IL1 IND G6 - TRABAJO SOBRE MATRICES Y MATLAB PDF

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TRABAJO SOBRE MATRICES Y MATLAB...

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ESCUELA MILITAR DE INGENIERIA

NOMBRES:

CARNET DE IDENTIDAD:

Gonzalo Daniel Miranda Narváez

6760226 LP

Ghisel Lennis Justiniano Palomeque

8460283 LP

Cristian Yujra Nina

6796244 LP

GRUPO:

6

MATERIA: Modelado y Simulación

TIPO DE DOCUMENTO: Informe 1 FECHA: Jueves 25 de Febrero del 2021

LABORATORIO 1: OPERACIONES CON MATRICES 1.

ANTECEDENTES

1.1 MATLAB MATLAB es un sistema interactivo cuyo elemento básico es una matriz que no requiere dimensionamiento previo. La sencillez de este planteamiento facilita la resolución de problemas que en otros entornos de trabajo resultan más complejos. MATLAB ofrece una amplia variedad de funciones agrupadas en toolboxes que facilitan el trabajo en cualquier campo científico. Además, debido a su enorme difusión en el ámbito universitario, se puede encontrar aplicaciones desarrolladas en este entorno de trabajo que podremos adaptar a nuestras necesidades. El nombre MATLAB proviene de "matrix laboratory" que en español significa laboratorio matricial, este software fue originalmente creado para proveer acceso fácil al software matricial desarrollado por los proyectos LINPACK y EISPACK, que son de los más usados en sistemas científicos y de ingeniería cuyo propósito principal era resolver sistemas de ecuaciones. En la actualidad MATLAB es utilizado en una variedad de áreas de aplicación incluyendo procesamiento de señales e imágenes, diseño de sistemas de control, ingeniería financiera e investigación médica. La arquitectura abierta facilita utilizar MATLAB y los productos que lo acompañan para explorar datos y crear herramientas personalizadas que proveen visiones profundas tempranas y ventajas competitivas.

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1.2 ORIGEN DE LAS MATRICES El origen de las matrices es muy antiguo, también llamadas cuadrados latinos y cuadrados mágicos, se estudiaron desde hace mucho tiempo como se registra en la literatura china hacia el 650 a. C.

La historia del uso de las matrices para resolver ecuaciones lineales es antigua, los "cuadrados mágicos" eran conocidos por los matemáticos árabes, posiblemente desde comienzos del siglo VII, quienes a su vez pudieron tomarlos de los matemáticos y astrónomos de la India, junto con otros aspectos de las matemáticas combinatorias. Todo esto sugiere que la idea provino de China, incluyendo un importante texto matemático chino que proviene del año 300 a. C. a 200 a. C., Nueve capítulos sobre el Arte de las matemáticas (Jiu Zhang Suan Shu), es el primer ejemplo conocido de uso del método de matrices para resolver un sistema de ecuaciones simultáneas. Después del desarrollo de la teoría de determinantes por Seki Kowa y Leibniz para facilitar la resolución de ecuaciones lineales, a finales del siglo XVII, Cramer presentó en 1750 la ahora denominada regla de Cramer. Carl Friedrich Gauss y Wilhelm Jordan desarrollaron la eliminación de Gauss-Jordan en el siglo XIX. Sin embargo fue James Sylvester quien utilizó por primera vez el término “matriz” en 1850 aproximadamente. 2. OBJETIVO Investigar y desarrollar una herramienta que permita operar un proceso de operaciones con matrices empleando MATLAB. 2

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3. MARCO TEÓRICO 3.1.

DEFINICIÓN DE MATRIZ

En general, una matriz es un conjunto ordenado en una estructura de filas y columnas. Los elementos de este conjunto pueden ser objetos matemáticos de muy variados tipos, principalmente se utiliza para representar ecuaciones formadas por números reales. Normalmente las matrices son designadas por letras mayúsculas y los elementos de una matriz se identifican por la fila y la columna que ocupan. Así, designaremos por “a32” el elemento que está situado en la tercera fila y segunda columna de la matriz A. El número de filas y columnas que tiene una matriz se llama dimensión de la matriz. 3.2.

TIPOS DE MATRICES

Existen distintos tipos de matrices entre las cuales se encuentran: a) Matriz fila: matriz que solo tiene una fila.

b) Matriz columna: matriz que solo tiene una columna.

c) Matriz nula: todos sus elementos valen cero.

d) Matriz cuadrada: igual número de filas que de columnas. e) Matriz simétrica: una matriz cuadrada es simétrica cuando los elementos a ambos lados de la diagonal principal son iguales.

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f) Matriz antisimétrica (o hemisimétrica): matriz cuadrada en la que los elementos a ambos lados de la diagonal principal son opuestos (iguales pero con distinto signo).

g) Matriz diagonal: matriz cuadrada donde los elementos que no están en la diagonal principal son cero.

h) Matriz escalar: matriz cuadrada donde los elementos que no están en la diagonal principal son cero y los elementos de la diagonal principal son iguales.

i) Matriz identidad o unidad: matriz cuadrada donde los elementos de la diagonal principal son unos y el resto ceros. Se representa por orden 2,

la identidad de orden 3,

la de orden 4, etc.

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la matriz identidad de

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3.3.

OPERACIONES ENTRE MATRICES

Existen distintas operaciones entre matrices, las principales y mayormente utilizadas son: a) Suma de matrices Dadas dos matrices de la misma dimensión, A=(aij) y B=(bij), se define la matriz suma como: A+B=(aij+bij). La matriz suma se obtiene sumando los elementos de las dos matrices que ocupan la misma posición.

Propiedades de la suma de matrices Interna: La suma de dos matrices de orden m x n es otra matriz dimensión m x n. Asociativa: A + (B + C) = (A + B) + C Elemento neutro: A + 0 = A Donde O es la matriz nula de la misma dimensión que la matriz A. Elemento opuesto: A + (−A) = O La matriz opuesta es aquella en que todos los elementos están cambiados de signo. 5

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Conmutativa: A + B = B + A b) Producto de un escalar por una matriz Dada una matriz A=(aij) y un número real k R, se define el producto de un número real por una matriz: a la matriz del mismo orden que A, en la que cada elemento está multiplicado por k. kA=(k aij)

c) Producto de matrices Dos matrices A y B son multiplicables si el número de columnas de A coincide con el número de filas de B. Mm x n x Mn x p = M m x p El elemento cij de la matriz producto se obtiene multiplicando cada elemento de la fila i de la matriz A por cada elemento de la columna j de la matriz B y sumándolos.

Propiedades del producto de matrices 6

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Asociativa: A · (B · C) = (A · B) · C Elemento neutro: A · I = A Donde I es la matriz identidad del mismo orden que la matriz A. No es Conmutativa: A · B ≠ B · A Distributiva del producto respecto de la suma: A · (B + C) = A · B + A · C d) Matriz traspuesta La traspuesta es aquella matriz que se obtiene de la original cambiando filas por columnas. e) Matriz elevada a la potencia La potencia n–sima de una matriz cuadrada es el producto matricial de la matriz por s´ı misma n veces. 4. MARCO PRÁCTICO Para el desarrollo del laboratorio se escogen cuatro operaciones simples a realizar en MATLAB: a) Suma de matrices b) Multiplicación entre matrices c) Potencia de una matriz a un número escalar d) Transpuesta de una matriz 4.1.

DEFINIENDO MATRICES EN MATLAB

MATLAB está diseñado para manejar matrices y para manipular matrices de forma simple. Las matrices pueden ser introducidas dentro de MATLAB por diferentes maneras: * Entrada por una lista explícita de elementos * Generada por comandos preestablecidos y funciones

Por ejemplo, dado como una asignación:

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>> A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]; Aparece en la ventana: >> A = [ 1 2 3 4 5 6 7 8 9] Y por lo tanto se crea la matriz de 3x3 y asigna sus valores a la variable A. 4.2.

OPERACIONES CON MATRICES

Las siguientes operaciones con matrices están disponibles en MATLAB: Operador

Descripción

Operador

Descripción

============================================= +

Adición

'

transpuesta

-

Sustracción

\

división izquierda

*

Multiplicación

/

división derecha

^

Potencia

============================================= Si los tamaños de las matrices no son compatibles para las operaciones de matrices, un mensaje de error será el resultado, con la excepción en el caso de operaciones con matrices escalares (para adición, substracción, y división como también para la multiplicación) en cada caso cada entrada es operado como un escalar. A continuación se denota la forma de introducir las operaciones matrciales escogidas en MATLAB: a) Suma de una matriz Sea "A" una matriz que tiene m renglones y n columnas, y "B" una matriz que tiene p renglones y q columnas. La matriz suma "A + B" está definida solamente cuando m es igual a p y n = q, el resultado es una matriz de n por m tiene los elementos de la suma de las dos matrices A y B. 8

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Por ejemplo: >> E = [ 2 3; 4 5.0; 6

7];

>> F = [ 1 -2; 3 6.5; 10 -45]; >> E+F b) Multiplicación de matrices: La multiplicación de matrices requiere que los tamaños empaten. Si ellas no empatan, un mensaje de error es generado. >> A*B, B*A; >> B'*A; >> A*A', A'*A; >> B'*B, B*B'; Las matrices escalares son una excepción: >> 2*A, A/4; c) Potencia de una matriz a un número escalar: La potenciación de matrices por un numero escalar es una de las operaciones mas sencillas. Siendo “k” un número real o de una matriz 1x1: >> A.^k d) Matriz Transpuesta La traspuesta de una matriz es el resultado de intercambiar los renglones y las columnas. MATLAB denota la transpuesta por seguir a la matriz por un apóstrofe. Por ejemplo: >> A'

5. APLICACIÓN En la aplicación de este laboratorio, se desarrolla un “menú” en MATLAB con las operaciones escogidas y una quinta opción que es la de salir del programa.

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De esta manera, el diagrama general de flujo para realizar las operaciones con matrices es el siguiente:

6. VALIDACIÓN DE RESULTADOS Se realizaron las pruebas de funcionamiento durante el laboratorio en el cual se define el siguiente programa en Matlab: 10

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%laboratorio matrices YiChu function MATRICES op=1; while(op~=7) disp(' Bienvenido a YiChu, Que desear realizar?') disp('1. Suma o Resta de matrices') disp('2. Producto de matrices') disp('3. Transpuesta de una matriz') disp('4. Inversa de una matriz') disp('5. Determinante o Rango de una matriz') disp('6. Producto de una Matriz por un Escalar') disp('7. Salir del programa') op=input('Que opcion desea realizar: '); switch op % Suma o Resta de Matrices case 1 disp('Inserte el numero de filas y columnas que tiene la Matriz A') nfa=input('Nro de filas='); nca=input('Nro de columnas='); disp('Inserte el numero de filas y columnas que tiene la Matriz B') nfb=input('Nro de filas='); ncb=input('Nro de columnas='); while( nfa~=nfb || nca~=ncb) disp('Error, no coinciden la dimension de las matrices, vuelva a introducir') disp('Inserte el numero de filas y columnas de las matrices') disp('Matriz A') nfa=input('Nro de filas= '); nca=input('Nro de columnas= '); disp('Matriz B') disp('Inserte el numero de filas y columnas de las matrices') nfb=input('Nro de filas= '); ncb=input('Nro de columnas= '); end disp ('Inserte los elementos de la matriz A') for fa=1:nfa for ca=1:nca X= ['fila ', num2str(fa), 'columna ', num2str(ca)]; disp(X) A (fa, ca) = input ('elemento = '); end end disp ('Inserte los elementos de la matriz B') for fb=1:nfb for cb=1: ncb Y= ['fila ', num2str(fb), 'columna ', num2str(cb)]; disp(Y) B ( fb, cb) = input ( 'elemento = '); end

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end SUM= A+B; disp ('La sumatoria de las matrices es:') disp(SUM) RES= A-B; disp('La resta de las matrices es:') disp(RES) % Producto de matrices case 2 disp('Inserte el numero de filas y columnas que tiene la Matriz A') nfa=input('Nro de filas='); nca=input('Nro de columnas='); disp('Inserte el numero de filas y columnas que tiene la Matriz B') nfb=input('Nro de filas='); ncb=input('Nro de columnas='); while( nca ~= nfb ) disp('Error, no coincide el numero de filas de la matriz A con el numero de columnas de la matriz B, vuelva a introducir') disp('Inserte el numero de filas y columnas de las matrices') disp('Matriz A') nfa=input('Nro de filas= '); nca=input('Nro de columnas= '); disp('Matriz B') disp('Inserte el numero de filas y columnas de las matrices') nfb=input('Nro de filas= '); ncb=input('Nro de columnas= '); end disp ('Inserte los elementos de la matriz A') for fa=1:nfa for ca=1:nca X= ['fila ', num2str(fa), 'columna ', num2str(ca)]; disp(X) A (fa, ca) = input ('elemento = '); end end disp ('Inserte los elementos de la matriz B') for fb=1:nfb for cb=1: ncb Y= ['fila ', num2str(fb), 'columna ', num2str(cb)]; disp(Y) B ( fb, cb) = input ( 'elemento = '); end end PROD= A*B; disp('El producto de las matrices es:') disp(PROD) %Transpuesta de una Matriz case 3

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disp('Inserte el numero de filas y columnas que tiene la Matriz') nf=input('Nro de filas='); nc=input('Nro de columnas='); disp ('Inserte los elementos de la matriz A') for f=1:nf for c=1:nc M= ['fila ', num2str(f), 'columna ', num2str(c)]; disp(M) Z(f, c) = input ('elemento = '); end end TRANS= Z'; disp('La Matriz transpuesta es: ') disp(TRANS) %Inversa de una matriz case 4 disp('Inserte el numero de filas y columnas que tiene la Matriz') nfa=input('Nro de filas='); nca=input('Nro de columnas='); while (nfa ~= nca) disp('Error, no es una Matriz cuadrada, vuelva a introducir') disp('Inserte el numero de filas y columnas de las matrices') disp('Matriz') nfa=input('Nro de filas= '); nca=input('Nro de columnas= '); end disp ('Inserte los elementos de la Matriz') for fa=1:nfa for ca=1:nca M= ['fila ', num2str(fa), 'columna ', num2str(ca)]; disp(M) A (fa, ca) = input ('elemento = '); end end DET= det(A); if (A~=0) disp ('Error la matriz es singular, vuelva a introducir la matriz') for fa=1:nfa for ca=1:nca M= ['fila ', num2str(fa), 'columna ', num2str(ca)]; disp(M) A (fa, ca) = input ('elemento = '); end end end

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INV= inv(A); disp('La matriz inversa es') disp(INV) % Determinante o Rango de una matriz case 5 disp('Inserte el numero de filas y columnas que tiene la Matriz') nfa=input('Nro de filas='); nca=input('Nro de columnas='); while ( nfa~=nca) disp('Error, no es una matriz cuadrada, vuelva a introducir') disp('Inserte el numero de filas y columnas de las matrices') disp('Matriz') nfa=input('Nro de filas= '); nca=input('Nro de columnas= '); end disp ('Inserte los elementos de la Matriz') for fa=1:nfa for ca=1:nca M= ['fila ', num2str(fa), 'columna ', num2str(ca)]; disp(M) A (fa, ca) = input ('elemento = '); end end %determinante DET= det(A); disp( 'El determinante de la matriz es:') disp(DET) %Rango RAN= rank(A); disp('El rango de la matriz es:') disp(RAN) %Producto de una matriz por un escalar case 6 disp('Inserte el numero de filas y columnas que tiene la Matriz ') nfa=input('Nro de filas='); nca=input('Nro de columnas='); disp ('Inserte los elementos de la Matriz') for fa=1:nfa for ca=1:nca M= ['fila ', num2str(fb), 'columna ', num2str(cb)]; disp(M) A (fa, ca) = input ('elemento = '); end end disp ('Inserte el valor del Escalar: ') E= input('elemento= '); ES= E*A;

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disp('El producto es:') disp(ES) case 7 op= 7; disp ( 'Nos vemos pronto') exit % otherwise disp ( 'solo debe elegir una de las opciones') end end %} while (op==7); end

Posteriormente se realizan las operaciones indicadas, a continuación se detallan dos de las cuatro operaciones con matrices. Primero se realiza la suma de matrices de dimensiones 1x1 de la siguiente manera:

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La operación de transpuesta de una matriz se realiza de la siguiente manera:

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De la misma manera se realizan actividades similares para la multiplicación, y elevar cada elemento a la potencia. Además existe una séptima opción en la cual se cierra el menú y se dispensa un mensaje:

7. CONCLUSIONES Se determinaron las siguientes conclusiones: Mediante la aplicación del programa MATLAB se logra elaborar una herramienta que realice 6 distintas operaciones de matrices. Se pueden realizar una variedad de operaciones con matrices utilizando la programación en MATLAB, lo cual facilita la obtención de los resultados de forma más confiable y rápida.

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El MATLAB utiliza un lenguaje de programación sencillo con el cual se pueden modelar distintos tipos de operaciones incluyendo las matriciales. Es posible incluir un menú de opciones utilizando la función “menú” y a función “switch” para realizar de forma didáctica las operaciones matriciales. Existen una serie de validaciones y restricciones para algunas operaciones matriciales que se deben validar antes de empezar con la programación. 8. RECOMENDACIONES Se recomienda utilizar el menú de ayuda para verificar la correcta utilización de las operaciones y funciones durante la programación en MATLAB. Es importante validar las entradas de datos para las dimensiones de las matrices antes de realizar las operaciones. Se recomienda revisar la bibliografía acerca las restricciones de las matrices, para evitar errores y singularidades dentro de la herramienta. Se recomienda realizar una investigación previa acerca de los comandos y funciones que se emplean en la programación de operaciones matriciales. 9. REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS HERNANDEZ. Rafael. Capacitación de Matlab. Universidad Autónoma de Baja California. https://www.ecured.cu/MATLAB http://mundodematrices.blogspot.com/2014/03/los-cuadrados-magicos-origen-delas.html http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Calculo_matricial_ d3/defmat.htm https://matematicasies.com/Tipos-de-matrices https://aga.frba.utn.edu.ar/matrices/ http://www.mat.ucm.es/~jarrieta/asignaturas/calculocomputacional/practica1.pdf https://sites.google.com/site/algebralinealmoralescamacho/u2-matrices/2-1-definicionde-matriz-notacion-y-orden 18...