Informe N°1 - Gráfica de resultados de una medición PDF

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PRIMER INFORME DE LABORATORIO EXPERIMENTO 1. GRÁFICA DE RESULTADOS DE UNA MEDICIÓNAPELLIDOS Y NOMBRES:Carrión Venancio, Leonardo Alfonso Carbajal Dávila, Manuel André Babilonia Risco, Adriana Rosso Ramos, Luis EnriquePROFESOR:Venegas Romero, José GinoCURSO-SECCIÓN:Física I - MB223 - CINSTITUCIÓN:Uni...

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PRIMER INFORME DE LABORATORIO EXPERIMENTO 1.3 GRÁFICA DE RESULTADOS DE UNA MEDICIÓN

APELLIDOS Y NOMBRES: Carrión Venancio, Leonardo Alfonso Carbajal Dávila, Manuel André Babilonia Risco, Adriana Rosso Ramos, Luis Enrique PROFESOR: Venegas Romero, José Gino CURSO-SECCIÓN: Física I - MB223 - C INSTITUCIÓN: Universidad Nacional de Ingeniería FECHA DE REALIZACIÓN DEL EXPERIMENTO: 23-08-2016 FECHA DE PRESENTACIÓN: 29-08-2016

2016-II

Facultad de Ingeniería Mecánica 2016-II ÍNDICE

1.

Resumen ………………………………………………………………………………...... 2

2.

Antecedente experimental …………………………………………………………….… 3

3.

Fundamento teórico …………………………………………………………………....... 7

4.

Parte experimental ………………………………………………………………....……..9

5.

Cuestionario …………………………………………………………………….…....…..13

6.

Discusión de resultados …………………………………………………..…………..…16

7.

Conclusiones ………………………………………………………………….………….16

8.

Sugerencias ……………………………………………………………….…………….. 16

9.

Referencias bibliográficas ……………………………………………..……………….. 17

1

Facultad de Ingeniería Mecánica 2016-II

RESUMEN Los objetivos para esta experiencia son: determinar las condiciones para que un péndulo simple llegue a tener su periodo independiente de su amplitud angular (Para un ángulo aproximadamente menor a 10º), determinar la relación entre el periodo y la longitud del péndulo, y finalmente construir funciones polinómicas que representen a dicha función. Los materiales utilizados fueron: un péndulo simple (conformado por aproximadamente 1,5m de hilo y una pesa pequeña), una regla de metal graduada en mm, un cronómetro y un soporte universal. Para el proceder del experimento, realizamos mediciones usando el péndulo simple, elegimos distintas longitudes de hilo y calculamos el periodo para cada una, esto es, tomar con el cronómetro el tiempo que tardaba la pesa en realizar 10 oscilaciones (cada oscilación es una ida y vuelta), repetimos 5 veces la medición y promediamos los resultados para minimizar el margen de error. Hicimos esto para cada longitud inicialmente escogida: para una longitud de 20cm, se obtuvo un periodo promedio de 0,961s; para 70cm, un periodo de 1,149s; para 110cm, un periodo de 2,131s; entre otros datos más, Con estos se elaboró una tabla, la cual nos ayudaría más adelante a realizar las gráficas que necesitábamos y con las cuales obtuvimos los resultados requeridos, como por ejemplo, la relación entre la longitud y el periodo obtenido, la incertidumbre de esta función, entre otros datos. Estos datos nos llevaron a concluir que la longitud del péndulo y su periodo están en una relación directamente proporcional, esto quiere decir, que a mayor longitud del péndulo, mayor será el periodo obtenido, en una gráfica estos datos se verían representados por una línea recta. También se concluye y se demuestra con el siguiente experimento, que cuando el ángulo desde el cual se suelta el péndulo es lo suficientemente pequeño (aprox. menor a 10º) el periodo no depende del ángulo, y el movimiento se asemeja a un MAS, obviamente, es difícil cronometrar el periodo con desviaciones tan pequeñas.

Palabras clave: ● Medición ● Gráfica de resultados ● Péndulo físico ● Incertidumbre

1. ANTECEDENTE EXPERIMENTAL [1]:

2

Facultad de Ingeniería Mecánica 2016-II 1.1. Objetivos: ● ● ●

Determinar las condiciones para que un péndulo simple tenga su período independiente de su amplitud angular θ. (θ ≤ 12°) Determinar la relación entre el período y la longitud l del péndulo. Construir funciones polinómicas que representen a dicha función.

1.2. Fundamento Teórico: ●

El péndulo simple, antiguo sistema dinámico es objeto de estudio hasta la actualidad. En este experimento, comprobaremos los errores que se pueden producir en las mediciones (por factores ambientales y errores humanos) al comparar los resultados obtenidos con los resultados teóricos.

1.3. Parte Experimental: ●

Materiales: - Péndulo simple de 1.5 m de longitud - Regla graduada en mm - Cronómetro

●

Procedimiento: - Sostener el péndulo de manera que el hilo de soporte forme un ángulo θ con la vertical. Soltarlo y medir el tiempo que demoran 10 oscilaciones completas. Luego determinar el significado de “para ángulos pequeños θ suficientemente pequeños el tiempo que dura una oscilación no depende del valor de θ”. En lo que sigue supondremos que trabajamos con valores de θ suficientemente pequeños. - Fijar una cierta longitud l k para el péndulo (10 cm ≤ lk ≤ 15 cm), y midiendo 10 oscilaciones completas, determine el período T k1. Repita esto 5 veces, obteniendo Tk2 … Tk5. Luego determine el período más probable Tk de dicho péndulo como media aritmética de las cinco mediciones anteriores. - Realizar todo lo anterior para k = 1, 2,…, 10; obteniendo así 10 puntos (T1, l1), (T2, l2),…, (T10, l10), llenando así la tabla 1, la cual contiene los datos obtenidos en esta experiencia.

Tabla 1. Periodos obtenidos para cada longitud.

k

lk (cm)

Tk1 (s)

Tk2 (s)

Tk3 (s)

Tk4 (s)

Tk5 (s)

Tk (s)

T2

3

Facultad de Ingeniería Mecánica 2016-II 1

16

0.884

0.875

0.873

0.884

0.892

0.8816

0.77722

2

20.1

0.959

0.966

0.948

0.969

0.965

0.9614

0.92429

3

29.5

1.134

1.169

1.142

1.154

1.134

1.1466

1.31469

4

38.5

1.286

1.302

1.313

1.327

1.347

1.315

1.72923

5

53

1.52

1.52

1.512

1.513

1.52

1.517

2.30129

6

69.5

1.731

1.72

1.713

1.703

1.707

1.7148

2.94054

7

80

1.811

1.836

1.819

1.843

1.831

1.828

3.34158

8

87

1.899

1.93

1.911

1.92

1.938

1.9196

3.68486

9

100

2.044

2.039

2.027

1.997

2.031

2.0276

4.11116

10

106.5

2.113

2.091

2.088

2.124

2.095

2.1022

4.41924

●

Cálculos y Resultados: 1. Grafique la función discreta (véase la figura 1)

f(Tk ) = {(T1, l1 ); (T2, l2 ); … ; (T10, l10 )}

Figura 1. Gráfica del periodo versus longitud

2. Calcule la incertidumbre 2 1 /2 lk −f (T k )¿ } 10

1 Δ f ={ ∑ ¿ 10 k=1

4

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Δ f =3.537

3. Grafique una nueva función discreta (véase la figura 2)

Figura 2. Gráfica del cuadrado del periodo versus la longitud.

4. Elija la curva de ajuste polinómica de 2do orden y determine los coeficientes α, β y ‫ ﻻ‬de g(T) = α +βT + ‫ﻻ‬T2 de manera que pase por los tres puntos convenientemente elegidos de esta 2da función. (véase la figura 3) g(x) = 2.29 - 0.85x + 0.28x²

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Figura 3. Curva de ajuste polinómica.

1.4. Preguntas: 1. Anteriormente se le ha pedido que para medir el periodo deje caer la “masa” del péndulo ¿Qué sucede si en vez de ello usted lanza la masa? El ángulo de desviación se vería afectado por la fuerza de lanzamiento, por lo tanto la medición mostraría un error apreciable, y esto se debe a que ahora existe otra fuerza en la masa 2. ¿Depende el periodo del tamaño que tenga la “masa”? El tamaño de la masa no influye en los cálculos del periodo, muy por el contrario es directamente proporcional a la raíz cuadrada de la longitud de la cuerda 3. ¿Depende el periodo del material que constituye la masa? No, ya que en los cálculos se considera como una masa puntual lo cual significa que se desprecia el tipo de material 4. Supongamos que se mide el periodo con θ =5° y con θ = 10°. ¿En cuál de los dos casos resulta mayor el periodo? En ambos casos el periodo se puede calcular sin problemas pero no resultarían iguales, en este caso en el ángulo de 10º el periodo sería mayor que en el de 5º 5. Para determinar el periodo, se ha pedido medir la duración de 10 oscilaciones y de allí determinar la duración de una oscilación. ¿Por qué no es conveniente medir la duración de una oscilación?, ¿Qué sucedería si midiera el tiempo necesario para 50 oscilaciones? El medir solo una oscilación implicaría un mayor error al momento de calcular el tiempo, en cambio el hacerlo con 10 disminuiría el margen de error. Si en cambio lo

6

Facultad de Ingeniería Mecánica 2016-II hiciéramos para 50 oscilaciones demandaría un mayor tiempo y el viento aplicaría una fuerza lo suficientemente fuerte como para no llegar a las 50 oscilaciones. 6. ¿Dependen los coeficientes, y de la terna de los puntos por donde pasa f? Si, ya que dependen de los puntos donde pasen 7. Para determinar, y se eligieron tres puntos. ¿Por qué no dos? ¿O cuatro? En las ecuaciones consistentes el número de variables es igual al número de ecuaciones por lo tanto se consideran tres pero también se podría cuatro pero sería innecesario. 8. En general, según como se elija, y obtendrá un cierto valor para f ¿Podría UD. elegir, y de manera que f sea mínima (aunque f no pase por ninguno de los puntos de la función discreta)? ¿Puede elegir, y, de manera que f = 0? Ya que el objetivo es minimizar Δf, en eso consiste el ajustar los datos a una curva mínimo cuadrática. Sería ideal que Δf =0, pero en toda medición siempre hay un margen de error, por lo que dicha expresión no sería posible. 9. ¿Qué puede afirmarse, en el presente experimento, con respecto al coeficiente de la función G(t)? Que es un término no nulo y es el que ajusta a la gráfica en cuanto a la abertura de esta. 10. ¿Cuántos coeficientes debería tener la función g para estar seguros que ∆g = 0? De la relación

√

2π g = ; entonces l T

l=k T

2

, por ser una ecuación de segundo

orden tiene que tener tres coeficientes. 11. ¿Opina UD. que, por ejemplo usando un trozo de hilo de coser y una tuerca, puede repetir los experimentos en su casa? El experimento seria parecido pero tendría más margen de error debido a que la tuerca rotaria 12. ¿Tiene Ud. Idea de cuántas oscilaciones puede dar el péndulo empleando lk= 100 cm. antes de detenerse? Ya que es real se considera el rozamiento del viento, el cual le hace disminuir su velocidad paulatinamente haciendo el cálculo un poco inexacto, pero experimentalmente podría dar 100 oscilaciones 13. Observe que al soltar el péndulo es muy difícil evitar que la masa rote. ¿Modifica tal rotación el valor del periodo? ¿Qué propondría Ud. Para evitar la citada rotación? Claro que modifica la rotación el valor el periodo, lo hace inclusive mayor, y para evitar la rotación implicaría un menor ángulo y soltarlo cuidadosamente

7

Facultad de Ingeniería Mecánica 2016-II 1.5. Bibliografía: ● http://ocw.unican.es/ensenanzas-tecnicas/mecanica/practicas-1/Errores %20en%20la%20medidas.pdf ● http://www.ieslaasuncion.org/fisicaquimica/sistema1.html http://www.tplaboratorioquimico.com/laboratorio-quimico/procedimientosbasicos-de-laboratorio/errores-de-medicion-y-su-propagacion.html

2. FUNDAMENTO TEÓRICO [2]: El péndulo simple o péndulo matemático es un cuerpo ideal que está constituido por una masa puntual, suspendida de un hilo inextensible y sin masa. El péndulo que disponemos en nuestro experimento es una aproximación al péndulo simple, llamado también péndulo físico o péndulo real. Está constituido por una pequeña pesa de gran densidad, suspendida de un hilo cuya masa es despreciable frente a la de la pesita y cuya longitud es mayor que el diámetro de la pesita. Las mediciones realizadas fueron hechas basándose en la teoría del movimiento periódico la cual asegura que para que ocurra dicho movimiento debe existir una fuerza que se oponga al cambio de posición, la cual es llamada fuerza restauradora, cuya ecuación se muestra a continuación (1):

FRESTAURADORA= -k( x)n

(1)

Para el caso del péndulo (véase figura 4):

Fig 4. Diagrama del péndulo

Como se puede apreciar en la gráfica, en el punto O (dado por la desviación ) las fuerzas de T y la componente del peso, mgcos  se compensan (hilo inextensible), por lo que la componente del peso mgsen es la fuerza resultante sobre el cuerpo y lo dirige opuestamente al desplazamiento; en otras palabras, cuando se separa el péndulo de su posición de equilibrio y se suelta, el peso de la pesita y la tensión del hilo producen una fuerza resultante que tiende a llevar al péndulo a su posición original; habiendo observado la gráfica anterior, se tiene que para un ángulo de desviación , se obtendrá una aceleración igual a:

8

Facultad de Ingeniería Mecánica 2016-II … (I) Considerando desviaciones insignificantes ( pequeño):  ≅ sen  … (II) Además, con esa misma consideración ( pequeño): x=L … (III) Reemplazando (II) y (III) en (I):

Una solución a esta ecuación diferencial es: , Así comprobamos que el péndulo realizará oscilaciones de tal modo que el periodo sea igual a lo observado en la ecuación (2): (2) Por lo que al medir el periodo con diferentes longitudes del péndulo, se espera obtener periodos directamente proporcionales con la raíz cuadrada de dichas longitudes. Empleando oscilaciones con diferentes longitudes, mediremos el tiempo que le toma realizar cierto número de oscilaciones (realizaremos 10 para disminuir el error que se produce al ser tomado por la reacción humana y el error del cronómetro) y promediándolos obtendremos dichos períodos correspondientes a sus longitudes. Para comprobar lo obtenido teóricamente, se realizarán dos gráficas: T vs L y T 2 vs L. Así, en la segunda gráfica se debería obtener una recta que pase por el origen, cuya pendiente permitiría hallar el valor de g.

3. PARTE EXPERIMENTAL: 3.1. Materiales: ● ●

Soporte universal (véase figura 5). Péndulo simple de 1,5m de longitud, constituido por hilo y una pesita (véase figura 6).

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Fig.5. Soporte universal

● ●

Fig.6. Péndulo simple

Regla de metal graduada en mm (véase figura 7). Cronómetro (vèase figura 8).

Fig.7. Regla graduada en mm

Fig.8. Cronómetro

3.2. Procedimiento: ●

●

●

●

Con la regla marcamos distancias desde 20 cm hasta 110 cm en el hilo (ya amarrado a la pesita) a partir de la zona visible del hilo que emerge de la pesita. Posicionamos el soporte universal sobre la mesa de trabajo, pero cerca del borde de tal forma que la varilla horizontal salga de la mesa, para evitar que en las mediciones con longitudes de 90, 100 o 110 cm la pesita choque con la mesa. Atamos el hilo a la varilla horizontal, de tal forma que no pueda deslizar sobre la varilla durante las oscilaciones y además, después pueda desatarse para no comprometer a las demás mediciones, siempre verificando que la longitud a oscilar sean las escogidas (10cm, 20cm, 30cm,…) Se sostiene el péndulo de manera que el hilo forme un ángulo menor a 10º con la vertical (se explicó previamente que para ángulos suficientemente pequeños el tiempo que dura una oscilación no depende del valor del ángulo). Se suelta y se mide el tiempo que demoran 10 oscilaciones

10

Facultad de Ingeniería Mecánica 2016-II completas (cada oscilación es una ida y vuelta). Repetir esta medición 5 veces para obtener un periodo promedio (usando la media aritmética de los datos) y así ser más exactos en nuestros cálculos. ● Repetir el paso anterior para cada una de las longitudes seleccionadas, obteniendo así 10 puntos (T k, lk), la tabla de datos obtenida en esta experiencia se muestra a continuación en la tabla 2 (Donde lk es la longitud del hilo y Tk el periodo obtenido)

Tabla 2. Periodos obtenidos para cada longitud.

k

lk cm

Tk1

Tk2

Tk3

Tk4

Tk5

Tk prom.

Tk²

1

20

0,967

0,951

0.,964

0.962

0,961

0,961

0,924

2

30

1,139

1,143

1,156

1,153

1,155

1,149

1,321

3

40

1,310

1,311

1,319

1,307

1,306

1,311

1,718

4

50

1,472

1,454

1,467

1,464

1,473

1,466

2,149

5

60

1,593

1,594

1,588

1,593

1,589

1,591

2,533

6

70

1,723

1,713

1,744

1,740

1,739

1,732

2,999

7

80

1,833

1,829

1,837

1,852

1,841

1,838

3,380

8

90

1,877

1,908

1,961

1,948

1,980

1,935

3,743

9

100

2,049

2,034

2,037

2,069

2,061

2,050

4,203

10

110

2,131

2,163

2,159

2,159

2,161

2,155

4,642

3.3. Cálculos y resultados: ●

Se grafica la función discreta señalada en la ecuación (3). La gráfica obtenida en esta experiencia se muestra a continuación en la figura 9.

f(Tk ) = {(T1, l1 ); (T2, l2 ); … ; (T10, l10 )}

(3)

11

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Figura 9. Longitud del péndulo versus periodo obtenido.

●

Se calcula la incertidumbre ∆f según la ecuación (4) indicada a continuación. 10

Δ f ={

●

2 1 l k −f ( T k ) ] }1/2 ∑ [ 10 k=1 Δ f =.. .

(4)

Se grafica una nueva función discreta según la ecuación (5). La gráfica obtenida para este experimento se muestra en la figura 10.

= {(T12, l1 ); (T22, l2 ); … ; (T102, l10 )}

(5)

12

Facultad de Ingeniería Mecánica 2016-II Figura 10. Longitud del péndulo versus el cuadrado del periodo obtenido.

●

Se elige una curva de ajuste polinómica de segundo orden y se determinan los coeficientes α, β y ‫ ﻻ‬de la función g(T) = α +βT + ‫ﻻ‬T2 de manera que pase por los tres puntos “convenientemente” elegidos de esta segunda función (Véase la Figura 11).

g(T) = 0,0874 + 4,1925 T - 0,0472 T 2

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Facultad de Ingeniería Mecánica 2016-II Figura 11. Curva de ...