Taller 2 Coordenadas Cilindricas y Esfericas integral PDF

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Summary

Calculo integral definiciones de coordenadas cilindricas kakakakakakakakakakakaka jajajajajajajajajajajajjajajajajajajajjajajajajajajajajajajajajajajajajajajjajajajajajajajajajajjajajajajajajajajjajajajajajajajajjajajajajajajajajajajajajajajajajajajajajajajajajajajajajajjajajaja...

Description

ASIGNATURA Calculo diferencial e integral

Actividad de profundización

Taller 2

Presenta:

Andrés Felipe Caicedo Vásquez ID 771159

Docente

Paola Andrea Muñoz Pinza

CORPORACION MINUTO DE DIOS UNIMINUTO

2021 CORPORACIÓN UNIVERSITARIA MINUTO DE DIOS

ADMINISTRACIÓN DE EMPRESAS CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

Introducción El siguiente es un informe escrito en el cual vamos a plantear una situación relacionada con la administración de empresas donde se vea la aplicación de las antiderivadas en la economía planteando una situación y la solución de esta.

¿Qué es una antiderivada?

Es algo muy simple como su nombre lo dice es la que se encarga de deshacer lo que la derivada se encargó de hacer. Para poder resolver una antiderivada toca es adivinar, es decir que pensaremos una posible respuesta derivarla y ver si nos da estas también son llamadas integrales indefinidas. Ejemplo encontrar la antiderivada de 2x. Entonces necesito deshacer lo que una derivada realizo: Debo devolver la función f(x)=2x a su forma antes de derivar. ¿Qué función debo derivar para que me de 2x? Ahora si miro con cuidado me puedo dar cuenta que si derivo F(x)=x2+1 también obtendría 2x. Es decir que cada que le sumo una constante a F(x) y derivo eso sigo obteniendo 2X. entonces realmente la antiderivada de mi función es: F(x)=2x+C donde C representa cualquier constante. Propiedades de antiderivadas: 1) Si F(x) y C una constante cualquiera la función F(x)+C es otra antiderivada de F(x). 2) Si una función tiene una derivada entonces tiene infinitas antiderivadas. Es decir, si F(x) en constante y tiene una antiderivada de f(x) para cualquier constante C; f(x)+c es otra derivada según la propiedad anterior. 3) Dos antiderivadas de una misma función se diferencian en una constante. Si F(x) G(x) son primitivas de la función f(x), entonces f(x)-g(x)=c.dc Ejercicio Aplicando antiderivadas La empresa vidrios del este encontró que el costo marginal “C´) de fabricar x número de artículos está dada por C´(x)=1.5x+2 encuentra la función de costo (C(x)), considerando que el costo fijo es de $10.000: C(0)=10.000. Cuando Hablamos de costo marginal podemos decir que es el costo del cambio o coste total que surge cuando la cantidad producida cambia por una unidad, es decir, al incremento del coste total. C´(x)=1.5x+2 ꝭ ꝭ 1.5x dx + 2dx 1.5ꝭX dx+2 dx ꝭ 1.5 x^2 / 2 +2x+D C(X)=3 x^2/4 +2X+D C(0)=3(o) 2 4 +2(0)+D=10000 D=10000 C(x)= 3(x) 2 4 +2(x)+10000 1. Explique las características y los elementos de las coordenadas cartesianas con su correspondiente definición. Conocidas también como coordenadas rectangulares o sistema cartesiano, en la cual dos rectas numéricas perpendiculares, una horizontal y otra vertical, se intersecan o cortan en un punto “O” al que se le llama origen. Su mayor propósito, es describir la posición o ubicación de un punto en el plano, la cual está representada por el sistema de coordenadas. Los elementos y características que conforman el plano cartesiano, son:

Ejes Coordenados. Los ejes coordenados son las dos rectas que se interconectan en un punto del plano. Las cuales reciben el nombre de Abscisa y Ordenada. Eje de las Abscisa. Representada en la posición horizontal y se le da también el nombre de eje “x”. Eje de las Ordenadas. Representada en la posición vertical y se le conoce también como el eje “y”. A continuación, se representan con una imagen

Origen o Punto “O” Punto en el cual se intersectan los ejes “x” o “y”, por lo cual se le asigna el valor de cero (0). Así, respecto del origen o punto “O”, el segmento derecho del eje “x” es positivo, mientras que el izquierdo será negativo. De la misma forma, el segmento ascendente del eje “y” es positivo, mientras que el descendente es negativo. A continuación, se representa con una imagen.

La unión de las dos rectas rectangulares o ejes coordenados forman cuatro áreas denominadas cuadrantes, los cuales, se enumeran tradicionalmente en números romanos, así: Cuadrante I, la abscisa y la ordenada son Positivas. Cuadrante II, la abscisa es negativa y la ordenada es Positiva. Cuadrante III, la abscisa y la ordenada son Negativas. Cuadrante IV, la abscisa es positiva y la ordenada es Negativa. A continuación, se representa con una imagen.

Coordenadas del Plano Cartesiano. Son los valores que nos dan la ubicación del punto en el plano, las cuales se forman asignando un valor al eje “x” y otro al eje “y”, obteniendo una representación de la siguiente manera: P (x, y), donde P será el punto del plano, “x” el eje horizontal y “y” el eje vertical. 2. Explíquelas características y los elementos de las coordenadas cilíndricas con su correspondiente definición. Las coordenadas cilíndricas nos ayudan a definir la posición de un punto en el espacio, se puede decir que son una extensión de las coordenadas polares para tres dimensiones. Por lo tanto, todo punto en el espacio “V” es visto como un punto (r, a, z) de la superficie lateral de un cilindro recto con base en el plano “XOY” y tiene por centro el origen de coordenadas con un radio “r” determinado. La proyección del punto “XOY” tiene un ángulo respecto al eje “x” o eje horizontal, y se encuentra a una distancia “z” respecto al plano base. Así todo punto queda determinado mediante tres magnitudes: El radio “r”, el cual debe ser “r ≥ 0”, un ángulo en radiantes “a”, el cual debe ser “0 ≤a ≤2 π” y una altura “z”. El sistema de coordenadas cilíndricas es de gran utilidad, ya que permite modelar de una manera más cómoda situaciones, modelos y fenómenos de diversas áreas. Se pueden representar de dos maneras: Coordenadas Cartesianas. Dada la coordenada cilíndrica (r, a, z) su equivalente cartesiano (x, y, z) vendría dado por la relación. X = r cos a; Y = r sen a; Z = z Coordenadas Polares. Para convertir de cartesiano a cilíndrico, seria:

2. Explique las características y los elementos de las coordenadas esféricas con su correspondiente definición. Las coordenadas esféricas constituyen otra generalización de las coordenadas polares del plano, donde se giran alrededor de un eje. Por lo tanto, se usan para determinar la posición espacial de un punto mediante una distancia y dos ángulos, es decir, un punto p está representado por tres magnitudes, así: La distancia o el radio “r”, el cual indica la distancia entre el origen “O” y el punto “P”, es decir, el modulo del vector de posición r. El ángulo polar “θ”, nos indica el ángulo que forma “r” con el eje positivo “Z”. El ángulo azimut “φ”, nos indica el ángulo que forma la proyección de “r” sobre el eje “XY” y el eje “x” positivo. En la siguiente imagen, observamos lo mencionado.

Elementos de las coordenadas Esféricas

7. Escriba las ecuaciones y elementos que permiten hallar las coordenadas cilíndricas a partir de las coordenadas cartesianas. Para cambiar de Coordenadas cartesianas a cilíndricas, se usan las formulas: Coordenada Cilíndrica (r, α, z) -> Coordenadas Cartesianas (x, y, z) r=√x 2 + y 2 ∝=arctg y x z=z 8. Escriba las ecuaciones y elementos que permiten hallar las coordenadas esféricas a partir de las coordenadas cilíndricas. En primer lugar, la coordenada α es la misma en los dos sistemas. El resto de coordenadas se relaciona mediante un nuevo triangulo rectángulo. r=√ p 2 +z 2 θ=arctg p z α=α 9. Escriba las ecuaciones y elementos que permiten hallar las coordenadas cilíndricas a partir de las coordenadas esféricas. p=r senθ z=r cosθ α=α 10. Dadas las coordenadas cartesianas de un punto P son: Px=10; Py=20 y Pz=30. Halle las coordenadas esféricas. Dado el punto P con coordenadas (x, y, z) = (10, 20, 30), determinamos cuales son sus coordenadas en el plano esférico, P’ = (r, θ, α), donde “r” es radio, “θ” es el ángulo azimutal y “α” es el ángulo de latitud. Las

ecuaciones son las siguientes: 1 ¿ r 2=x 2 + y 2 +z 2 2 ¿ θ=arctg y x 3 ¿α=cos −1 ( z √x 2 + y 2 +z 2 ) Reemplazando los valores de x, y, y z en las formulas 1, 2 y 3, se tiene:

1. r=√102 +202 +302=√1400=37.417 2. θ=arctg 20 10 =arctg2=63.435° 3. α=cos −1 ( 30 √102 +202 +302 ) =cos −1 ( 30 √1400 ) =36.70 ° Entonces, el punto P = (10, 20, 30) se representa como P’ = (37.417, 64.435°, 36.70°). 11. Dados los siguientes elementos del plano se conoce su acimut (100º), su altura (55) y su coordenada radial (20). Calcular sus coordenadas cartesianas y esféricas. Tenemos que la coordenada esférica, es: P = (r, θ, α), la cual será representada como P = (20, 55°, 100°). Para transformar a coordenadas rectangulares debemos aplicar las siguientes ecuaciones. x=r sen(θ)∗cos(α ); y=r sen(θ)∗sen (α) ; z=r cos(θ ) Aplicamos las ecuaciones y tenemos: x=20 sen(55°)∗cos (100°) = -2.845°; y=20 sen(55 ° )∗sen(100° )=16.13° z=20 cos(55 °)=11.47 ° El punto de coordenadas rectangulares será P’ = (-2.845, 16.13°, 11.47°) 12. Consulte y explique el uso de las coordenadas cilíndricas, dé como mínimo 3 ejemplos. Ejemplo 1. Discos Duros. La ubicación de los datos en los discos duros mediante el sistema CHS se realiza indicando tres cantidades: el cilindro (C), la cabeza (H) y el sector (S). Para ver qué tiene que ver esto con las coordenadas cilíndricas conviene describir cómo son los discos duros.

Un disco duro en realidad es una pila de discos (por ejemplo, 4 discos) separados una distancia fija y grabados por sus dos caras. A cada lado de cada disco hay una cabeza lectora/escritora identificado por el número H, que equivale a la coordenada cilíndrica “z” La distancia al eje de cada disco la da el número C, ya que un cilindro lo constituyen los puntos a la misma distancia del eje, en los distintos discos. Por tanto, C equivale a la coordenada radial “p” Por último, dados la cabeza y el cilindro, la posición a lo largo de una circunferencia (lo que se denomina una pista) se indica mediante el sector S, que corresponde a la coordenada cilíndrica “α”. Ejemplo 2. Grúas El uso de las coordenadas cilíndricas lo proporcionan las grúas. Para controlar la posición de la carga, es preciso indicar el ángulo de giro de la flecha (el brazo de la grúa), dado por “α”, la altura a la que se sube la carga “z”, y cuanto hay que desplazarla a lo largo de la flecha “p”. Ejemplo 3. Partículas en una superficie cilíndrica. Las coordenadas cilíndricas son una extensión de las coordenadas polares a un espacio tridimensional. Estas se usan, entre otras cosas, para describir el movimiento de partículas en una superficie cilíndrica. 13. Consulte y explique el uso de las coordenadas esféricas, dé como mínimo 3 ejemplos Ejemplo 1. Dinámica En todo caso de fuerzas centrales, en las que un cuerpo genera un campo gravitatorio a su alrededor, al depender éste exclusivamente de la distancia (y de la masa del cuerpo que genera el campo), tiene simetría radial o esférica. Ej: campo creado por el Sol, la Tierra, cualquier planeta, un protón alrededor del cual giran electrones. Ejemplo 2. Electrostática El campo eléctrico creado por una carga puntual o esférica tiene simetría esférica. Esto nos permite calcular el campo fácilmente usando el teorema de Gauss, difícilmente aplicable si no encontramos una simetría. Ejemplo 3. Situación de puntos en la Tierra Al considerar la Tierra como una esfera, podemos situar cada punto sobre la superficie terrestre mediante sus dos coordenadas angulares de las coordenadas esféricas, semejantes a la latitud y longitud que usamos. La componente radial no es necesaria, pues todo punto sobre la superficie está a la misma distancia del centro (simplificando la Tierra como una esfera perfecta, que no lo es).

Bibliografía

En los siguientes enlaces o libros pueden encontrar las referencias que tomamos para realizar este documento: https://www.docsity.com/es/aplicacion-de-las-integrales-definidas-e-indefinidas-aplicadasa-laeconomia/2313987/

https://es.scribd.com/doc/7816889/Aplicaciones-economicas-de-la-integral-indefinida...