Metodi di risoluzione Telai piani PDF

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Metodi di risoluzione Telai piani...

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METODI DI CALCOLO DEI TELAI PIANI (Prof. Maurizio Papia – Prof. Marinella Fossetti)

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Anno Accademico 2013-2014 Dispensa didattica ad uso interno del Corso di Tecnica delle Costruzioni con Laboratorio

INDICE 1. TELAI A NODI FISSI E A NODI SPOSTABILI ..............................................

1

1.1 Grado di iperstaticità di un telaio................................................................

1

1.2 Legami tra rotazioni rigide delle aste e parametri spostamento indipendenti ..............................................................................................

3

2. CONDIZIONI DI SIMMETRIA ED EMISIMMETRIA........................................

5

2.1 Sistemi simmetrici........... ..........................................................................

5

2.2 Sistemi emisimmetrici...... .........................................................................

6

3. RISOLUZIONE DI TELAI A NODI FISSI.........................................................

9

3.1 Coefficiente di ripartizione a flessione........................................................

10

4. RISOLUZIONE DI TELAI A NODI SPOSTABILI............................................

12

4.1 Premessa.......................................................... ........................................

12

4.2 Il metodo degli spostamenti per i telai a maglie rettangolari......................

12

5. RIGIDEZZA A TAGLIO DI UN’ASTA DI TELAIO...........................................

17

5.1 Coefficiente di ripartizione a Taglio............................................................

18

6. TELAI IPERSTATICI PER SFORZO NORMALE............................................

20

7. CALCOLO MATRICIALE DEI TELAI PIANI............................ ......................

23

7.1 Convenzione sui segni di spostamenti e caratteristiche di sollecitazione..

23

7.2 Deformabilità e rigidezza assiale di un’asta di telaio.................................

24

7.3 Matrice di rigidezza di una generica asta ..................................................

25

7.4 Relazioni di equilibrio ai nodi......................................................................

27

7.5 Procedimento di risoluzione................. .....................................................

31

7.6 Sistemi con tutti i nodi cerniera..................................................................

37

7.7 Estensione ai telai spaziali.........................................................................

39

1. TELAI A NODI FISSI E A NODI SPOSTABILI Un telaio si definisce a “nodi fissi” quando, trascurando la deformabilità assiale delle aste, i nodi possono subire esclusivamente rotazioni. Se invece è possibile una deformata congruente per la quale i nodi subiscono anche traslazioni, il telaio si dice “a nodi spostabili”. Intendendo risolvere il telaio con il metodo degli spostamenti, nel primo caso le incognite sono esclusivamente le rotazioni dei nodi interni, e pertanto sono pari al numero dei nodi stessi; il sistema di equazioni risolvente si ottiene scrivendo la condizione di equilibrio alla rotazione per ogni nodo, ovvero imponendo che la somma dei momenti alle estremità delle aste che vi concorrono sia pari a zero o faccia equilibrio ad una eventuale coppia esterna applicata al nodo stesso. Nel caso di telaio a nodi spostabili, vanno reperite ulteriori equazioni di equilibrio in numero pari ai parametri spostamento indipendenti; in generale, occorre anche legare gli spostamenti relativi (o meglio le rotazioni rigide delle aste) ai suddetti parametri. Per determinare il numero dei parametri spostamento indipendenti che il sistema ammette, si può fare riferimento ad un sistema equivalente, ottenuto da quello dato, sostituendo ad ogni nodo una cerniera e determinandone le labilità. Allo scopo, ove non fosse immediato determinare tale numero, può essere utilizzato uno dei metodi noti dalla Scienza delle Costruzioni. Di seguito se ne descrive uno dei più semplici, ribadendo che esso va applicato non già alla struttura reale, ma al telaio idealizzato con connessioni tutte di tipo cerniera.

1.1 Grado di iperstaticità di un telaio Ricordando che per ogni vincolo esterno le reazioni incognite da determinare sono pari al grado di molteplicità del vincolo stesso, ovvero -

3 per ogni incastro; 2 per ogni cerniera propria o impropria;

- 1 per ogni appoggio scorrevole o pendolo semplice; e che inoltre -

ogni maglia chiusa da luogo a 3 iperstaticità; per ogni nodo cerniera il grado di iperstaticità si abbassa di (a-1), essendo a il numero di aste concorrenti al nodo;

g = ne − ni + 3 m

il grado di iperstaticità di un sistema è dato da dove

n e = grado di iperstaticità dei vincoli esterni, pari alla somma delle molteplicità dei vincoli meno 3 (equazioni di equilibrio); nc

ni =

 (a

j

)

− 1 , dove nc è il numero di nodi cerniera;

j =1

m = numero delle maglie chiuse. >

Secondo che risulti g = 0 il sistema è g volte iperstatico, isostatico, g volte labile. <

1

E’ bene sottolineare tuttavia che la condizione sopra espressa può cadere in difetto in alcuni casi, (condizione necessaria ma non sufficiente) come mostrano gli esempi di seguito riportati. Esempio 1 La Fig. 1.1 mostra un esempio in cui la distribuzione dei vincoli esterni non riesce ad annullare le labilità interne nel sistema equivalente. A

B



C

Sistema effettivo

A

B

G

H

E

F

D

Sistema equivalente

Figura 1.1 – Labilità interna non rilevabile dal valore di g

Nel sistema equivalente si ha;

ne = ( 2C + 2E + 2F + 2D ) − 3 = 5

n i = ( 4 G − 1) + ( 4H − 1) + ( 2A − 1) + ( 2B − 1) = 8

m =1

g = 5+ 3− 8 = 0

Il sistema equivalente risulterebbe isostatico. Tuttavia è evidente la presenza del quadrilatero articolato A-B-G-H, che consente la traslazione orizzontale del piano A-B: il sistema effettivo è “a un nodo spostabile”. Si osservi che, se si sostituisse l’asta H-D con un’asta parallela o inclinata ma connessa in B, il conteggio darebbe ancora g = 0 e il telaio sarebbe effettivamente a nodi fissi. Esempio 2

La Fig. 1.2 mostra un altro caso in cui il semplice conteggio di g conduce ad una errata valutazione. Nel sistema equivalente si ha: n e = ( 2 + 2 + 2) − 3 = 3

ni = (2 − 1) + ( 3 − 1) = 3

g= 3− 3= 0



Sistema effettivo

Sistema equivalente

Figura 1.2 – Labilità prodotta dalla geometria del sistema

2

Il sistema equivalente risulterebbe isostatico e quindi il sistema reale a nodi fissi. Tuttavia, il sistema equivalente è in realtà una volta labile per la presenza di 3 cerniere allineate; conseguentemente il sistema effettivo è “a un nodo spostabile”. Si osservi che, se una delle due aste concorrenti nel nodo trilatero fosse inclinata, il conteggio di g rimarrebbe lo stesso ma il sistema sarebbe effettivamente a nodi fissi.

1.2 Legami tra rotazioni rigide delle aste e parametri spostamento indipendenti Per i casi più comuni è abbastanza immediato determinare il numero dei gradi di libertà che il sistema acquista, idealizzato con nodi tutti cerniera. Ad esempio, per un telaio a maglie rettangolari è evidente che gli spostamenti possibili sono quelli dei piani, che possono essere immediatamente individuati. Per il telaio in Fig. 1.3a) sono possibili traslazioni orizzontali dei punti A, B e C ed uno spostamento verticale in D. Il sistema è a 4 nodi spostabili. Inoltre, le rotazioni rigide delle singole aste, dovute agli spostamenti dei nodi, sono facilmente esprimibili in funzione degli spostamenti incogniti: δ III − δ II  B −C

per i tre ritti dell’ultimo piano

ψ = ψ III =

per i due ritti del secondo piano

ψ = ψ II =

per i due ritti al primo piano

ψ = ψI =

per le aste orizzontali a sbalzo

ψ = ψ IV =

δ II − δ I  A −B

δI (con hI = altezza del primo piano) hI

δ IV (con  IV = lunghezza delle due aste).  IV

Nelle relazioni precedenti, le rotazioni ψ sono da assumere positive se inducono rotazioni orarie degli elementi cui si riferiscono, in accordo con la convenzione adottata per rotazioni e momenti. Analogamente per il sistema di Fig. 1.3b) è evidente che gli spostamenti possibili sono traslazioni verticali in A e B ed orizzontali in C e D: 4 nodi spostabili. Anche in questo caso, le rotazioni rigide che interessano le aste sono in numero pari agli spostamenti incogniti e facilmente esprimibili in funzione di tali spostamenti. III C II

D

B

I

IV I

C

II

A

a)

A

B

III

IV

b)

Figura 1.3 – Telai a nodi spostabili e maglie rettangolari

3

D

Per i telai che hanno una geometria meno semplice (si pensi ad esempio a maglie di telaio non rettangolari) il numero dei parametri spostamento indipendenti potrebbe essere dedotto utilizzando il metodo descritto al precedente paragrafo, mentre i legami tra i suddetti parametri e le rotazioni rigide delle aste vanno cercati caso per caso. Per questi sistemi, tuttavia, è più opportuno ricorrere direttamente al “calcolo matriciale”, descritto più avanti, con il quale tutti i telai possono essere risolti con procedura automatizzata, rimuovendo anche l’ipotesi di indeformabilità assiale delle aste.

4

2. CONDIZIONI DI SIMMETRIA ED EMISIMMETRIA In particolari configurazioni strutturali le incognite del problema possono essere notevolmente ridotte sulla base di considerazioni che conducono a schemi di risoluzione semplificati. E’ il caso dei sistemi simmetrici ed emisimmetrici che di seguito vengono trattati. 2.1 Sistemi simmetrici

Un telaio piano che si presenti strutturalmente simmetrico (nella geometria e nelle caratteristiche meccaniche) rispetto ad un asse e che sia simmetricamente caricato rispetto allo stesso asse, costituisce un sistema simmetrico. In tal caso la risoluzione può essere condotta con riferimento a metà schema, con il vantaggio che, se il telaio risulta a nodi spostabili, vengono meno le possibilità di spostamento nella direzione ortogonale a quella dell’ asse di simmetria. Il caso più ricorrente è quello dei telai a maglie rettangolari per cui può aversi che: -

l’ asse di simmetria dimezza una campata (campate dispari);

-

l’ asse di simmetria dimezza il ritto centrale (campate pari).

Nel primo caso lo schema ridotto si ottiene come mostrato in Fig. 2.1. La presenza del doppio pendolo si giustifica considerando che: -

dal punto di vista cinematico è evidente che le sezioni di mezzeria delle travi, intercettate dall’asse di simmetria, possono subire soltanto uno spostamento in direzione dello stesso asse, senza subire rotazione;

-

dal punto di vista statico, la simmetria impone che nella stessa sezione sia nullo il taglio, mentre sono ammessi sforzo normale e momento flettente (reazioni del doppio pendolo).

Più sinteticamente può affermarsi che nella sezione di simmetria si annullano le caratteristiche cinematiche antisimmetriche (spostamento ortogonale all’asse di simmetria e rotazione) e la caratteristica di sollecitazione antisimmetrica (taglio). Lo schema ridotto rivela che il sistema risulta a nodi fissi. Risolto lo schema ridotto, i diagrammi di momento e sforzo normale sulla parte di telaio omessa si ottengono ribaltando attorno all’asse di simmetria gli analoghi diagrammi ottenuti per la parte considerata; per il taglio (caratteristica antisimmetrica) effettuato il ribaltamento, occorrerà anche cambiare di segno. F

F

P

F

P



P





2

Figura 2.1 – Telaio simmetrico con campate dispari, caricato simmetricamente

5

Nel secondo caso (campate pari) lo schema semplificato si ottiene come mostrato in Fig. 2.2.

F

F

F

P



P

P







Figura 2.2 – Telaio simmetrico con campate pari, caricato simmetricamente

Lo schema si giustifica tenendo conto che, dal punto di vista cinematico, valgono le considerazioni relative al caso precedente, con l’aggiunta che nelle sezioni di simmetria non si hanno spostamenti verticali per la presenza del ritto (indeformabile assialmente). Dal punto di vista statico, il taglio è ora possibile, in quanto sarà equilibrato dallo sforzo normale sul ritto omesso nello schema semplificato. Anche in questo caso lo schema è a nodi fissi. I diagrammi delle sollecitazioni sugli elementi omologhi della parte di telaio non considerata si ottengono come per il caso precedente. Relativamente al ritto centrale, esso risulta soggetto esclusivamente a sforzo normale; ad ogni piano tale sforzo si ottiene sommando al valore ottenuto dal piano superiore il valore del taglio trasmesso dalla trave che ad esso si innesta moltiplicato per 2 (tenendo conto della trave omessa). 2.2 Sistemi emisimmetrici

Un telaio piano strutturalmente simmetrico rispetto ad un asse ed antisimmetricamente caricato rispetto ad esso, costituisce un sistema emisimmetrico. Adottando una distribuzione di carico emisimetrica, si esaminano nuovamente i due telai del paragrafo precedente. Nel caso in cui l’asse di simmetria del telaio dimezza le campate, lo schema semplificato è quello in Fig. 2.3. F

F

P

P

F



P





2

Figura 2.3 – Telaio simmetrico con campate dispari, caricato antisimmetricamente

6

La presenza dei vincoli carrello introdotti nello schema ridotto si giustifica considerando che: -

dal punto di vista cinematico è evidente che una deformata antisimmetrica impone che le sezioni di mezzeria delle travi, intercettate dall’asse di simmetria del telaio, possono subire uno spostamento in direzione orizzontale e ruotare, senza subire abbassamento;

-

dal punto di vista statico, il carico antisimmetrico impone che nelle stesse sezioni siano nulli sforzo normale e momento flettente, mentre sia diverso da zero il taglio (reazione del carrello).

Più sinteticamente può affermarsi che nella sezione di simmetria del telaio si annullano ora la caratteristica cinematica simmetrica (spostamento verticale) e le caratteristiche di sollecitazione simmetriche (sforzo normale e momento). Lo schema ridotto rivela che il sistema rimane a due nodi spostabili. I diagrammi delle sollecitazioni nelle aste appartenenti alla parte di telaio omessa si ottengono da quelli ottenuti per lo schema ridotto: il momento flettente e lo sforzo normale si ribaltano rispetto all’asse di simmetria del telaio e si cambiano di segno; il taglio si ottiene dal semplice ribaltamento. Nel caso in cui l'asse di simmetria dimezza il ritto, vale lo schema di Fig. 2.4, nel quale la condizione di carico, poco realistica per la trave BD, è stata assunta per conferire generalità alle conclusioni evidenziate di seguito. P

P

F

F D

B

A

F A

P

P/ 2



P

C



B



C



Figura 2.4 – Telaio simmetrico con campate pari, caricato antisimmetricamente

Lo schema semplificato si ottiene assumendo per le aste che costituiscono il ritto centrale rigidezze flessionali dimezzate rispetto a quelle effettive. Questa assunzione può essere dimostrata confrontando le equazioni risolventi che andrebbero scritte nello schema effettivo ed in quello ridotto. La Fig. 2.5 prende in considerazione il nodo B, mostrando i momenti che ad esso trasmettono le aste, nello schema effettivo ed in quello ridotto. I momenti sono assunti tutti positivi (orari sulle aste) in base alla convenzione adottata. Nello schema effettivo, concorrono al nodo le aste A-B, B-D e B-C; pertanto, per l’equilibrio dovrà aversi M BA + M BD + M BC = 0

7

(aI)

I momenti, In funzione delle rotazioni dei nodi, delle rotazioni rigide delle aste e dei carichi sulle aste, si scrivono M BA = ρ BA γ B + ρ 'BA γ A + µ BA M BD = ρ BD γ B + ρ 'BD γ D + µ BD

(aII)

' MBC = ρBC ( γB − ψBC ) + ρBC ( γ C − ψ BC ) + µ BC

Poiché, per la simmetria del telaio e l’emisimmetria del carico, si ha γD = γA

ρ'BD = ρ 'BA

ρBD = ρ BA

µ BD = µBA

(aIII)

introducendo le (aIII) nelle (aII) e sostituendo le espressioni risultanti nella (aI), si ottiene

( 2 ρBA + ρBC ) γB + 2 ρ'BA γ A + ρ'BC γ C − ( ρBC + ρ'BC ) ψBC + 2 µBA + µBC = 0 Scrivendo la stessa equazione di equilibrio per lo schema ridotto, nel quale si indicano con ' ρ•BC e ρ•BC la rigidezza flessionale in B dell’asta B-C e il prodotto della stessa rigidezza per il

coefficiente di trasporto, si ha: • MBA + MBC =0

(aIV)

con M BA = ρ BA γ B + ρ 'BA γ A + µ BA

(aV)

• • •' MBC ( γ B − ψBC ) + ρBC ( γ C − ψ BC ) + µ •BC = ρBC

Considerato che nello schema semplificato i carichi ortogonali al ritto centrale sono • = µBC / 2 . Sostituendo le (aV) nella (aIV), si ottiene quindi dimezzati, si ha µ BC • • • •' ( ρBA + ρBC ) γ B + ρ'BA γA + ρBC )ψ BC + µBA + γ C − (ρBC + ρBC

µ BC =0 2

Questa equazione è identica a quella ottenuta per lo schema effettivo, se si assume ρ •BC =

ρBC 2

e

' ρ •BC =

ρ'BC 2

Con riguardo alle sollecitazioni, si osservi che nel sistema effettivo, per il nodo B, dovendo risultare per l’emisimmetria MBD = MBA , risulterà anche MBC = 2 MBA , mentre nel sistema • ridotto risulterà ovviamente MBC = MBA .

Ne deriva che i momenti ottenuti alle estremità dei pilastri che costituiscono il ritto centrale, al termine della risoluzione dello schema semplificato, vanno moltiplicati per 2. Si osservi infine che nello schema ridotto il ritto centrale risulterà soggetto a sforzo normale; in realtà esso dovrà assumersi scarico assialmente, in quanto il taglio trasmesso dalle travi considerate nel suddetto schema sarà equilibrato da quello proveniente dalle travi omologhe omesse.

− M BA

B

− MBD

− MBA

− MBC

B

• − M BC

Figura 2.5 – Momenti concorrenti al nodo B nello schema effettivo e in quello ridotto

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3. RISOLUZIONE DI TELAI A NODI FISSI Con riferimento al telaio a nodi fissi in Fig. 3.1, le incognite sono rappresentate dalle rotazioni dei nodi interni. Il sistema di equazioni che risolve il problema si ottiene imponendo la condizione di equilibrio per ciascuno di q...