Introduccion AL Desarrollo DEL Pensamiento Logico Matematico EN EI PDF

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INTRODUCCION

AL

DESARROLLO

DEL

PENSAMIENTO

LOGICO

MATEMATICO EN EI. El pensamiento no se enseña, hay que ayudar a que el alumno lo desarrolle. Las relaciones mentales desarrollan la lógica, que es la base del pensamiento, especialmente del pensamiento matemático. Hay que promover el desarrollo del pensamiento y razonamiento lógico en los niños.

SIMBOLIZACION Dicho de una cosa: servir como símbolo de otra, representarla y explicarla por alguna relación o semejanza que hay entre ellas. Representar una idea por medio de un símbolo. Sinonimia: asignación a un mismo ente de varios símbolos diferentes ,da origen al símbolo =, y homonimia (esta no) -

Designación: relación entre símbolos y constructos. Tres componentes significante, significado y referente. Se puede designar a uno mismo, acciones, objetos. La simbolización es un tipo particular de designación.

LOGICA El arte de razonar bien (natural y formal). -

Colecciones: totalidad de los elementos o cosas poseedoras de una propiedad común, que los distingue de otros. Las colecciones surgen cuando identificamos propiedades en los objetos y establecemos relaciones.

-

Relaciones: conexión que establecemos mentalmente entre dos o mas objetos, personas o situaciones.

Propiedades de las Relaciones



Reflexiva: cualquier elemento esta relacionado consigo mismo



Simétrica: siempre que un elemento este relacionado con otro, se cumple que el segundo esta relacionado con el primero.



Antisimetrica: siempre que un elemento este relacionado con otro, se cumple que el segundo NO esta relacionado con el primero.



Transitiva: permite relacionar dos objetos entre si, indirectamente, a través de un tercero.

Tipos de Relaciones -

De equivalencia: ser igual que (r, s, t) y de orden estricto: ser mayor que (a, a, t) y no estricto: ser mayor o igual que (r, a, t)

-

Predicado Amalgamado: los componentes no están relacionados unos con otros por la conjunción y, sino que los niños los manipulan, ponen en funcionamiento como un todo indisociable.

-

Centración: capacidad del alumno para concentrarse en una sola característica de un objeto.

-

Decantación: capacidad del alumno para seleccionar entre una colección de objetos, aquellos que posean una misma característica.

-

Origen de los obstáculos: epitemologico, ontogentico, y didáctico.

CLASIFICACION Indica un conjunto de objetos clasificados según un determinado criterio. Instrumento

que permite al niño organizar mentalmente lo que le rodea. Toda clasificación implica selección y agrupamiento de objetos en clase y grupos según un criterio o regla. Las clasificaciones producen conjuntos y clases. La sustentan las propiedades r, s y t. Una clasificación representa una simple distribución de los objetos en clases, mientras que una categorización (clasificación jerarquica) contiene, además de las clases, las relaciones entre ellas. Obstáculos ontogenéticos -confunden objetos con la clase. Ej: perro la clase no existe, pero si buldog, caniche. -dificultades para utilizar un nombre con dos significados distintos. Ej: ser madre e hija a la vez. -no aceptan carácter arbitrario de todo clasificación. Ej: dificultades para admitir que una madre es madre y policía. Se puede designar: -extension—designando

todos

sus

elementos

-comprension—designando

las

propiedades que cumplen todos los elementos del conjunto.

SERIACION Indica un conjunto de objetos ordenados según un determinado criterio. Orden es la manera de estas colocadas las cosas o de sucederse en el espacio o en el tiempo. Propiedades de la Seriacion -Reversibilidad: ordenar en dos direcciones -Transitividad: a es anterior a b, y b anterior a c, entonces a es anterior a c -Carácter dual de los elementos de la serie: cualquier elemento de la serie debe ser sucesor del anterior y antecesor del siguiente.

-Asimétrica: dados dos elementos a y b, si a es anterior a b, b no es anterior a a. Si pregunta por las propiedades de las relaciones de orden serian estas, y a estas se le añadiría la propiedad reflexiva. La asimétrica es como la antisimetrica (relaciones de orden).

Tipos de Seriaciones Ritmos básicos o de célula, ritmos recursivos, cerradas, abiertas.

BLOQUE 2 Problemas como contexto donde se generan significados. Como el medio para desarrollar una comprensión significativa del concepto de operación y del significado de los símbolos. Problemas de estructura aditiva (sumas y restas) -Dos partes: informativa y pregunta -Tres cantidades presentes: dos datos y una incognita problemas, estrategias de resolución y evolución en la comprensión del significado del numero. La secuencia abierta es una traducción secuencial del enunciado del problema

TIPOS DE PROBLEMAS



Cambio

Problemas en los que hay una secuencia temporal. Una cantidad inicial se transforma (por aumento o disminución) en otra cantidad final. Una cantidad inicial es sometida a una acción, directa o sobreentendida, que la modifica. CI—Cambio—CF (crecer o decrecer) Hay 6 tipos, el mas fácil es el cambio 1 y el mas difícil el cambio 6. Todos de restar menos el 1 y el 6 que son de sumar.



Combinación

Problemas que describen una relación entre tres conjuntos, dos partes disjuntas (sin elementos comunes) conforman un conjunto total. Es el típico caso en el que las partes se unen para formar el todo y el todo se puede descomponer en sus partes. Parte—Parte—Todo (problemas estáticos) Hay 2 tipos, los dos de sumar



Igualación

Mezcla de comparacion y cambio. “Tantos como” DIFICULTADES (Documento Puig y cerda)

ESTRATEGIAS DE RESOLUCION Modelacion 1.-CONTAR TODOS (UNIR) -Cambio-juntar: ?= cantidad final

-Parte-Todo (combinar): ?= Todo Ejemplo: Roberto tiene 4 coches de juguete. Su amigo le da 7 coches más. ¿Cuántos tiene ahora?

2.-SEPARAR DE (DESDE) -Cambio-separar: ?= cantidad final Ejemplo: Carol tiene 12 caramelos. Le da 5 a Pepe. ¿Cuántos le quedan?

3.-SEPARAR HASTA -Cambio-separar: ?= cantidad de cambio Ejemplo: Roberto tiene 6 caramelos. Le da algunos a su amigo. Ahora le que dan todavía 2. ¿Cuántos caramelos le ha dado a su amigo? Esta estrategia implica una cierta cantidad de “ensayo y error”

4.-AÑADIR HASTA Cambio-juntar: ?= cantidad de cambio

Ejemplo: Roberto tiene 4 caramelos .¿Cuántos caramelos le faltan si quiere tener 11?

5.-EMPAREJAR Comparar: ?= cantidad diferencia Ejemplo: Marcos tiene 6 caramelos. Jaimetiene11.¿Cuántos caramelos tiene Jaime más que Marcos?

6.-ENSAYO Y ERROR Cambio: ?= cantidad inicial Ejemplo: Roberto tiene algunos coches de juguete. Sus amigos le dan 5 el día de su cumpleaños. Ahora Roberto tiene 11coches. ¿Cuántos coches tenía antes de su cumpleaños?

Conteo

CONTAR DESDE EL PRIMERO Problemas de sumar Se empieza a contar hacia delante desde el primer sumando del problema. La secuencia termina cuando el numero de pasos contados que representan el segundo sumando se ha completado. El ultimo numero “cantado” es la solución del problema.

2.-CONTAR DESDE EL MÁS GRANDE

Idéntica a la anterior pero el niño comienza a contar hacia delante a partir del mayor de los dos sumandos.

3.-CONTAR HASTA Cambio-juntar: ?= cantidad de cambio El niño inicia la estrategia de contar hacia adelante empezando por el número más pequeño. La secuencia finaliza con el número dado más grande, manteniendo la pista de los números dichos en esta secuencia, los niños determinan la respuesta.

CONTAR HACIA ATRÁS DESDE Cambio-separar: ?= cantidad final Los niños comienzan a contar hacia atrás desde el numero dado mas grande. El numero que hay que quitar es el numero de pasos que hay que dar. La respuesta es el numero anterior del ultimo número pronunciado.

CONTR HACIA ATRÁS HASTA Cambio-separar: ?= cantidad de cambio Los niños comienzan a contar hacia atrás desde el numero dado mas grande hasta alcanzar el numero siguiente al mas pequeño. La respuesta es el numero de palabras en la secuencia de contar. HECHOS NUMÉRICOS

Hechos numéricos básicos: usar sumas de números conocidas: sumar dos números iguales, sumas de números que dan 10, sumar 1 o 2 a una cantidad… Hechos numéricos derivados: a partir de un hecho numérico básico se deduce un nuevo hecho numérico que deriva del anterior. EJEMPLO: conocido que 3+3=6, para calcular 3+4, se hace 3+3+1 que es 6+1

es

decir 7 3+4=7

Problemas de estructura multiplicativa (multiplicación y división) Distinguiremos dos tipos de cantidades: -Una proposición es una cantidad existencial (número de caramelos, palotes, etc.). CANTIDAD EXTENSIVA (CE) -La otra expresa una regla de correspondencia entre dos espacios de medida (número de caramelos por bolsa, velocidad, etc.). CANTIDAD INTENSIVA (CI) Además, Schwartz también menciona CUANTIFICADORES (c), que son números que denotas la cantidad de repeticiones. Suele aparecer junto a la palabra “veces” o algún sinónimo. Los problemas asimétricos son aquellos en los que los dos factores de la multiplicación, multiplicador y multiplicando, desempeñan papeles diferentes. Division-Medida -Datos: Cantidad total y el número de objetos en cada grupo(multiplicando). -Incógnita: Número de grupos iguales que hay(multiplicador) Division-Reparto -Datos:Cantidad

total

y

el

numero

-Incognita: Numero de objetos que hay en cada grupo

BLOQUE 3

de

grupos iguales

El sentido numérico es un forma de pensar y usar los números, que surge de todos los diversos significados del numero. Contextos del numero: secuencia verbal, cardinal, ordinal, numero como tecla, recuento, medida, códigos. Primeros conceptos numéricos: contar, añadir a o quitar de, comparar y ordenar, componer y descomponer, partes iguales, agrupar y valor y posición. CONTAR: asignación individual de etiquetas en secuencia a los elementos de un conjunto, designando la última etiqueta el cardinal.

¿QUÉ ELEMENTOS PUEDEN COMPRENDER EL CONTEO? -

nombrar y reconocer rápidamente cuantos elementos hay en una colección (subitizar)

-

manejar la lista de palabr-numero al menos hasta el 10

-

enumerar objetos (la enumeración de los elementos de un conjunto finito supone establecer una relacion de orden total en el mismo)

-

entender que la ultima palabra que se dice cuando se cuenta indica cuantos ítems han sido contados (cardinalizar)

PRINCIPIOS DEL CONTEO -

Correspondencia uno a uno: permite asignar a cada elemento una única etiqueta y a cada etiqueta un único elemento. (partición y etiquetación)

-

Orden estable: secuencia de números a utilizar ha de ser estable, estar formada por etiquetas únicas y poder repetirse en cualquier momento

-

Cardinalidad: la ultima etiqueta en el conteo de un conjunto de objetos representa el numero de objetos contenidos en el mismo.

-

Abstraccion: el numero de elementos de un conjunto es independiente de las cualidades de los elementos del mismo

-

Orden irrelevante: el cardinal de un conjunto no se ve afectado por el orden de enumeración.

NIVELES DE ORGANIZACIÓN DE LA CANTINELA Adquisición: empezamos a aprender la secuencia convencional Elaboración: desgranamos el bloque que hemos aprendido y establecemos las relaciones entre estos numerales. -

Cuerda: sucesión de números se produce comenzando por el 1, los términos no están bien diferenciados

-

Cadena irrompible: la sucesión de términos de produce comenzando desde el 1, los términos están bien diferenciados.

-

Rompible: la sucesión puede comenzar a partir del termino a pero en sentido ascendente

-

Numerable: la sucesión consiste en contar n a partir de a, hay que dar otro numero b, como respuesta

-

Bidireccional: en orden ascendente o descendentes rápidamente y em pezando desde cualquier numero, se puede cambiar fácilmente la dirección.

FASES DE APRENDIZAJE DE LA CANTINELA -

Parte I: estable y convencional. Mismo orden estable y convencional, crece con la edad, grandes diferencias entre individuos. Va aumentando y consolidándose.

-

Parte II: estable y no convencional. Estable con omisiones o cambios de orden. Del 10 al 19 cuando están aprendiendo la cantinela hasta el 30 y deben contar una colección numerosa sin disponer de la cantinela memorizada

-

Parte III: no estable y no convencional. Cambian de una vez a otra, inestable, desordenada, con ausencias y repeticiones. Aprendizaje de los números termino a término hasta el 20. Del 20 al 100 la memorización se ayuda de ciertos patrones y regularidades fonéticas. (4 niveles).

BLOQUE 4 Una magnitud es una propiedad, característica física, atributo observable o cualidad de los cuerpos, entes, colecciones, fenómenos o situaciones, que se manifiesta en distintos grados o intensidades susceptibles de ser expresadas cuantitativamente. -

continuas (tiempo, distancia, temperatura, capacidad…)

-

discretas (número de personas…)

En nuestro contexto nos centramos en un tipo particular de ellas, las llamadas magnitudes extensivas, sumables o medibles

ESTADIOS PRINCIPALES PARA EL CONOCIMIENTO DE UNA MAGNITUD (FASES QUE VAN PASANDO LOS ALUMNOS) o Consideración y percepción de una magnitud como una propiedad de una colección objetos. Aislándola de otros atributos que estos pueden tener /sin tener en cuenta otras propiedades que puedan presentar tales objetos) Por ejemplo, que el niño manipule un objeto, diferenciando sus características: amarillo, grande, suave y “pesado”.

o Conservación de

una

magnitud

Identificar que cambios en el objeto dejan invariante la propiedad característica de la magnitud tras ciertas transformaciones (aunque el objeto cambie de posición, forma, tamaño o alguna otra propiedad, sin embargo hay algo que permanece constante: ese algo es aquella magnitud con respecto a la cual pretendemos que el niño sea conservador) Por ejemplo, si le damos al niño una bola de plastilina y le hacemos que cambie su forma, (que haga una salchicha o una tarta), debe saber que si no se ha retirado ni añadido nada de plastilina, la cantidad de este material sigue siendo la misma. Según la escuela de Piaget, el niño se encuentra entonces en condiciones de avanzar hacia la idea de que el peso de este material permanecerá también invariante a pesar de los cambios de forma.

o Ordenación

respecto

a

una

magnitud

dada

Las propiedades definen las magnitudes permiten ordenar de manera natural los objetos (el alumno sea capaz de ordenar objetos teniendo en cuenta únicamente la magnitud considerada) Por ejemplo, que el niño/a ordene masas muy diferenciadas de menor a mayor peso: una pluma, un cuento y un melocotón.

o Establecer la relación entre magnitud y número (da origen a la medida) Capacidad de medir: no solo es capaz de decir que una cantidad de magnitud es mayor que otra, sino además cuanto mayor. Por ejemplo, que el niño/a pese en una balanza distintos kilos de arroz, y lo exprese verbalmente en términos matemáticos, ”esto pesa dos kilos”. Puesto que la comprensión de la magnitud no es espontánea, hay que proporcionar actividades y situaciones que permitan experimentar, probar, verificar para cada una de las magnitudes que se van a presentar.

DIFERENCIAR ENTRE DIMENSIÓN Y DISTANCIA:

-En objetos llenos, la longitud se apoya en un objeto físico -La distancia hace referencia al espacio vacío entre dos objetos Ambas nociones se complementan, pero el niño no se puede aproximar a ambas de la misma manera: la distancia no se elaborara hasta que no se logre construir el concepto de línea recta. Ejemplo: magnitud longitud / distancia

- Considerar la longitud y la distancia como propiedades diferentes de otras que tenga el objeto (forma, color, …) - Aunque el objeto cambie de peso, color, … su longitud no varía

En lo referente a la distancia, el niño habrá de llegar a tres conclusiones…

1.

Conservación de la distancia entre dos objetos aunque se interponga un tercero

entre ellos 2.

Simetría de la distancia

𝑑𝐴,𝐵=𝑑(𝐵,𝐴)

3.

Desigualdad de la distancia: si un objeto se encuentra entre otros dos, la

distancia de cualquiera de ellos a este es menor que la distancia entre los dos primeros

𝑆𝑖𝐶𝑒𝑠𝑡á𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒𝐴𝑦𝐵,𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠𝑑𝐴,𝐶...