Lista 9 Integrales triples coordenadas esfericas cilindricas aplicaciones PDF

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PUCP - C´ alculo en varias variables - Ejercicios Propuestos 9

Integrales triples Integrales triples sobre cubos y paralelep´ıpedos. Teorema de Fubini 1. En cada uno de los siguientes casos, calcule

ZZZ

f (x, y, z) dV .

E

(a) f (x, y, z) = (x + 2y + 3z)2 , E = {(x, y, z) ∈ R3 | 0 ≤ x ≤ 1 , −1/2 ≤ y ≤ 0 , 0 ≤ z ≤ 1/3}. (b) f (x, y, z) = ex+y+z , E = [0, 1] × [−1, 1] × [0, 2]. (c) f (x, y, z) = e−xy y, E = [0, 1] × [0, 1] × [0, 1].

(d) f (x, y, z) = zex+y , E = [0, 1] × [0, 1] × [0, 1].

(e) f (x, y, z) = xyz + z 2 , E = [0, 2] × [0, 1] × [−1, 1].

√ √ (f) f (x, y, z) = zxy[cos(x + y2 ) − ln(x2 + y)], E = [−π, π] × [ π, 2π] × [0, 1].

(g) f (x, y, z) = z 2 + (x + y) ln(x + y) + x3 cos(xy), E = [−1, 1] × [2, 3] × [−1, 1]

Integrales triples sobre regiones acotadas m´ as generales. Teorema de Fubini. Cambio en el orden de integraci´ on 2. En cada uno de los siguientes casos, calcule

ZZZ

f (x, y, z) dV .

E

(a) f (x, y, z) = 2x − y, E = {(x, y, z) ∈ R3 | 0 ≤ z ≤ 2 , 0 ≤ y ≤ z 2 , 0 ≤ x ≤ y − z}.

(b) f (x, y, z) = y, E = {(x, y, z) ∈ R3 | 0 ≤ x ≤ 3 , 0 ≤ y ≤ x , x − y ≤ z ≤ x + y}.

(c) f (x, y, z) = 6xy, E es la regi´on que se encuentra por debajo del plano z = 1 + x + y y por encima de la √ regi´on en el plano xy encerrada por las curvas y = x, y = 0, x = 1. (d) f (x, y, z) = y2 , E es el tetraedro con v´ertices (0, 0, 0), (2, 0, 0), (0, 2, 0) y (0, 0, 2). (e) f (x, y, z) = x, E encerrada por el paraboloide x = 4y2 + 4z 2 y el plano x = 4. (f) f (x, y, z) = z, E es la regi´on en el primer octante encerrada por el cilindro y2 + z 2 = 9 y los planos x = 0, y = 3x y z = 0. (g) f (x, y, z) = z, E es el hemisferio s´olido x2 + y2 + z 2 ≤ 1, z ≥ 0. 3. En cada uno de los siguientes casos, grafique la regi´ on de integraci´on y, cambiando el orden de integraci´ on, reescriba la integral en las otras 5 maneras posibles. Z 1 Z 1 Z 1−y (a) f (x, y, z) dz dy dx. √ 0

(b)

Z

1 0

Z

y

x 0 1Z y

f (x, y, z) dz dx dy.

0

Cambio de variables en integrales triples Coordenadas cil´ındricas 4. Bosqueje la gr´ afica del s´ olido cuyo volumen est´ a dado por la siguiente integral triple Z π/2 Z 2 Z r2 r dz dr dθ −π/2

y calcule el valor de esta integral.

0

0

5. En cada uno de los siguientes casos, usando coordenadas cil´ındricas, calcule (a) f (x, y, z) =

p

x2

+ y2 ,

2

ZZZ

f (x, y, z) dV . E

2

E es la regi´ on encerrada por el cilindro x + y = 16 y los planos z = −5 y z = 4.

(b) f (x, y, z) = x + y + z, E es el s´ olido en el primer octante que est´ a limitado por el paraboloide z = 4 − x2 − y 2 . (c) f (x, y, z) = x2 , E es el s´ olido interior al cilindro x2 + y2 = 1, y que est´ a por encima del plano z = 0 y 2 por debajo del cono z = 4x2 + 4y2 .

6. Cambiando a coordenadas cil´ındricas calcule la integral Z

3

−3

Z

√ 9−x2

Z

9−x2 −y 2

0

0

p

x2 + y2 dz dy dx

Coordenadas esf´ ericas 7. Identifique la superficie cuya ecuaci´ on en coordenadas esf´ericas se brinda a continuaci´ on. (a) φ = π/3 (b) ρ = sin θ sin φ 8. Escriba la ecuaci´ on z 2 = x2 + y2 en coordenadas esf´ericas. 9. En cada uno de los siguientes casos, bosqueje la gr´afica del s´ olido descrito por las desigualdades dadas. (a) ρ ≤ 1, 3π/4 ≤ φ ≤ π . (b) ρ ≤ 2, ρ ≤ csc φ.

p 10. Sea E el s´ olido acotado inferiormente por el cono z = x2 + y2 y superiormente por la esfera x2 + y2 + z 2 = z . Describa el s´ olido S usando desigualdades en coordenadas esf´ericas. 11. Bosqueje la gr´ afica del s´ olido cuyo volumen est´ a dado por la siguiente integral triple Z

0

π/6 Z π/2 0

Z

3

ρ2 sin φ dρ dθ dφ

0

y calcule el valor de esta integral. 12. En cada uno de los siguientes casos, usando coordenadas esf´ericas, calcule

ZZZ

f (x, y, z) dV . E

(a) f (x, y, z) = x2 + y2 , E es el s´ olido encerrado por las esferas x2 + y2 + z 2 = 4 y x2 + y2 + z 2 = 9. p p (b) f (x, y, z) = x2 + y2 + z 2 , E es la regi´ on por encima del cono z = x2 + y2 y encerrado por las esferas x2 + y2 + z 2 = 1 y x2 + y2 + z 2 = 4. 13. Cambiando a coordenadas esf´ericas calcule la integral Z 1 Z √1−x2 Z √2−x2 −y 2 0

0

x2 +y 2

xy dz dy dx

vol´ umenes, masa, centro de masa ´ Aplicaciones de las integrales m´ ultiples. Areas, 14. Encuentre el ´area de la regi´ on plana que satisface las desigualdades x2 + y2 ≥ 4y, x2 + y2 ≤ 4. 15. Encuentre el centro de gravedad de la regi´ on plana D limitada por las gr´ aficas de las siguientes rectas: y − x = 1, y + x = 1, y = 0, si en cada punto (x, y) ∈ D su densidad est´a dada por ρ(x, y) = y. 16. Halle la masa y el centro de gravedad de la l´ amina que ocupa la regi´on triangular D con v´ertices (0, 0), (2, 1), (0, 3), y cuya funci´ on densidad es ρ(x, y) = x + y. 17. Halle la masa y el centro de gravedad de la l´ amina que ocupa la regi´on D encerrada por las par´ abolas y = x2 √ y x = y2 , y cuya funci´on densidad es ρ(x, y) = x. 18. Usando integrales triples, calcule el volumen del s´olido limitado por el cilindro x2 + z 2 = 4 y los planos y = −1, y + z = 4. 19. Bosqueje la gr´ afica del s´ olido cuyo volumen est´ a dado por la integral triple Z 1 Z 1−x Z 2−2x dy dz dx. 0

0

0

20. En cada uno de los siguientes casos, halle la masa y el centro de masa del s´ olido E con la funci´ on de densidad ρ que se especifica. (a) E es la regi´ on que se encuentra por debajo del plano z = 1 + x + y y por encima de la regi´on en el plano √ xy encerrada por las curvas y = x, y = 0, x = 1 ; ρ(x, y, z ) = 2. (b) E es el tetraedro acotado por los planos x = 0, y = 0, z = 0, x + y + z = 1 ; ρ(x, y, z) = y. 21. En los siguientes problemas, calcule el volumen del s´ olido S indicado usando coordenadas cil´ındricas. a) S es el s´ olido que es interior tanto al cilindro x2 + y2 = 1 como a la esfera x2 + y2 + z 2 = 4. b) S es el s´ olido encerrado por los paraboloides z = x2 + y2 y z = 36 − 3x2 − 3y2 .

c) S es el s´ olido que es interior tanto al cilindro r = a cos θ como a la la esfera de radio a centrada en el origen.

22. Asumiendo que la densidad es constante, calcule el centro de masa de los s´olidos en la pregunta anterior. 23. En los siguientes problemas, calcule el volumen del s´ olido S indicado usando coordenadas esf´ericas. a) S es el s´ olido que se encuentra por encima del cono φ = π/3 y por debajo de la esfera ρ = 4 cos φ. b) S es el s´ olido interiorpa la esfera x2 + y2 + z 2 = 4 y que se encuentra encima del plano z = 0 y por debajo del cono z = x2 + y2 .

c) S es un hemisferio s´olido de radio a.

24. Asumiendo que la densidad es constante, calcule el centro de masa de los s´olidos en la pregunta anterior. 25. Usando coordenadas cil´ındricas o esf´ericas (la que sea m´ as apropiada), calcule el volumen y el centro de masa p de la regi´ on s´olida E que est´ a por encima del cono z = x2 + y2 y por debajo de la esfera x2 + y2 + z 2 = 1.

Problemas diversos 26. Usando integrales triples, pruebe que el volumen de una esfera de radio R es ZZZ 27. En cada uno de los siguientes casos, calcule f (x, y, z) dV . E

4π 3

R3 .

(a) f (x, y, z) = x2 + y2 , E es el cono s´ olido limitado por las superficies z = ar y z = b (en coordenadas cil´ındricas). πb5 Rpta. 10a 4. p (b) f (x, y, z) = 2 R2 − (x2 + y2 + z 2 ) , E es la esfera s´olida (o bola cerrada) de radio R centrada en el origen. Rpta. 21π 2 R4 . p (c) f (x, y, z) = z , E es la regi´on limitada por la esfera unitaria y el cono de ecuaci´on z = 3(x2 + y2 ).  √  3 1 − Rpta. 2π 3 2 .

(d) f (x, y, z) = z 2 , E es el s´ olido obtenido al intersecar {1 ≤ x2 + y2 + z 2 ≤ 4} con el cono {z 2 ≥ x2 + y2 }.   Rpta. 4π 31 1 − √18 . 5 2

2

2 3/2

olido en el primer octante encerrado por las esferas x2 + y2 + z 2 = 1 (e) f (x, y, z) = e(x +y +z ) , E es el s´ y x2 + y2 + z 2 = 4 y que satisface x2 + y2 ≥ z 2 . (f) f (x, y, z) = x2 + y2 + z 2 , E es el s´ olido determinado por las desigualdades x2 + y2 ≥ z 2 , x2 + y2 + z 2 ≤ 9, y ≥ |x|.

28. Halle la masa y el centro de gravedad de una l´ amina que ocupa la regi´on en el primer cuadrante encerrada por el c´ırculo x2 + y2 = a2 , si se sabe que la densidad en cada punto el proporcional a la distancia de dicho punto al origen. 29. Sea E el s´ olido definido por las inecuaciones x2 + y2 − z 2 ≤ 1, −1 ≤ z ≤ 1. La densidad de E est´a dada por la cuarta potencia de su distancia al eje z, esto es δ(x, y, z) = (x2 + y2 )2 . Halle la masa de E . 30. Calcule el volumen del s´ olido E encerrado por el paraboloide z = x2 + y2 y la esfera x2 + y2 + z 2 = 2, usando (a) coordenadas cil´ındricas, (b) coordenadas esf´ericas.

Rpta.

2π 3

 √  2 2 − 74 .

31. En los siguientes problemas, calcule el volumen del s´ olido S indicado. a) S es el s´ olido obtenido al intersecar los cilindros s´olidos x2 + z 2 ≤ 1 y y2 + z 2 ≤ 1. Rpta. 16/3. 2 2 2 2 2 2 2 b) S es el s´ olido obtenido al intersecar las regiones: x + y ≤ 4, x + y ≥ (z + 1) y x + y ≥ (z − 1)2 . . Rpta. 10π 3 2 2 2 2 c) S es el s´ olido limitado por los paraboloides z = x + y y z = 16 − (x + y ) y que satisface x ≥ 0. d ) S es el s´ olido descrito por la desigualdad en coordenadas esf´ericas ρ ≤ sen φ. e) S es el s´ olido interior a los paraboloides z = 8 − x2 − y2 y z = x2 + y2 . Rpta. 24π . f ) S es el s´ olido descrito por las desigualdades x2 + y2 ≤ z 4 y z 2 ≤ 1. g) S es el s´ olido en el primer cuadrante limitado por el cilindro x2 +y2 = 1 y los planos y −z = 0, y +z = 0. Rpta. 2/3 32. En Rn , la hiperesfera de radio r tiene ecuaci´ on x21 + x22 + x32 + · · · + x2n = r 2 . Para n = 4 y n = 5 prue8π 2 5 π2 4 r y be que el hipervolumen de la regi´ on encerrada por la hiperesfera en dichas dimensiones es r 2 15 respectivamente. ¿Podr´ıa generalizar su procedimiento para n ≥ 6? 33. Sea D una regi´ on en R2 . Sea T : D → R3 una funci´ on diferenciable de clase C 1 . Sea S la superficie de 3 R parametrizada por T , esto es S = Imagen(T ). Denotamos T (u, v ) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)). Usando la interpretaci´on geom´etrica de la matriz Jacobiana o derivada de T (ver Problema 17 de Lista 8), pruebe que el a´rea superficial de S se puede definir de la siguiente manera ZZ ||Tu × Tv ||dudv A(S) = D

donde Tu =

∂T ∂u

=

∂x ∂y ∂z ( ∂u , ∂u , ∂u )

y Tv =

∂T ∂v

=

( ∂x , ∂y , ∂z ∂v ∂v ∂v ).

34. Usando el problema anterior, calcule el a´rea de la superficie parametrizada por T (u, v) = (u cos v, u sen v,

v2 ), 2

donde (u, v) pertenecen a la regi´ on u2 + v 2 ≤ 9.

35. Una rotaci´ on Rθ (u, v) = (u cos θ − v sin(θ), u sin(θ) + v cos(θ) env´ıa una regi´on D en el plano uv a una regi´ on R en el plano xy la cual es la rotaci´on de D alrededor del origen por un ´angulo de θ radianes. Pruebe que el a´rea de D es la misma que el a´rea de R. 36. Encuentre los puntos sobre el asteroide el´ıptico g(x, y, z) = 5x2 + y2 + 3z 2 = 9 donde la temperatura f (x, y, z) = 750 + 5x − 2y + 9z es m´ axima. Rpta. (1/2, −1, 3/2) 37. El grosor de la regi´ on encerrada por las gr´ aficas de las funciones f1 (x, y) = 10 − 2x2 − 2y2 y f2 (x, y) = −x4 − y4 − 2 est´ a denotada por f (x, y) = f1 (x, y) − f2 (x, y). Halle todos los extremos locales de f . ZZ r dr dz, donde D es la regi´on encerrada por las curvas r 2 −4z 2 = 5 y r 2 −5z 2 = 4 y contenida 38. (a) Calcule en r ≥ 0.

D

(b) Una nave espacial E est´ a dada por el s´ olido en el primer cuadrante limitado por los hiperboloides x2 + y2 − 4z 2 = 5 y x2 + y2 − 5z 2 = 4. Halle el volumen de E. (Nota: podr´ıa usar lo hallado en parte (a), pues los problemas est´an relacionados).

39. El momento de inercia f (x, y) de un toro de masa 4 con radio interior x y radio exterior y est´ a dado por f (x, y) = 3x2 + 4y2 . (a) Halle los par´ametros (x0 , y0 ) para el toro que minimizan el momento de inercia bajo la restricci´on g(x, y) = x + 4y = 13. (b) Proporcione la ecuaci´on de la recta tangente a la curva de nivel de f que pasa por (x0 , y0 ). 40. Pruebe que la proyecci´on estereogr´ afica (ver Ejercicio 50, Lista 8) env´ıa c´ırculos y rectas de R2 a c´ırculos en la esfera S 2 : x2 + y2 + z 2 = 1. (Recuerde que un c´ırculo en la esfera se puede describir como la intersecci´on de S 2 con un plano ax + by + cz = d.) Muestre en particular que los c´ırculos que pasan por el polo norte N = (0, 0, 1) de S 2 son enviados a rectas en el plano uv .

Referencias [1] Marsden, J.; Tromba, A. Vector Calculus. 6th. Edition. W. H. Freeman and Company, New York. 2012. [2] Stewart, J. Calculus. Early transcendentals. 6th. Ed. Thomson Brooks/Cole. 2008. Profesor: Richard Gonzales....