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MATEMÁTICA BÁSICA PARA INGENIERÍAPROYECTO FINALTITULO:APLICACIÓN DE VECTORES EN UNA MESA DEBILLARDOCENTE:“ EDGAR OMAR OTINIANO MALCA”INTEGRANTES: BAZÁN ALVAREZ, Valeria Alejandra(N00241637) GONZALES GARCÍA, Abel(N00195879) MONCADA QUIROZ, Juan Jesús(N00181257)Cajamarca 08 de julio del 20 20INTROD...

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MATEMÁTICA BÁSICA PARA INGENIERÍA PROYECTO FINAL TITULO: APLICACIÓN DE VECTORES EN UNA MESA DE BILLAR DOCENTE: “EDGAR OMAR OTINIANO MALCA”

INTEGRANTES:  BAZÁN ALVAREZ, Valeria Alejandra (N00241637)  GONZALES GARCÍA, Abel (N00195879)  MONCADA QUIROZ, Juan Jesús (N00181257)

Cajamarca 08 de julio del 2020

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INTRODUCCIÓN Considerando los planos como un elemento fundamental para la construcción de una vivienda misma que funciona gracias a los materiales empleados, ya que los planos especifican o detallan todos los diseños, como por ejemplo: la luz, los servicios higiénicos, las medidas de las gradas, además las medidas de las zapatas, medidas de las columnas, y la cantidad de fierro que debe de ir en una columna, y todas las instalaciones que debe de ir en una casa, etc. además indica las medidas del área a construir y los cortes específicos. Para nosotros los estudiantes universitarios todas las enseñanzas de nuestros docentes son como los planos de una casa, esenciales para nuestro futuro, cada uno de ellos nos enseña una cosa distinta pero importantes para poder desempeñarnos bien en nuestras distintas carreras y así poder llegar a ser muy buenos. Por eso en este informe queremos demostrar los conocimientos que nuestros docentes de Matemática están dejando en nosotros.

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ÍNDICE PROBLEMA .................................................................................. 4 OBJETIVOS................................................................................... 5 MARCO TEÓRICO ....................................................................... 6 DESARROLLO DEL PROYECTO .................................................8 CONCLUSIONES ....................................................................... 12 BIBLIOGRAFÍA .......................................................................... 13 ANEXOS ...................................................................................... 14

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PROBLEMA El billar es un deporte de precisión que se practica impulsando con un taco un número variable de bolas, en una mesa con tablero de pizarra forrada de paño, rodeada de bandas de material elástico y con troneras o sin ellas. Hoy en día se sabe que el billar es un deporte muy conocido ya que cada vez hay muchas más personas que se dedican a practicar este juego, en algunos países hasta hay campeonatos y torneos de esta disciplina. Para dominar este deporte se debe tener precisión al momento de golpear una bola, las personas que practican este deporte aparte de la práctica son muy hábiles trazando líneas imaginarias para saber hacia dónde tienen que dirigir la bola blanca para que una bola “x” pueda ingresar al hoyo deseado; pero como sabemos que hay veces en que los cálculos mentales fallan, debido a eso nosotros vamos a desarrollar un caso particular que se le puede presentar a cualquier persona que realice este deporte.

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OBJETIVOS Objetivo General 

Dar solución a diversos problemas presentados en la vida diaria a través de los temas aprendidos en clases, como el problema presentado en el biliar.

Objetivos Específicos Hallar la distancia entre dos puntos  Determinar el Angulo entre dos vectores  Dar solución al problema presentado en un juego de billar



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MARCO TEÓRICO Desarrollaremos el problema plateado con el tema Vectores, para poder hacerlo debemos saber qué son. - Vectores:

-

Su representación es un segmento orientado, nos permite representar una magnitud vectorial y por lo general se lo denomina con una letra que lleva una pequeña flecha encima (𝐴) Elementos de un vector:

la letra (A o |𝐴|), pueden representar distintos valores dependiendo de su dirección y sentido. Su fórmula es: |𝐴| = √𝑥 2 + 𝑦 2

⊷ Módulo: Es el tamaño del vector, se representa solamente con

⊷ Dirección: Es la orientación que tiene el vector y representa el ángulo que existe entre este y el eje x.

⊷ Sentido: Esta dado por la cabeza del vector e indica el signo del vector, ya sea positivo (hacia arriba) o negativo (hacia abajo).

-

Operaciones con vectores:

⊷ Suma: Cuando se suman dos vectores, se forma uno nuevo. Para obtener el vector de la suma se usa la “regla del paralelogramo”. A + B = B + A

Para obtener el método del vector resultante se usa la siguiente fórmula: 𝑅 = √𝐴2 + 𝐵2 + 2𝐴𝐵𝑐𝑜𝑠𝛼 Resta: El proceso es igual que para la suma, sino que acá el sentido de uno de los vectores es negativo y al momento de

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graficarla se le cambia de sentido y se le adiciona el signo negativo al valor de aquel vector. A - B  B – A

⊷ Multiplicación: -

-

Producto escalar: En este tipo de multiplicación se utilizan las matrices de los vectores para poder desarrollarla. Y su fórmula es la siguiente: 𝑏𝑥 󰇍 = |𝑎𝑥 𝑎𝑦 𝑎𝑧 | | 𝑏𝑦 | = 𝑎𝑥 ∙ 𝑏𝑥 + 𝑎𝑦 ∙ 𝑏𝑦 + 𝑎𝑧 ∙ 𝑏𝑧 𝑎 ∙ 𝑏 𝑏𝑧 Producto Vectorial: El producto vectorial de dos vectores 󰇍 ) a otro (𝑐), donde el vector 𝑐 es perpendicular al plano (𝑎 𝑦 𝑏 que forman los dos primeros. Su fórmula es: 𝑎 × 𝑏󰇍 = |𝑎| ∙ |𝑏󰇍| ∙ 𝑐𝑜𝑠𝛼.

Se puede expresar como 𝑎 × 𝑏󰇍 𝑜 𝑎 Λ 󰇍𝑏.

-

Otras fórmulas de vectores:

⊷ Distacia entre 2 puntos:

𝒅(𝑨, 𝑩 ) = √(𝒙𝟐 − 𝒙𝟏 )𝟐 + (𝒚𝟐 − 𝒚𝟏 )𝟐

⊷ Vector unitario:

󰇍 = 𝒖

󰇍 𝒂 |𝒂 󰇍 |

⊷ Producto de un escalar por un vector:

𝒌 ∙ (𝒖𝒙 , 𝒖𝒚 ) = (𝒌 ∙ 𝒖𝒙 , 𝒌 ∙ 𝒖𝒚 )

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DESARROLLO DEL PROYECTO -

Caso: Pedro es un amante de billar todos los fines de semana se dirige al establecimiento llamado 8 Ball Pool a jugar con sus amigos, de vez en cuando apuestan y siempre el ganador es Pedro, en el lugar es conocido como el mejor jugador hasta que un día llego un chico a desafiarlo, en plena partida se le presenta un problema, es la penúltima bola que tiene que meter para poder ganar y debido a un mal cálculo la bola blanca queda en una posición poco favorable (como se muestra en la imagen).

Las medidas de la mesa están hechas a escala por lo que las unidades del plano representan 1 decímetro (dm).

 Hallar las distancias entre cada punto del recorrido de la bola blanca.  Determinar los ángulos que se van a formar para que la bola realice la trayectoria deseada.  Precisar el tiempo que va a durar la jugada si la velocidad de la bola blanca es de 2m/s.  Identificar la fuerza con la que va a ser impulsada la bola blanca para que la bola naranja pueda ingresar en el punto deseado.

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SOLUCIÓN PUNTOS: A: (16,7) B: (8,10) C: (1.4,6.5) D: (4,5) 1. Hallar las distancias entre cada punto del recorrido de la bola blanca. 𝑑 = √(𝑥2 −𝑥1 )2 + (𝑦2 − 𝑦1 )2

𝑨𝑩 = √(8 − 16)2 + (10 − 7)2 = √(−8)2 + (3)2

= √64 + 9 = √73 = 𝟖. 𝟓𝟒

𝑩𝑪 = √(1.4 − 8)2 + (6.5 − 10)2 = √(−6.6)2 + (−3.5)2

= √43.56 + 12.25 = √55.81 = 𝟕. 𝟒𝟕

𝑪𝑫 = √(4 − 1.4)2 + (5 − 6.5)2 = √(2.6)2 + (−1.5)2

= √6.76 + 2.25 = √9.01 = 𝟑

2. Determinar los ángulos que se van a formar para que la bola realice la trayectoria deseada.

-

𝑧 + 𝑏 + 𝑐 = 180° … … … … . (1) 𝑐 + 𝑐 + 𝑏 = 180° → 2𝑐 + 𝛽 = 180° … … … … (2) 𝑦 + 𝑧 = 90° … … … … (3) 𝑦 + 𝑎 + 20° = 180° → 𝑦 + 𝑎 = 160° … … … … (4) Ahora evaluamos uno de los triángulos naranja: 3 = 2k

K= 1.5

Como podemos observar los valores toman la forma que el triángulo de 30° y 60°. Por lo que podemos afirmar que c = 60°

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Reemplazamos el valor de c en (2): 2c + b = 180 → 2(60) + b = 180° 𝒃 = 𝟔𝟎° - Proseguimos reemplazando “b” y “c” en (1): z + b + c = 180° → z + 60 + 60° = 180° 𝑧 = 60° - Ahora reemplazamos “z” en (3): y + z = 90° → y + 60° = 90° 𝑦 = 30° - Y por último reemplazamos “y” en (4): y + a =160°→ 30°+a=160° a=130° 3. Precisar el tiempo que va a durar la jugada si la velocidad de la bola blanca es de 2m/s. 2𝑚 → 20𝑑𝑚/𝑠 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 = 𝑠 -

𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 =

𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑 →𝑡= 20 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑

Hallamos el tiempo que transcurre de punto a punto. -

Tiempo de recorrido entre los puntos A y B. 𝑡=

-

Tiempo de recorrido entre los puntos B y C. 𝑡=

-

7.47𝑑𝑚 = 0.374𝑠 20𝑑𝑚/𝑠

Tiempo de recorrido entre los puntos C y D. 𝑡=

-

8.54𝑑𝑚 = 0.427𝑠 20𝑑𝑚/𝑠

3𝑑𝑚 = 0.150𝑠 20𝑑𝑚/𝑠

Hallaremos el tiempo total: Sumamos las cantidades de tiempo obtenidas. 0.427𝑠 + 0. 374𝑠 + 0.150𝑠 = 0.951 𝑠

4. Identificar la fuerza con la que va a ser impulsada la bola blanca para que la bola naranja pueda ingresar en el punto deseado, si sabemos que la masa de la bola blanca es 158 gr.   -

F= m (kg) * a (m/s2)

𝑎=

∆𝑣 ∆𝑡

Primero debemos hallar la aceleración (a) y para eso debemos hallar la velocidad final: pág. 10

𝑣𝑓 = 𝑣𝑖 + 𝑔. 𝑡

Por dato sabemos que la velocidad en el punto B es 2m/s Entonces:

𝑣𝐶 = 2 + 10 (0.374) = 5.74

𝑣𝐷 = 5.74 + 10(0.15) = 7.24

𝑎=

Siendo la velocidad final de todo el proceso "𝑣𝑑 "

Ahora que sabemos las velocidad final y la velocidad inicial, podemos hallar “a”

7.24-2 5.24 = = 18 (como hay 3 distancias, entonces la velocidad aumenta 6 m⁄ 2 por distancia) s 0.427-0.15 0.277

-

Ahora procedemos a hallar la fuerza (F): 𝐹 = 0.158 ∗ 18 = 2.844 𝑁

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CONCLUSIONES Con este proyecto pudimos concluir que si utilizamos la fuerza correcta y tratamos de fijar un punto con un ángulo determinado puedes llegar a meter una bola que se encuentra en una posición poco favorable para así poder ganar una partida. Así mismo en este trabajo demostramos cómo nuestros conocimientos aprendidos en clases nos ayudan a la aplicación vectorial, y de qué manera influye el buen desarrollo de las matemáticas en problemas de la vida cotidiana Con nuestro trabajo, se pudieron hallar los ángulos, mediante el cálculo de las coordenadas de la mitad de la mesa de billar. Al igual, para hallar el producto vectorial usamos los vectores directores de un punto inicial.

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BIBLIOGRAFÍA

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Cabrejos M. (2019). Vectores- Análisis vectorial. Matemath. https://matemathweb.com/fisica/analisis-vectorial/ Operaciones con vectores (2019). Universo Fórmulas.

https://www.universoformulas.com/fisica/vectores/operaciones-vectores/  Magnitudes físicas (s.f.). Fisic. https://www.fisic.ch/contenidos/elementosmatem%C3%A1ticos-b%C3%A1sicos/vectores/  Fórmulas de vectores (s.f.) Superprof. https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/analitica/vectores/formu las-de-vectores.html

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ANEXOS



El establecimiento mencionado en el informe, en realidad es una aplicación de billar.

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 Muestras de que todos los participantes del grupo trabajamos.

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