Informe - Péndulo Simple PDF

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UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRESFACULTAD DE INGENIERIAPéndulo SimpleLaboratorio Física Básica 104-12-La Paz – BoliviaÍndice CARÁTULA................................................................ ÍNDICE..................................................................... OBJETIVOS GENERALES............

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1

UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES FACULTAD DE INGENIERIA Péndulo Simple

Laboratorio Física Básica 1

04-12-2020 La Paz – Bolivia

2

Índice 1. CARÁTULA……………………………………………………….1 2. ÍNDICE……………………………………………………………2 3. OBJETIVOS GENERALES……………………………………..3 4. OBJETIVOS ESPECÍFICOS……………………………………3 5. MARCO TEÓRICO……………………………………………....3 5.1 Péndulo Simple (solución aproximada)……………….. ….3 5.2 Péndulo Simple (solución exacta) ………………………....4 5.3 Determinación de la aceleración de la gravedad………… 5 5.4 Validación de la ecuación del péndulo……………………5 6. PROCEDIMIENTO…………………………………………..…..7 7. CÁLCULOS Y GRÁFICOS………………………………….......9 7.1 Determinación de la aceleración de la gravedad………… 9 7.2 Validación de la ecuación del péndulo………………….…9 8. CUESTIONARIO…………………………………………….....11 9. CONCLUSIONES………………………………………….…..13 10. BIBLIOGRAFÍA…………………………………………………...13

3

PÉNDULO SIMPLE 1.

OBJETIVOS GENERALES

a) b) 2.

Estudio del péndulo simple.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS a) Determinación de la aceleración de la gravedad

b) 3.

Estudio del movimiento armónico simple

Determinación experimental de la ecuación del péndulo

MARCO TEÓRICO

PÉNDULO SIMPLE (solución aproximada) El péndulo simple consiste de un objeto de masa m (esfera en la figura 12.1) unido a una cuerda de longitud L que oscila en un plano vertical, como se muestra en la figura 12.1. Con la finalidad de simplificar el estudio, consideremos al objeto como masa puntual; es decir la esfera de masa m no posee dimensiones, pero si masa y la amplitud de oscilación (0) es pequeña. En un tiempo t, la cuerda forma un ángulo  con la vertical. Las fuerzas que actúan sobre la esfera son: la tensión, T, de la cuerda y, el peso, mg.; Aplicando la segunda ley de Newton en la dirección tangencial, y considerando positivo del eje x hacia la derecha, se obtiene:

∑ F T =−mg sen θ=maT

(12.1)

aT =Lα en la ecuación (12.1) (donde , es la aceleración Con angular) y simplificando la masa.

−g senθ=Lα La aceleración angular , se escribe: Esta expresión en (12.2) y ordenando:

(12.2) Figura 12.1

d2 θ α= 2 dt .

d2 θ g + sen θ=0 dt 2 L

(12.3)

4 Para oscilaciones de pequeña amplitud, podemos sustituir sen por  expresada en radianes, luego (12.3) se escribe:

d2 θ g + θ=0 dt 2 L

(12.4)

La ecuación diferencial (12.4) corresponde al movimiento armónico simple, cuya solución fue estudiada en la práctica de resortes; entonces el periodo de oscilaciones pequeñas (T) de un péndulo de longitud L es:

T=2 π

√

L g

(12.5)

PÉNDULO SIMPLE (solución exacta) La ecuación (12.4) es solo aproximada; con la finalidad de obtener una expresión exacta, consideremos la ecuación (12.3); multiplicando ambos miembros por angular).

2ω

2

dθ =2ω dt

(con , velocidad

( )

dθ d2 θ + g sen θ 2 =0 2 dt dt L

2

Considerando

d θ dω = dt 2 dt

y ordenando.

2ω

dθ g dω =−2 senθ L dt dt

Simplificando (dt) e integrando con los límites:  = 0 para ω

2∫0 ωdω=−2

ω 2=

θ=θ 0 , y  =  para =.

g θ sen θdθ L ∫θ 0

dθ 2 g =2 (cos θ−cos θ0 ) L dt

( )

(12.6)

Separando variables.

√

dθ 2g dt = √ cos θ−cos θ 0 L cos θ=1−2 sen 2

θ 2 ; entonces el

Con el propósito de integrar empleamos la relación trigonométrica: θ0 θ 2 sen 2 −sen 2 cosθ−cos θ 2 , esta relación en la ecuación anterior, 2 0 resulta término T t= 4 ,  = 0. correspondientes a un cuarto ordenando e integrando con los límites t = 0,  = 0 a del periodo (T/4) tenemos:

(

)

5

T =2

√

L ∫ g

θ0 0

√

dθ θ0 θ sen2 −sen 2 2 2

(12.7)

La integral del segundo miembro se conoce como integral elíptica, cuya solución no puede θ0 θ sen =sen sen φ 2 2 , la ecuación expresarse en términos usuales. Sin embargo, escribiendo (12.7) se escribe.

( )

√

π

L T =4 ∫ 2 g 0

√

dφ θ 1−sen2 0 sen 2 φ 2

(12.8)

Para evaluar la integral, desarrollamos el integrando por el teorema del binomio e integrando (12.8) resulta.

T =2 π

√[

]

θ 9 θ 225 θ0 1 L 1+ sen2 0 + sen4 0 + sen6 +. .. . .. .. . .. 2 64 2 2304 2 g 4

(12.9)

La ecuación diferencial (12.3) puede también resolverse por otro método, para esto, se emplea el desarrollo en serie del sen.

( )

θ3 θ2 senθ =θ − +. .. . .. .. . .. .≈ 1− 3! 6

(12.10)

Mediante (12.10), la solución de (12.3) conduce a:

√[

2 L θ0 T=2π 1+ +............. ... . g 16

]

(12.11)

Las ecuaciones (12.9) y (12.11) son las soluciones de la ecuación diferencial (12.3). El término entre corchetes (en ambas ecuaciones) es mayor o igual a la unidad; a medida que aumenta 0, las ecuaciones mencionadas dan como resultado periodos mayores a los calculados con (12.5). Es ilustrativo conocer las diferencias y los errores en el empleo de (12.5); con este fin, denominamos K a los términos entre corchetes en la ecuación (12.9). La tabla a continuación muestra los valores de K para diferentes valores de 0 y los respectivos errores relativos ( ) en el uso de la ecuación (12.5). Tabla 12.1 0 K 

5º 1,0005 0,05%

10º 1,0019 0,19%

15º 1,0043 0,43%

20º 1,0077 0,76%

50º 1,049 4,7%

90º 1,180 15,3%

6

Del análisis de la tabla 12.1, notamos que cuando omitirse.

θ0 ≤10 º

el factor de corrección K puede

DETERMINACIÓN DE LA ACELERACIÓN DE LA GRAVEDAD Para el cálculo de la aceleración de la gravedad se emplea la ecuación cuya expresión es

g=4 π 2

L T 2 . En esta ecuación, para la evaluación de T (periodo de oscilación) se mide el tiempo T=

de n oscilaciones (tn), entonces:

g=4 π 2 n

tn n

, ésta expresión en la anterior ecuación:

2 L

t n2

(12.12)

Para la determinación del error de la gravedad, se mide L y t n (3 repeticiones); luego mediante (13.12) se determina la aceleración de la gravedad. El error de tn es: St n Et =t ε / 2 n n √ tn (13.13) Luego mediante propagación de errores, el error de la gravedad resulta:

E g =4 π 2 n 2

( )

Et ¯ L n 2 2 ¯ tn ¯t n

(12.14)

VALIDACIÓN DE LA ECUACIÓN DEL PÉNDULO

La ecuación del periodo (ecuación 12.5)

T=

2π L √g

T=2 π

1 2

√

L g , puede escribirse como: (12.15)

Aplicando logaritmos

log T=log

Si denominamos escribe:

log T =T∗¿ ¿

( )

2π 1 + log L √g 2

log ;

T ∗¿ A + BL∗¿ ¿

( 2π√ g )= A

(12.16)

1 =B 2

y

log L=L∗¿ ¿

, entonces (12.16) se

(12.30)

7 Para validar la ecuación (12.5) o (12.30) que es su equivalente; en la práctica se deben determinar experimentalmente los valores de A y B; con este propósito para diferentes valores de L se miden los respectivos periodos de oscilación (T); estos pares de datos transformados a T* y L* deberán ajustarse mediante mínimos cuadrados, para obtener AE y BE (experimentales). Finalmente, se habrá probado la validez de la ecuación (12.5) si luego del test de hipótesis se determina que los

A=log valores experimentales AE y BE no difieren significativamente de los teóricos:

2π √g

1

B= 2 = 0,5.

4.

PROCEDIMIENTO

MATERIALES    

Hilo inextensible Cronómetros Reglas Simulador Phet de Universidad de Colorado

   la 

Esfera metálica Balanza Vernier

SIMULADOR DE PÉNDULO DE LA UNIVERSIDAD DE COLORADO Para acceder al simulador, ingrese a la página: https://phet.colorado.edu/es/simulation/pendulum-lab Le mostrará lo siguiente:

Luego ingrese a laboratorio, como se muestra en la imagen:

y

8

DETERMINACIÓN DE LA ACELERACIÓN DE LA GRAVEDAD Una vez que accede a laboratorio, le aparece lo siguiente:

En la página coloque longitud del péndulo 1 m y gravedad en 9,78 m/s2 (La Paz). Active regla y cronómetro. Presione el cilindro azul y sin soltar desplace éste hasta que el ángulo indique 5º y suelte. Active el cronómetro cuando el cilindro este a la derecha en la máxima altura y mida el tiempo de 50 oscilaciones (tn). 5. Repita el paso anterior 5 veces. 1. 2. 3. 4.

9

VALIDACIÓN DE LA ECUACIÓN DEL PÉNDULO 1. Considerando las 50 oscilaciones y el ángulo 0 = 50º, mídase el tiempo tn para L = 100 cm = 1 m. 2. Repítase el anterior procedimiento para L = 90 cm, 80 cm, 70 cm, 60 cm y 50 cm

5. CÁLCULOS Y GRÁFICOS DETERMINACIÓN DE LA ACELERACIÓN DE LA GRAVEDAD 1. Con los datos de L = 1 m, ¯t n aceleración de la gravedad.

y n = 50 y mediante la expresión (12.12) calcúlese la

g=4 π n

L (12.12) tn2

2

2

g=4 π 50

2

tn1 (s)

tn2 (s)

tn3 (s)

tn4 (s)

tn5 (s)

¯t n (s)

100,48

100,55

99,95

100,06

100,84

100,376

2

1 2 100,376 n

g=9,80 m/ s2

2. Empleando (12.13) y (12.14) calcúlese el error absoluto de la gravedad (Eg).

Et =t g n

2

St

(12.13)

n

√ nt

n

10

(∑ t ) 501,88 2 50377,245− ∑t − n n 5 St = = n−1 5−1 2

n

2 n

√

√

L (m) 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5

T 2,1092 2,001 1,8865 1,7647 1,6337 1,4914

St

T* 0,3241 0,3012 0,2757 0,2467 0,2132 0,1736

0,367 √5 2 √ nt ´ Et 2 2 L E g=4 π n ´ (2 ´ ) tn tn

Et =t g n

n

=2,776

S t =0,367 n

L* 0,0000 -0,0458 -0,0969 -0,1549 -0,2218 -0,3010

Et =0,456 n

n

n

2

E g=4 π 50

2

0,456 1 (2 ) 2 ´ 2 100,376n 100,376 n

(12.14)

E g=8,87 ×10−4

3. Compare el valor experimental obtenido g¯ exp, con el valor teórico de gT reportado en la ciudad de la Paz, ¿En qué porcentaje difieren?, ¿Por qué? Para la comparación emplee la siguiente expresión:

%diferencia=

|g´exp−gteo|

gteo %diferencia=0,20 %

×100

%diferencia=

|9,80− 9,78 | 9,78

× 100

VALIDACIÓN DE LA ECUACIÓN DEL PÉNDULO

1. Con los datos obtenidos en 12.4.3, calcúlense los periodos T, mediante: para las distintas longitudes L del péndulo. L (m) 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 tn (s) Tn

T=

tn n

105,46 100,05 94,325 88,235 81,685 74,570 2,1092

2,001

1,8865 1,7647 1,6337 1,4914

2. Los pares de datos T y L, conviértanse a T* y L* mediante:

T∗¿log T y L∗¿ log L .

11

3. Represéntese T vs L en escala métrica.

Gráfica T vs L 2.26 2.14 f(x) = 1.23 x + 0.89 R² = 1

2.02 1.9

T

1.78 1.66 1.54 1.42 1.3 0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

L

4. Empleando el método de mínimos cuadrados, ajuste a una línea recta los pares de datos T* y L* para obtener la ecuación experimental:

T ∗¿ A E +B E L∗¿ ¿

∑ x¿2i ∑ y¿i −∑ xi ∑ xi y i =−0,681 2 n ∑ x ¿i 2− ( ∑ x i¿2) ¿ n ∑ x i y i−∑ x i ∑ y i =1,9996 BE= ¿2 2 x − n ∑ x¿2 (∑ i ) i A E=

¿

¿

Obtenemos la ecuación T =1.9996 L −0.6481 5. Calcúlese el coeficiente de correlación r. ¿Qué indica si r se halla cerca de la unidad?, ¿qué si se halla lejos de la unidad? Coeficiente de correlación lineal: ¿

r=

6.

n ∑ x i¿ y i −∑ x¿i ∑ yi¿

√ [ n∑ x

¿2 i

− (∑ x

) ] [ n∑ y

¿2 i

¿2 i

−( ∑ y ) ] ¿2 i

=0,99

CUESTIONARIO 1. Un alumno que ha realizado la práctica del péndulo simple escribe el siguiente párrafo en su cuaderno de laboratorio: "El objetivo fundamental de la práctica del péndulo simple es observar cómo varía el valor de la gravedad en el laboratorio.

12 Para ello se construyen diversos péndulos todos ellos con la misma masa y diversas longitudes." ¿Son correctas las dos afirmaciones? Razona la respuesta. El valor de la masa dentro del laboratorio para cualquier valor de longitud o masa siempre es el mismo, así que no es correcto. 2. Al determinar “g” con un péndulo simple observamos que podemos actuar sobre dos parámetros: la longitud del hilo y la masa que pende de él. ¿Cómo afectan al periodo de oscilación del péndulo estos dos parámetros? Sabemos que el periodo de oscilación es

T =2 π

√

L g

La longitud L de la cuerda afecta un sesgo positivo y es directamente proporcional a la gravedad asimismo asume un valor fijo en el experimento, ya que lo que vamos a variar es el número de oscilaciones.

g=

4 π2 2 L T

La masa se hace presente en la fuerza gravitacional tangencial y se opone al desplazamiento del objeto desde la posición más baja. 3. Para un péndulo en oscilación, señale los puntos en los cuales la velocidad, aceleración y tensión en la cuerda alcanzan valores máximos. Explique mediante un dibujo. 4. Con referencia a la pregunta anterior, y con los datos del experimento calcule dichos valores máximos. 5. ¿Por qué no es conveniente medir directamente el periodo midiendo el tiempo de una sola oscilación, en vez de medir el tiempo de 10 oscilaciones? Para que la determinación en el error del periodo sea lo más pequeño posible. 6. Para un péndulo en oscilación, bosqueje los gráficos de x vs t; v vs t y a vs t. 7. Calcule el periodo de un péndulo con L = 1,000 m a nivel del mar, en La Paz y en la Luna.

T =2 π

√

1,0 m 2 9,775m / s

T =2,0(seg)

8. El periodo de un péndulo simple de longitud L es T, si esta longitud se reduce a la mitad, ¿el nuevo periodo T’ se habrá reducido también a la mitad?, ¿Aumentaría al doble?. Explique su respuesta.

T =2 π Condición

T =2 π

√

1 L2= L1 2 L2 g T =2 π

1 √2

√

√

L1 g

L1 g

T =0,71 T

9. Dos péndulos tienen distinta longitud: la de uno es doble que la del otro. ¿Qué relación existe entre sus periodos de oscilación?

13

T 1 =2 π Dividiendo las dos expresiones:

√

L g

T 2 =2 π

√

2L g

T1 1 = T 2 √2

10. Dos esferas A y B de iguales masas cuelgan de hilos de longitud L A=L B e inician su movimiento en las posiciones que muestra la figura; Si, θ A =2θ B ¿El periodo de A será el doble que el de B?, ¿el triple?, ¿la mitad? Justifique su respuesta. La esfera A que está a mayor altura tendrá más valor en T ya que la gravedad actuara durante mayor tiempo.

LA A LB

B

A B

11. Las esferas A y B de la pregunta anterior, poseen masas iguales, con L A=2 LB . ¿Cuál la relación entre el periodo de A y el de B (TA/TB)?. Para la cuerda A

θ A =2θ B

θ A y LA:

d2 s d t2 Para nuestro análisis θ es bastante pequeño senθ=θ rad pero el arco s=Lθ d2 θA g 2 d 2 θB g 1m × 2 sen θ B=0 = senθ A=0 + 2 2 2m LA 2 LB dt dt 2 d θB g + sen θB =0 2 2 LB dt 2π 2 LB LB T= Pero W = g T =2 π T A =2 π W L g b g

∑ F=ma

√

F1=−mg senθ A =m

√

La relación entre periodos de oscilación de A y B es:

TA = √2 TB

√

y

14

7.

CONCLUSIONES El período de un péndulo sólo depende de la longitud de la cuerda y el valor de la gravedad (la gravedad varia en los planetas y satélites naturales). Debido a que el período es independiente de la masa, se puede decir que todos los péndulos simples de igual longitud en el mismo sitio oscilan con períodos iguales. A mayor longitud de cuerda mayor período. El valor de la aceleración de un cuerpo debida a la atracción gravitatoria de la Tierra sobre él, varía con la distancia al centro de la Tierra. Que además comprobamos gracias al simulador. El ecuador está más alejado del centro de la Tierra de lo que lo están los polos. Esto significa que el valor de g va en aumento desde el ecuador (latitud 0º) hacia los polos (cuyas latitudes son 90º). Por lo tanto es correcto que la ciudad de La Paz tenga un valor de g inferior al medido en el ecuador.

8.

BIBLIOGRAFÍA -Guía de la práctica “Péndulo Simple”...