. La formula di integrazione per sostituzione, ovvero la (4), può essere letta nei due versi, precisamente: ) come nell'esempio ) ) se f x 0 , ponendo t f x e dt f ' x dx , si ha:

f ' x dx f x

dt t

log t

log f x

c

c

com'è facile verificare con il calcolo dei seguenti integrali:

tg xdx

ctgxdx

e

d) INTEGRAZIONE DELLE FUNZIONI RAZIONALI (INTERE E FRATTE) Riportiamo, in primo luogo alcune importante definizioni preliminari. Definizione 1. Una funzione del tipo: ( ) y a0 x n

a1 xn

1

... an 1x a n

ove n 1 è un numero intero ed a0, a1, ..., an 1, an sono costanti assegnate con a 0 0 , si dice funzione razionale intera di grado n o polinomio di grado n in x. Per n 0 si conviene che la funzione y si riduca alla costante a0 ; ne segue, quindi, che una costante può considerarsi come un polinomio di grado zero. Definizione 2. Per funzione razionale fratta si intende, invece, una funzione che sia riducibile al quoziente di due funzioni razionali intere prime tra loro e delle quali quella che figura al denominatore non sia una costante, ovvero una funzione riconducibile alla forma: a0 x n a1 x n 1 ... an 1 x a n ( ) y b0 x m b1x m 1 ... bm 1x bm ove n 0 , m 1 sono numeri interi ed a 0 , a 1, ..., a n 1 , a n , b0 , b1 , ..., bn 1 , bn sono costanti assegnate con a 0

0 e b0

0.

Si consideri ora una funzione del tipo ( ). In tal caso risulta: (5)

a0 xn

a1 x n 1 ...

a1x n 1dx

a 0 xn dx

a0 x n 1 n 1

an 1 x an dx

a1 x n ... n

6

...

an 1 x2 2

a n 1xdx

an x n

c

a ndx

Se prendiamo, invece, in esame una funzione razionale fratta del tipo ( ), ovvero della forma: P1 x y P2 x dove P1 x ,

P2 x sono polinomi primi tra loro, a coefficienti reali e di grado rispettivamente m ed n. Ci proponiamo di calcolare il seguente integrale: P1 x dx (6) P2 x

Se m

n allora dividendo, in primo luogo, il numeratore per il si ottiene che: P1 x Q x P2 x R x

essendo Q x ed R x

rispettivamente il quoziente ed il resto della divisione dei due

polinomi. Quindi:

P1 x P2 x da cui, integrando ambo i membri, segue: (6')

R x

Q x

P1 x dx P2 x

P2 x

Q x dx

R x dx P2 x

In tal modo il calcolo dell'integrale (6) è ricondotto al calcolo dell'integrale di una funzione razionale intera, ossia del polinomio Q x e al calcolo dell'integrale di una funzione

R x

razionale fratta

P2 x

nella quale il grado del numeratore è minore di quello del

denominatore. Ciò premesso consideriamo l'integrale (6) supponendo, com'è lecito in base a quanto precedentemente esposto, che il grado di P1 x sia minore del grado di P2 x e che

P2 x , a coefficienti interi, sia, per comodità, della forma: ( ') y P2 x a0 xn a1 xn 1 ... an 1 x an Osservazione. Si noti che la ( ') può essere scritta anche nel seguente modo: r2 rm ( '') P2 x a0 x 1 r1 x ... x m 2 essendo gli

r1 r2

...

i

i

rm

n

1, 2, ..., m

gli

zeri

distinti

di

P2 x

ed

r1 , r2 , ..., rm

i rispettivi ordini di molteplicità. Dal Teorema Fondamentale

dell'Algebra (un polinomio di grado n in una variabile possiede almeno uno zero, reale o complesso), infatti, discende facilmente che un polinomio del tipo ( ) possiede n zeri, tra reali e complessi, purché ciascuno di essi sia computato tante volte quant'è il suo ordine di molteplicità.

7

Se, invece, P2 x

è a coefficienti reali ed ammette uno zero complesso allora, come si

prova facilmente, esso ammette anche lo zero complesso coniugato; i due zeri, inoltre, possiedono lo stesso ordine di molteplicità. In tal caso, quindi, si ottiene:

P2 x

r1

a0 x x

1

ak

s

ibk

r2

x x

k

ak

rh

x

...

2

s

ibk

x

h

s1

a 1 ib 1

x

a 1 ib1

s1

...

k

o anche: ( ''')

P2 x

r1

a0 x

x2

r2

x

1

p1 x q1

s1

x2

...

rh

x

...

2

h

pk x qk

sk

dove:

x2

pj x qj

r1 r2

j rh

...

1, 2, ..., k è il trinomio avente per zeri aj 2 s1 s 2

sk

...

ibj

n

è della forma ( ''') allora è possibile determinare, come si prova

Se, pertanto, P2 x

facilmente, che esistono n costanti A1, A 2 , ..., A rh , B1 , B2 , ..., Bs k ,

D1 , D2 , ..., Dr

1

C1 , C2 , ..., Csk ,

tali che, per ogni x diverso dagli zeri di P2 x :

P1 x P2 x

( )

A1 x

A2 x

1

2

B1 x C1 x 2 p1 x q1 d D1 x dx

...

Arh x

B2 x C2 x 2 p2 x q2

D2 x

1

... T x

h

Bs k x Cs k x 2 p kx q k

...

Dx D

1

dove:

T x

r1 1

a0 x

x2

1

p 1x q 1

r2 1

x s1 1

...

x2

rh 1

x

...

2

h

pk x qk

sk 1

è il grado di T x diminuito di un'unità La determinazione delle costanti, infine, si effettua nel seguente modo: si esegue la derivazione indicata nel secondo membro della ( ) e poi si riduce il secondo membro ad un'unica frazione avente per denominatore proprio P2 x , così da ottenere un'espressione del tipo: (*)

P1 x

M x

P2 x

P2 x

essendo M x un polinomio i cui coefficienti contengono le costanti da determinare. Dalla (*) segue, quindi, che:

P1 x

M x

8

Applicando ora il principio di identità dei polinomi, ovvero uguagliando i coefficienti delle potenze simili di P1 x ed M x si ottiene un sistema avente per incognite esattamente le costanti desiderate. Determinate le costanti, risulta:

P1 x dx P x

( )

dx

A1

x

2

2

C1

p1 x q1

D1x

D2 x

2

Bs k x

...

dx

Arh

...

x

1

B1 x x

dx

A2

x

2

dx x Cs k

pk x qk

h

dx

1

... D x D 1 T x In base alla ( ) il calcolo dell'integrale (6) è ricondotto al calcolo degli integrali: a

(7)

x

(8)

x

dx

ax b dx px q

2

con a , b , , p , q costanti e p 2 4 q 0 . Ne segue, quindi, che:

a

dx

x

dx

a

a log x

x

c

mentre:

ax b dx x px q 2

1 2

a 2x

a 2

d x2

x

p 2

2 ax b

1 2

x

px q px q

a log x2 2

px q

px q

2 b ap

px q

x2

2

dx

dx

a 2

2b ap 2

2b ap 2

1 2

dx

2ax 2b ap ap dx 2 x px q

2x x

2

p px q

dx

1 2

x

2 b ap dx px q

2

dx x 2 px q 2

x

dx px q

Calcoliamo ora, a parte, l'integrale che figura all'ultimo membro, osservando che: 2 2 2 p2 q 4q p x 2 p x q x2 p x p x p 4 4 2 4

9

Posto: 4q p 2 4 p x t 2 si ottiene:

2

dx

dt

dx px q

t2

2

2x

p

4q

p2

x2

2

4q

dt

arctg

p

2

dt

1 2

1

t2 1

arctgt

1

c

x arctg

p 2

c

c

Dunque:

x2

ax b dx px q

a log x2 2

2 b ap

px q

4q

p2

arctg

2x

p

4q

p2

c

L'integrazione delle funzioni razionali è così completata. Possiamo semplicemente aggiungere che il calcolo dell'integrale (6) si sa eseguire a meno di difficoltà di natura algebrica consistenti nella determinazione degli zeri del polinomio P2 x . ESEMPI

x2

)

3x 1 dx 1 x

x

2

1 dx 1 x

1 2 x 2

2x

log1 x

c

1 2 2x log x 1 c x 2 dopo aver eseguito l'usuale divisione tra polinomi ed aver applicato la (6') con: P1 x x2 3 x 1 (m = 2)

Q x

x

P2 x

1

2 x (n = 1)

R x

1

1 dx x 2 5x 6

)

Si osservi, in primo luogo, che: P1 x 1 (m = 0)

x2

P2 x

5 x 6 (n = 2)

con

25 24 1 0

per cui le soluzioni del polinomio P2 x sono reali e distinte, precisamente: 1

2

ed

2

3

(non ci sono soluzioni complesse!)

10

Essendo, pertanto, P2 x della forma ( ''), in virtù della ( ), si ottiene: