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Campus Santiago San Joaquín Laboratorio de Fis 140 Segundo Semestre 2018INTERFERENCIA Y DIFRACCIÓN EN RENDIJASAlexis Pradenas R., 201623532-9, [email protected], viernes, 3- Daniel Lorca G., 201623506-K, [email protected], viernes, 3-1. ResumenLa experiencia consta de tres partes, de las cuales un...

Description

Universidad Técnica Federico Santa María Campus Santiago San Joaquín Laboratorio de Fis 140 Segundo Semestre 2018

INTERFERENCIA Y DIFRACCIÓN EN RENDIJAS Alexis Pradenas R., Daniel Lorca G.,

1.

201623532-9, 201623506-K,

[email protected], [email protected],

Resumen

rio y los resultados planteados en las teorías de Young para interferencia y Fraunhofer para difracción, además de analizar los posibles errores que se pueden cometer al realizar este tipo de experimento.

La experiencia consta de tres partes, de las cuales una es digital (VideoCOM) y las otras dos dos son analógicas (pantalla milimétrica), en donde se hace incidir un haz de rayo láser por distintas ranuras (simples y dobles), para formar un patrón de difracción que en el caso analógico se proyecta en el papel milimetrado y así se mide la distancia de separación entre el máximo central y los tres primeros mínimos (método de Fraunhofer) y las distancia de separación entre el máximo central y los tres primeros máximos(método de Young), además de medir las distancias de separación entre las ranuras y la pantalla milimétrica con una cinta métrica, para poder obtener los distintos anchos de las ranuras (simples) y las distancias de separación entre ellas (dobles) mediante un respectivo cálculo; en el caso digital, se hace incidir el láser por una ranura simple, seguido de dos polarizadores y se proyecta el patrón de difracción directamente en el CCV de la VideoCOM, se intenta hacer que los datos tomados por el software de la cámara sean lo más semejante a la curva de intensidad teórica para poder comprobar la teoría. Se obtiene que los anchos de las ranuras simples son de 0,1 ± 0, 004[mm], 0,2 ± 0, 02[mm] y 0,4 ± 0, 06[mm], las distancias de separación entre ranuras son de 0,09 ± 0, 004[mm], 0,2 ± 0, 03[mm] y 0,3 ± 0, 06[mm] y que el método digital utilizado en la experiencia es poco preciso.

2.

viernes, 3-4 viernes, 3-4

3.

Objetivos Principales: Determinar los anchos de las rendijas simples y las distancias de separación entre las rendijas dobles, midiendo distintos patrones de difracción. Secundarios: Comparar los resultados a través de dos métodos, uno analógico (pantalla milimétrica) y otro digital (VideoCOM).

4.

Marco Teórico Método de Young:(Referencia [1])

Introducción

En este informe se analiza el fenómeno lumínico ocurrido al atravesar una rendija doble y una rendija simple con un láser, midiendo la distancia entre el máximo central y los mínimos generados para las rendija simples y las distancias entre el máximo central y los máximos generados para las rendijas dobles además de obtener una curva de intensidad de manera digital con la VideoCOM. Gracias a estos datos se busca realizar una comparación entre los resultados obtenidos en laborato-

Figura 1:

Esquema rendija doble

Supongamos que la distancia L entre las ranuras y la pantalla es mucho más grande que la distancia de separación d de estas, así suponemos también que r1 y r2 son casi paralelas. Entonces la diferencia de longitudes de las trayectorias r1 y r2 1

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está dada por r1 − r2 = dSin(θ). Además diremos que aquellos puntos en donde la interferencia es constructiva la diferencia de las trayectorias es un número entero de longitudes de onda, nλ con n = 1, 2, 3.... Así podemos decir que las regiones iluminadas al hacer pasar un láser por una doble rendija se presentan en distintos ángulos θ , dSin(θ) = nλ.

directa por medio de la CCD de la cámara, este dispositivo (CCD) contiene un gran número de píxeles, que permiten registrar la posición en que llega el haz. La distribución teórica de intensidad para una ranura esta dada por:

Sea Y la distancia entre el centro del patrón y la distancia entre la n-esima franja brillante, por lo tanto Y = LT an(θ). Como θ es muy pequeño dado que Y es mucho más pequeño que L, entonces Lnλ Y = LSin(θ) y ya que Sen(θ) = nλ d −→ Y = d . d=

Lnλ Y

I=

aπSin(θ) ) λ aπSin(θ) λ

Sin2 (

Las franjas oscuras del patrón de difracción son los lugares en donde la intensidad es 0, esto ocurre si aπSin(θ) = nπ con n = 1, 2, 3..., etonces: λ

(1)

Método de Fraunhofer:(Referencia [2])

a=

5.

nλ Sen(θ)

(3)

Desarrollo Experimental:

Materiales: 1. Láser, marca LaserTo, λ=635[nm] 2. Riel Óptico. Figura 2:

3. Cuatro soportes.

Esquema rendija simple

4. Cuatro postes.

Análogo al método anterior, suponemos que la diferencia de trayectos al punto P es ( a2 )Sin(θ) con a el ancho de la ranura y además suponemos que la diferencia de caminos es igual a λ2 . Como θ es muy pequeño tenemos que Y = por lo tanto: a=

Xnλ Y

5. Cinta métrica, marca Sanlon, error: ± 0,05 [cm] 6. Celda con 3 ranuras simples.

X nλ , a

7. Celda con 3 ranuras dobles. (2)

8. Cámara VideoCOM.

Método digital:(Referencia [4])

9. Dos polarizadores.

La cámara VideoCOM permite capturar la distribución de intensidad, la cual se registra en forma

10. Pantalla milimétrica. 2

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Montaje:

Método Experimental: Método de Fraunhofer: Se hace incidir por una ranura simple un haz de rayo láser, formándose un patrón de difracción en la pantalla milimetrada y se mide las distancias de separación entre la ranura simple y la pantalla milimetrada con la cinta métrica. Posteriormente se mide la distancia de separación entre el máximo central y los 3 primeros mínimos del patrón de difracción en la pantalla mlimetrada. Se realiza este procedimiento para 3 ranuras de distinto ancho.

Figura 3:

Método de Young: Análogo al método anterior, el haz de rayo láser incide en una ranura doble, se mide la distancia de separación entre la ranura doble y la pantalla milimetrada con la cinta métrica. Luego se mide la distancia de separación entre el máximo central y los 3 primeros máximos del patrón que se forma en la pantalla milimetrada. Se realiza este procedimiento para 3 ranuras dobles distintas.

Montaje Método de Fraunhofer

Figura 4:

Método digital: Se hace incidir por una ranura simple un haz de rayo láser el que se polariza con dos polarizadores, formándose el patrón de difracción en el CCV de la VideoCOM. Posteriormente se calibra la VideoCOM en el menú, presionando la tecla F5 (Calibración/Comparación con la teoría), se mide la distancia focal efectiva como la distancia entre el láser y el CCV de la VideoCOM con la cinta métrica y se ingresa en el software; en la misma interfase Calibración/Comparación con la teoría, ir a Teoría e ingresar la longitud de onda del láser y el ancho de la ranura, dar click a aceptar y comenzar a tomar datos con la tecla F8. Intentar que la curva experimental sea lo mas parecida a la curva teórica. Luego de obtener la curva marcar su máximo central y el primer mínimo.

Montaje Método de Young

6.

Datos Difracción de Fraunhofer

Figura 5:

Se miden las distancias de separación entre la ranura y el papel milimétrico directamente con la cinta métrica y se mide la distancia de separación

Montaje VideoCOM

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Se mide la distancia de separación entre el láser y la cámara VideoCOM para así obtener el gráfico de intensidad del láser cuando pasa por una ranura y se polariza con dos polarizadores llegando directamente al CCV de la VideoCOM. Se obtiene el gráfico de la Figura 6. En donde la curva roja representa la curva teórica y la negra la experimental. La curva teórica se rige según la ecuación:

entre el máximo central y los primeros tres mínimos (n = 1, 2, 3) del patrón que forma el láser en el papel milimétrico al pasar por las ranuras. Los datos se indican en la siguientes tablas: Y ± 0.05[mm] 7.50 15.0 20.1

n 1 2 3

X ± 0.05[mm] 1233 1233 1233

Tabla 1: Magnitudes de la distancia entre franjas oscuras - máximo central en los respectivos mínimos y la distancia de la primer ranura simple - pantalla Y ± 0.05[mm] 3.50 7.00 10.1

n 1 2 3

I=

Interferencia de Young

X ± 0.05[mm] 1235 1235 1235

Análogo al caso anterior se obtienen las distancias de separación de rendija-pantalla y las distancias de separación entre el máximo central y los tres primeros máximos.

Tabla 2: Magnitudes de la distancia entre franjas oscuras - máximo central en los respectivos mínimos y la distancia de la segunda ranura simple - pantalla Y ± 0.05[mm] 2.0 4.0 6.0

n 1 2 3

aπSin(θ) ) λ aπSin(θ) λ

Sin2 (

Y ± 0.05[mm] 6.50 13.5 21.3

X ± 0.05[mm] 1222 1222 1222

L ± 0.05[mm] 1042 1042 1042

Tabla 4: Magnitudes de la distancia entre franjas brillantes - máximo central y la distancia de la primer ranura doble - pantalla

Tabla 3: Magnitudes de la distancia entre franjas oscuras - máximo central en los respectivos mínimos y la distancia de la tercer ranura simple - pantalla

Y ± 0.05[mm] 2.30 5.60 8.50

L ± 0.05[mm] 1044 1044 1044

Tabla 5: Magnitudes de la distancia entre franjas brillantes - máximo central y la distancia de la segunda ranura doble - pantalla

Y ± 0.05[mm] 1.80 3.50 6.30 Figura 6:

L ± 0.05[mm] 1045 1045 1045

Tabla 6: Datos medidos para método de Young en la tercera rendija doble.

Gráfico de intensidad

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7.

Análisis

8.

Discusión

Método de Fraunhofer:

Método de Fraunhofer:

Con los datos obtenidos en las tablas 1 , 2 y 3 es posible determinar el ancho promedio de las ranuras para las tres mediciones realizadas para cada una mediante el uso de la ecuación (2) presentada en el marco teórico, obteniéndose los anchos promedio para la primer, segunda y tercer ranura igual a 0,1 ± 0, 004[mm], 0,2 ± 0, 02[mm] y 0,4 ± 0, 06[mm] respectivamente:

Los valores promedio obtenidos experimentalmente para cada ancho de rendija son 0,1±0, 004[mm], 0,2 ± 0, 02[mm] y 0,4 ± 0, 06[mm] mientras que las ranuras simples miden originalmente 0.12[mm], 0.24[mm] y 0.48[mm] respectivamente. Los variación en los valores anteriormente expuestos se debe principalmente a errores aleatorios debido a que al momento de medir las distancias marcadas en el papel milimetrado no se distinguen bien, se intenta disminuir este error realizando tres mediciones para cada rendija.

Método de Young: Análogamente con los datos obtenidos en las tablas 4,5 y 6 es posible determinar la distancia de separación promedio entre las ranuras para las tres mediciones realizadas para cada doble ranura. Mediante el la ecuación (1) podemos relacionar la distancia de separación de las ranuras y la distancia entre máximos consecutivos como:

d=

Método de Young Al igual que en el método de Fraunhofer se distinguen pequeñas variaciones entre los valores obtenidos experimentalmente en el laboratorio. Estas diferencias entre valores teóricos y experimentales se atribuyen a errores aleatorios al momento de tomar las mediciones de las distancias entre las marcas realizadas en el papel milimetrado, de igual forma se intenta disminuir este error realizando tres mediciones para cada rendija doble.

Lλ(n2 − n1 ) Lnλ Lnλ −→ Y2 − Y1 = = Y1 Y2 d

Como n2 − n1 siempre es 1, por la diferencia entre máximos, tenemos que: Lλ ∆Y así se obtienen las distancias de separación promedio de la primer, segunda y tercer doble ranura igual a 0,09 ± 0, 004[mm], 0,2 ± 0, 03[mm] y 0,3 ± 0, 06[mm] respectivamente.

Aumentar las mediciones disminuye el error de ambos métodos anteriores, aunque con 3 mediciones fue suficiente para obtener un valores razonables.

d=

Método Digital: Se utilizan polarizadores ya que el CCV de la VideoCOM detecta hasta cierto rango de intensidad, por lo que con los polarizadores se baja la intensidad a un porcentaje menor que el 100 %.

Método digital: Como indica el gráfico de la Figura 6, el ángulo en donde se forma el primer mínimo (n = 1) es de 0,098°, si transformamos este valor a radianes y ocupando la ecuación (3) podemos obtener el ancho experimental de la ranura. a=

El error presente en este método es sistemático dado que la calibración de la VideoCOM no fue tan precisa y además el CCV de la VideoCOM es muy sensible y hacer que la curva de intensidad experimental no sea lo bastante parecida a la curva teórica.

λ 0,000635 = 0,36[mm] = Sen(θ) Sen(0,0017)

este ancho es mucho mas grande que el valor verdadero de la ranura por lo que no es muy preciso este método.

Dado que se realiza solo una medición, no es posible disminuir el error presentado, caso contrario, de haberse tomado más de una medición, el valor 5

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experimental no se escaparía tanto del valor real. Además se toman los datos con 256 píxeles en la CCV por lo que al haber tomado los datos con 2048 píxeles las precisión será mayor.

9.

[4] Uso de la cámara VideoCOM - Modo intensidad.

10.

Apéndice

La difracción se comporta según el siguiente esquema.

Conclusión

Mediante el método de Fraunhofer y el método de Young se logra medir de manera satisfactoria el ancho de las rendijas simples obteniendo 0,1 ± 0, 004[mm], 0,2 ± 0, 02[mm] y 0,4 ± 0, 06[mm] y siendo estos valores muy cercanos a los valores reales de las rendijas, mientras que para las rendijas dobles se logra de igual manera obtener las distancias de separación entre estas obteniendo 0,09 ± 0, 004[mm], 0,2 ± 0, 03[mm] y 0,3 ± 0, 06[mm] y siendo estos igualmente cercanos a los valores reales de estas rendijas. Al momento de comparar el método analógico con el método digital se encuentra que debido a errores sistemáticos cometidos en la medición con el método digital ambos valores difieren entre ellos (teniendo en consideración que esta variación es considerable pero no exagerada) pero se estima que si se calibra de buena forma la cámara VideoCOM, se centra de buena forma el láser con el CCV y se realiza el proceso mas de una vez se lograría una medición mucho más exacta que con el método analógico.

Figura 7:

Esquema de difracción de una ranura simple

Errores de propagación:(Referencia [3]) Ancho de ranuras simples: r ∆Y 2 ∆X 2 ) +( ) ∆a = a ( X Y Distancia de separación ranuras dobles: r ∆L 2 ∆Y 2 ) ∆d = d ( ) +( Y L

Referencias [1] Young, Hugh D. y Roger A. Freedman. (2009). Cap 35: 35.2 Interferencia de la luz procedente de dos fuentes. En Física Universitaria con Física Moderna (1211-1213). México: Pearson Educación.

Rendija Rendija Rendija Rendija Rendija Rendija

[2] Young, Hugh D. y Roger A. Freedman. (2009). Cap 36: 36.2 Difracción desde una sola ranura. En Física Universitaria con Física Moderna (1236-1239). México: Pearson Educación. [3] Análisis y teoría del error experimental: Anexo B: Error experimental.

simple A simple B simple C doble A doble B doble C

Medida [mm] 0.12 0.24 0.48 0.1 0.2 0.1

Tabla 7: Datos Rendijas.

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