Integrales Triples Y Aplicaciones (A1)docx PDF

Preview

Summary

PROBLEMAS DE MATEMATICA 2 PROFESOR PRIMITIVO UNO DE LOS MEJORES DOCENTES QUE TIENE LA UNIVERSIDAD, RESUMENES FORMATOS PLANCHAS DE EXAMENES Y PPTS...

Description

INTEGRALES MULTIPLES

UNIDAD 3

INTEGRALES TRIPLES

1.7

Introducción Estudiaremos la integral definida de una función de tres variables sobre una región en el espacio . Estas integrales se conocen como integrales triples. La idea es similar a la de integral definida de una función de dos variables sobre regiones planas, llamadas integrales dobles. Consideremos una función de dos variables f : R  , cuyo dominio es un rectángulo cerrado 2 R =  a, b   c , d = ( x, y )  / a x  b , c  y  d . Supongamos que f ( x, y )  0 en R , de manera que su gráfica 2

es una superficie en que está encima del rectángulo R. Consideremos ahora, la región sólida S de limitada por el rectángulo R (como piso), los cuatro planos verticales x = a , x = b , y = c , y = d (como paredes) de la superficie de la gráfica de f (como techo).



f ( x, y) dA = lim

n

n , m→

R

m

 f ( t ).  A ij

, si este límite existe.

i=1 j =1

DEFINICIÓN 1.6 Una integral para una función en tres variables, definiremos análogamente a las integrales dobles, considerando que nuestra región de integración se extiende a la forma denominado un paralelepípedo; una región en

.

Luego Q queda dividido en n.m. p súcubos, que llamaremos Qijk , el volumen de cada subcubo

es

V = x i . y j.z k .

tijk = ( xijk , yijk , zijk )  Qijk ,

y

Escogemos

un

considerando

punto la

cualquiera, función

f ( x, y, z)  0, ( x, y, z)  Q, definida sobre la partición Qijk que es de la forma

Primera Ed ición

1

M a t e m á ti c a I I

( )

f tijk . V , donde tijk es un punto cualquiera de la partición Qijk , para todo Q , considerando una cantidad l

m

n

( )

infinita de particiones, tenemos Lim f tij .  V n→ m→ k= 1 j= 1 i= 1 l→

Si el límite existe, tenemos la definición de Integral Triple en Q y denotaremos por: l

m

n

gd b

gd b

e c a

e c a

I =  f ( x , y , z ) dx dy dz = Lim  f ( tij ) . V =   f ( x , y , z ) dxdydz =   f ( x , y , z ) dV n → m→ k =1 j =1 i =1 l →

Q

Observación 1: Si f ( x, y, z) = 1, ( x, y, z)  Q , la integral triple representa el volumen de la región Q .

V (S ) =  dx dy dz =  dV u 3 , dx dy dz = dV es la diferencial de volumen Q

Q

Observación2. l

m

n

N

I =  f ( x , y , z ) dx dy dz = Lim  f ( tij ) . V = lim  f (xijk , yijk , zijk ).Vk = Q

n → m → k =1 j =1 i =1 l →

g d b

   f ( x , y ,z ) dxdydz , donde

P →0

k =1

P es la norma de la partición P = Q1 , Q2 ,..., Qk  y P es la

e c a

máxima longitud de las diagonales de los sub-paralelepípedos Qk , N = lmn El teorema de Fubini es aplicable para estas integrales, integración iterada o reiterativa. 1.8

Integración de funciones escalares de varias variables

Similar que, con las integrales dobles, el método práctico para evaluar las integrales triples es expresarla como integrales iteradas Teorema de Fubini para las integrales triples. Si f : U  es continua en una caja rectangular

U =  a, b  c, d   e, g = ( x, y, z ) 

x  b, c  y  d, e  z  g 

entonces, si existe cualquier integral iterada es igual a la integral triple. g d b g d b   I =  f ( x, y , z ) dx dy dz =    f ( x, y, z ) dxdydz =  (    f (x , y , z ) dx  dy )dz U e c a e c a  Si

F ( x , y , z ) = f ( x , y , z ) tenemos x

g d  b F ( x , y , z )  b = dx dydz  e c  a  x e c F ( x, y, z ) a dydz    g d  g d   F b y z F a y z dydz , , , , = =   j ( y, z ) dydz ( )− ( )  e c  e c j (y , z )   g d

I=

Si

2

(

)

 J ( y, z) = j ( y, z ) tenemos y

2019 - II

F a c u l t a d d e In g en i er í a g d g d g     J y, z )  d I =    j ( y , z ) dy  dz =    ( dy  dz =  J ( y , z ) c dz y e c e c e  

(

)

  g  =  J (d , z ) − J (c, z )  dz =  h (z )dz  e  e h( z)   g

g dH ( z ) g  dH ( z )  = h ( z ) ,tenemos I =    dz = H ( z ) e = H ( g ) − H ( e ) (Número real) dz dz  e  Orden de integración: Hay seis ordenaciones dV = dxdydz , dxdzdy , dydxdz , dydzdx, dzdxdy , dzdydx

Si

Ejercicios Desarrollados

1.9

 xyz

2

1) Evaluar la integral

dV , donde R es la caja rectangular

R

R = ( x, y, z) 

x  1, − 1  y  2, 0  z  3 

Solución Usando el orden dV = dxdydz y usando integración iterada 3 2 1

1

3 2

x2 2 1 = = xyz dV xyz dxdydz yz dydz =       2 2 U 0 −1 0 0−1 0 2

2 3 1 y =  20 2

2

2

2

  yz

1 4 1  3 3  z3 z dz =   −  z2 dz =  z2 dz =  2 0 2 2 −1 40 43 3

3

3 2

2

3

=

2

−1

dydz

0 −1

0

3  27 27 −0 =  4 3 4

2) Integrar la función f ( x, y, z) = ex +y +z sobre la caja U =  0,1   0,1   0,1

U = ( x, y, z) 

x  1, 0  y  1, 0  z  1 

Solución Tenemos la Integral Triple x+ y+ z  e dV = U

1 1

1 1 1

x+ y+ z    e dxdydz = 0 0 0

1

 1 x+ y+ z  0 0  0 e dx dydz =   1 1

(

1 1

 ( e

x+ y+ z

0 0

1 0

) dydz

1

=   e1+ y + z − ey + z dydz =  e1+ y+ z − ey+ z dz =  ( e 1+ 1+ z − e 1+ z − e1+ z + ez ) dz 0

(

)

0 0

(

= e

2+ z

0

−2 e

1+ z

1.10

z 1

+e

0

1

0

= e − 2 e + e − e + 2 e − 1 = e3 − 3 e2 + 3 e − 1 3

2

1

2

1

Integrales sobre regiones acotadas

i) Región sólida de Tipo I.- Sea la región definida por E = ( x, y , z)   b; h1 ( x)  y  h2 ( x) ; u1 ( x, y )  z  u2 ( x, y )

Primera Ed ición

3

M a t e m á ti c a I I

 f ( x , y , z ) dV =  (  (

u2 ( x, y)

E

u1 x , y )

D

b

h2 ( x)

=  ( a h

1

(x )

u2 ( x, y)

(u

1

(x ,y )

)

f ( x , y , z ) dz dA

f ( x , y , z ) dz )dy ) dx

ii) Región sólida de Tipo II.-Sea la región definida por

E = ( x, y, z) 

 D; u1 ( y, z )  x  u2 ( y , z ) 



u2 ( y , z)

 f ( x , y , z ) dx dA   u1 ( y ,z ) 

 f ( x , y , z ) dV =    E

D

 u2 ( y , z )  D  u y ,z f (x ,y ,z ) dx dydz  1( )  iii) Región sólida de Tipo III.Sea la región definida por

E = ( x, y, z ) 

 D; u1 ( x, z )  y  u2 ( x, z ) 

 u2( x, z) f x y z dV , , = ( ) E D  u (x, z) f ( x , y , z ) dy 1

 dA  

 u 2 ( x ,z )   dxdz f x y z dy ( ) , ,    D  u1 (x ,z ) 

Ejercicios Desarrollados

1.11 1 y

1) Evaluar la integral I =

2

 

dzdxdy . Trazar la región de integración e interpretar.

0 0 x 2 +y 2

Solución Tenemos la región R dado por

R = ( x, y, z) 

y  1; 0  x  y; x2 +y2  z  2 

Evaluando la integral

4

2019 - II

F a c u l t a d d e In g en i er í a y

1 y 1   x3 2 2 = − − = − − xy2  dy dzdxdy x y dxdy x 2 2 ( )  0 0 2  2   3 0 0 0 0 x +y 1 y

2

y

1

1

y3 3  1 1 2   2 y 4 y4   =   2 y − − y  dy =  y − −  =  1 − −  = 3 12 4  0  12 4  3 0  0 Interpretación. -Como f ( x, y, z) = 1 la integral representa el volumen del sólido 1 y

V (S ) =

2

 

dzdxdy =

0 0 x2 + y2

2) Evaluar la integral I =

2 3 u 3 5

3x

   −2 0

x+ 2 y

4 dzdydx

Solución Usando integración iterada 5 3 x x +2

 

−2 0

5 3x 5 3x  x +2    x +2 = = dz dydx z dydx 4 4 4 ( )   −     −  y −   ( x + 2 − y ) dy dx 2 0 y 2 0 2 0  5 3x

4 dzdydx =

y

3x

5    3 y2  9x 2  3x 3 2 dx x x 4 3 = 4   xy + 2 y −  dx = 4   3x 2 + 6 x − = + −   2 0 2  2 −2  −2   5

= ( − x +12 x 3

3) Calcúlese

2

5 −2

5

) −2

= −125 + 300 − 8 − 48 = 119

 x dxdydz , donde R es la región

R = ( x. y. z ) / x2 + y2  1, 0  z  1 − y 

R

Solución La representación gráfica de R es: La proyección del cilindro sobre el plano z = 0 es el círculo



es: R = ( x, y, z) 

2

2

x + y  1 , luego la región de integración



x 1; 1 − x2  y  1 − x2 ;0  z 1 − y Entonces 1

1− x2 1− y

 x dxdydz =    xdzdydx R

−1 − 1− x2

0

=0

4) Hallar el volumen del sólido acotado inferiormente por el paraboloide por el plano z = 2 y Solución

Primera Ed ición

2 2 z = x + y y superiormente

5

M a t e m á ti c a I I

Haciendo la gráfica se tiene: Proyectando el sólido sobre el plano XY, interceptando las dos superficies:

z = x2 + y2 , z = 2y Tenemos

2 y = x 2 + y 2  x 2 + y 2 − 2 y = 0  x 2 + y 2 = 2y  D : x2 + ( y − 1) = 1 circulo 2

Por lo tanto, el volumen del sólido es

 2y  V =  dV =    dz dA =   R D  x2 + y2 

 (2y − x

Donde D =

( y −1)

( x, y ) 

2

− y 2 )dA

D

2



 1 . Evaluando

 x = r cos , tenemos  y = rsen

la integral doble haciendo: 

D : x + ( y − 1 ) = 1  r cos  + r sen  − 2rsen = 0  D : 0     ; 0  r  2sen , 2

2

2

2

2

2

*

2 sen

  2 sen  2 r4  V ( S ) =   (2rsen − r )rdrd  =    (2r 2sen − r 3 )dr d  =   r 3sen  −  d  3 4 0  0 0 0 0 0     16  3 16sen 4   4 4 1 43 4 4 2 =   sen  − = u d  =  sen  d  =  (1− cos 2 ) d = 4  30 30 4 38 2 0 3  2 sen



2

5) Calcular el volumen del sólido R acotado por la superficie z = x 2 y los planos y + z = 4; z = 0 Solución Según el gráfico del sólido, el volumen es:

 4− y  V ( S ) =  dV =    dz dA =  ( 4 − y)dA   R D 0 D  Donde D : ( x, y)  x  2; x 2  y  4 4

y2   V ( S ) =   ( 4 − y ) dydx =   4 y −  dx 2  x2 −2 x2 −2  2 4

2

2  x4  2 =   8 − 4 x +  dx 2  −2  2

5  x 4 256 3 u =  8x − x3 + = 3 10 −2 15 

6

2019 - II

F a c u l t a d d e In g en i er í a

Integrales triples en coordenadas cilíndricas

1.12

En el sistema de coordenadas cilíndricas, un punto P en el espacio tridimensional se representa mediante una tripleta ordenada (r, , z ) , donde r y son las coordenadas polares de la proyección de P sobre el plano XY, y z es la distancia desde el plano XY a P. Las ecuaciones para pasar de coordenadas cilíndricas a rectangulares y viceversa son:

 x = r cos    y = r sen, z = z 

r = x2 + y2

r 0



0    2

y , J =r  = arctg    x

 x x r   y y J= r   z z r 

x z cos  −rsen 0 y = sen  r cos  0 = r z 0 0 1 z z Como resultado la función f ( x, y , z ) se transforma en: f ( x, y, z) = f ( r cos , rsen , z) = f ( r, , z) Para expresar una Integral Triple en coordenadas cilíndricas, supondremos que R es una región sólida y f continua en R, esto es:

 f ( x, y, z )dV =  f (r cos, rsen, z ) J (r ,, z ) dzdrd =  f (r ,, z )rdzdrd R*

R

R*

donde J ( r, , z ) se denomina el Jacobiano de la transformación

R* = ( r, , z ) 

   ; 1 (  )  r  2 (  ) ;1 ( x, y )  z  2 ( x, y ) 

De donde se tiene

f ( x, y, z ) dV =

 R

=





 2 ( )

 2 (r , )

1 

1 r ,)

()(



2 (  )



1 ( )



2 ( r cos  , rsen)

(

1 r cos  ,rsen )

f (r cos , rsen, z )rdzdrd 

f (r , , z ) rdzdrd 

Ejercicios Desarrollados

1.13 2

1) Evaluar la integral

4− x

 

2

−2 − 4− x2

2

 (x

2

+ y2 )dzdydx en coordenadas cilíndricas. Trazar la región de

x2 + y2

integración R e interpretar. Solución Considerando los límites de integración se tiene que



R = ( x, y, z) 

Primera Ed ición

+ y2  z  2; − 4 − x2  y 

4 − x2 ; −2  x  2

 7

M a t e m á ti c a I I

Cambiando a coordenadas cilíndricas se tiene, mediante la transformación

x2 + y 2 = z  x 2 + y 2 = z 2

y = 4 − x2  y2 = 4 − x2  x2 + y2 = 4  x = r cos   *    2 ;0  r  2; r  z  2  y = r sen,  R = (r , , z )  z = z 





Por lo tanto 2

4− x2

 (x

 

−2 − 4 −x 2

 ( x, y, z ) dzdrd   ( r, , z )

2 2 2

2

2

+ y 2 ) dzdydx =    r 2 0 0 r

x 2 +y 2

2 2 2

2 2

2

2

 r4 r5   24 25  16 =    r dzdrd  =   r ( 2 − r ) drd  =   −  d  =  −  ( 2) = 2 50 5 5  2 0 0 r 0 0 0  3

3

2) Calcular en coordenadas cilíndricas el volumen de una esfera de radio a . Solución Tenemos que una esfera con centro en el origen y de radio a  0 , es dado por:

x2 + y2 + z2 = a2  z2 = a2 − x2 − y2 z= a −x −y 2

2

2

− a −x −y  z a −x − y 2

2

2

2

2

2

Proyectando la esfera sobre el plano XY, se tiene

z = 0 , entonces x2 + y2 = a2 , Cambiando a coordenadas polares en plano XY:

0  r  a, 0    2

Por lo tanto, el volumen de una esfera es

V (E ) =

a 2 − x2

2

a 2 −x 2 − y 2

 



−2 − a 2 −x 2 − a 2 −x 2 −y 2

2

dzdydx = 2

2 a

2 3

(

2

0 0

a 2 − a 2 − a 2 − 02

3) Aplicando 2

0

2

) (2 ) = − 23 ( −a ) 2 = 43 a 3

coordenadas

3

cilíndricas

2 a

a2 − r 2

0 0

0

dzdydx = 2  2

= 2   r a − r drd  = −  =−



0

2  a − r ( −2 r ) drd  = −  30

2

0 0



0

2 a

2

a 2 − x 2 a 2 − x2 − y 2

calcular

3

(

a −r 2



rdzdrd 

)

3

2

a

d 0

u3

el

volumen

de

la

región

2

z = 9 − x − y , x  0, y  0, z  0 Solución Tenemos la expresion grafica de la region Considerando, la condicion x  0, y  0, z  0 , en el primer octante, tenemos que el volumen de la región: R =

( x, y, z) 

Es dado por V ( S ) =

3

9 − x2 ;0  x  3

9− x2 9 −x 2 −y 2

  0

8

z  9 −x 2 − y 2 ; 0  y 

0



dzdydx

0

2019 - II



F a c u l t a d d e In g en i er í a

Proyectando la región sobre el plano XY, se tiene z = 0 , entonces

 x = r cos    *  y = r sen ,  R = (r, , z )   z = z 

  

x2 + y2 = 32 ,

  ; 0  r  3; 0  z  9 − r 2  2 

Cambiando a coordenadas polares en plano XY:

0  r  3, 0   

 2

Por lo tanto, el volumen del sólido es

3

V (S ) = 

9−x 2 9 −x 2 −y 2

0





0

0

 2 2 3 9−r

dzdydx =  

0 0

 23

V ( S ) =   r 9 − r drd  = − 2

0 0

=−

1 3

(

9 −9 − 9 −02

1.14



rdzdrd 

0





23

2

1 1 2 2 9 − r (− 2r ) drd = − .    200 2 3 0

) 2 = − 13( −3) 3

3

3

(

9− r

2

)

3

d 0

 9 3 u = 2 2

Integrales triples en coordenadas esféricas

En el sistema de coordenadas esféricas, un punto P en el espacio tridimensional se representa mediante una tripleta

ordenada (, ,  ) donde  = 0P es la distancia del origen al punto P,  es el mismo ángulo que en las coordenadas cilíndricas y  es el ángulo entre el eje positivo Z y el segmento de recta OP. Las ecuaciones para pasar de coordenadas esféricas a rectangulares son:

 x =  sen cos    y =  sen sen ,  z =  cos  

0 0    2  0

 = x2 + y 2 + z 2  y  = arctg    x

Como resultado la función f ( x, y , z ) se transforma en:

f ( x, y, z) = f (  sen cos ,  sen s en , cos ) = f ( , , ) Para expresar una Integral Triple en coordenadas esféricas, supondremos que R es una región sólida y f continua en R, esto es:

 f (x, y, z )dV =  f ( sen cos , sen s en , cos ) J ( , , ) d d d = R*

R

Primera Ed ición

9

M a t e m á ti c a I I

 f ( , , ) J ( , , ) ...