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PENSAMIENTO ALGEBRAICO...

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Tema 4. Pensamiento algebraico

Explicación

Las matemáticas son un lenguaje, y hay que saber sus modos de traducción para poder hacerlo de un lenguaje común a un lenguaje algebraico, y poder resolver los diferentes problemas que se te presentan día a día.

Lenguaje algebraico La parte más importante de la solución de un problema de aplicación es transformarlo en una ecuación, para esto debes entender las frases del enunciado y expresarlo en forma matemática Hay que tener presente que vas a utilizar letras para designar a las variables; y aunque generalmente usas x, se puede utilizar cualquier otra. También hay que prestar atención a las operaciones que están involucradas. A continuación se presenta la siguiente tabla (aquí), que te va a familiarizar con estos puntos mencionados. Aunque también es frecuente que el enunciado contenga más de una operación. Ahora se revisará la inversa y darás un enunciado a las siguientes expresiones algebraicas:

Las operaciones que has venido realizando con los números reales, las vas a utilizar también para expresiones algebraicas como:

Donde aparecen números y letras, las letras son variables que te permiten representar cambios de valor que pueden tener ciertas cantidades en un proceso de análisis. Una de las grandes ventajas de las matemáticas es que te permite resolver infinidad de problemas cotidianos y para acceder a estas herramientas y sus métodos de solución, es necesario que hagas una “traducción” del lenguaje común a un lenguaje simbólico como lo proporciona el álgebra. Por esta razón, es llevar un enunciado verbal a una expresión algebraica para su posterior solución. Ejemplos de enunciados o frases y su expresión simbólica:

Además de expresiones algebraicas es común que se empleen ecuaciones algebraicas, es decir, expresiones que se relacionan mediante una igualdad como:

Para trabajar con expresiones y ecuaciones algebraicas es necesario definir lo que entenderás por términos semejantes.

Cuando no aparezca ningún número acompañando a una variable o letra, supondrás que: a. x significa 1x. b. a significa 1a. c. -x significa -1x. De esta forma ya puedes definir los términos semejantes de una expresión como aquellos que tienen las mismas variables con los mismos exponentes, o bien, que sólo difieren en sus coeficientes.

Una expresión algebraica es una representación que se aplica a un conjunto de literales y números, que conforman una o más operaciones algebraicas. Las expresiones algebraicas se clasifican en monomios y polinomios.

Cualquier polinomio es una suma de términos de la forma axn donde a es una constante y n es un exponente entero no negativo. Los siguientes son ejemplos de polinomios, los cuales también reciben el nombre de monomio, binomio, trinomio, refiriéndose al número de términos que contiene:

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4.1 Operaciones básicas (suma, resta, multiplicación y división)

Suma y resta Una parte que suele ser un poco complicada en las matemáticas y como se pueden aplicar a la vida cotidiana son los polinomios; esto es debido a que cada vez éstas se hacen más complejas y desarrollarlas implica un grado mayor de domino y razonamiento; sin embargo, el uso de polinomios se extiende a cálculos de áreas y volúmenes de líquidos entre otras aplicaciones. Para simplificar una expresión se reducen o agrupan los términos semejantes, sumando los coeficientes como se ilustrará a continuación:

Si deseas simplificar una expresión que contiene sumas, restas y multiplicaciones, además de paréntesis, debes considerar las siguientes prioridades:

1. Aplicar la propiedad distributiva. 2. Reducir términos semejantes.

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Multiplicación y división

Ejemplo:

Expresiones entre cantidades relacionadas Usarás también las expresiones simbólicas o algebraicas para representar ecuaciones, esto es cuando está presente el signo de igualdad. ¿Cómo sería la traducción de “un número incrementado en 15% es 120”? La ecuación sería: x +0.15x =120. Traduce que “el producto de dos números consecutivos es 56”. Hay varias claves en este enunciado que necesitas identificar.   

La palabra producto te indica que hay que multiplicar. El significado de la palabra consecutivo. (El que le sigue). Y el “es” se utiliza para igualarlo mediante una ecuación.

De esta forma, designas a x como uno de los números y x+1 como su consecutivo. El producto sería x(x+1) y la ecuación viene de igualarlo a 56. x2 + x = 56

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4.2 Productos notables

Binomio al cuadrado y binomio conjugado Este producto notable es muy sencillo, pues te puedes aprender la regla fácilmente, la cual es:

La resta de binomios al cuadrado son exactamente igual que los binomios al cuadrado, incluso se puede utilizar el esquema de los paréntesis de colores, sólo que en lugar de sumar el doble por el producto del primer término por el segundo, éste se resta.

Practica con los siguientes ejercicios: Haz clic para revisar la información

Observa la siguiente figura y fíjate que el área es:

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Binomio al Cuadrado (2015, 21 de enero). Binomio Cuadrado [Archivo de video]. Recuperado de http://youtu.be/mZUTJ-P52y0

Binomio conjugado (diferencia de cuadrados) Si se tiene el binomio x+y, entonces x-y es su conjugado y viceversa.

La comprobación es:

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Binomio Congugado (2015, 21 de enero). Binomio Conjugado [Archivo de video]. Recuperado de http://youtu.be/6ZJL-rlMuQg

Binomios con término común y termino semejante Cuando se multiplican dos binomios que tienen un término común:

El resultado se obtiene del cuadrado del común, más la suma de los no comunes por el común, más el producto de los no comunes.

Para conocer algunos ejemplos haz clic en el botón

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Binomio con Término Común (2015, 21 de enero). Binomio con Término Común [Archivo de video]. Recuperado de http://youtu.be/c2M82QXRvqU

Binomios con término semejante Un producto de binomios con términos semejantes de la forma (ax +by) (mx+ny) da como resultado un trinomio, cuyos términos se determinan de la siguiente manera:



Paso 1

 

Paso 2 Paso 3

Se multiplican los primeros términos de los binomios dados. (ax * mx ) = amx2

Revisa los siguientes ejemplos:

Suma y diferencia de cubos Para este producto notable se tiene la siguiente regla:

Si en lugar de ser una suma, fuera una resta de binomios al cubo, el procedimiento es el mismo, sólo que se comienza con el primer término positivo y por cada término que se avance se intercambian signos (+,-,+,-). (a - b)3 = a3-3a2b + 3ab2 - b3 Ejemplo:

Triángulo de Pascal El triángulo de Pascal o pirámide de Pascal, es una representación de los coeficientes binomiales ordenados en forma triangular. El uso más común de este triángulo es que marca los coeficientes de los binomios elevados a la n potencia. La construcción de este triángulo es sencilla, se comienza escribiendo el número 1 en la punta del triángulo y en cada borde de la pirámide; los espacios vacíos se llenan sumando los dos números que se encuentran arriba, y así sucesivamente hasta los escalones que se quieran llenar. Cada escalón representa los coeficientes del producto de un binomio elevado a la n.

Utiliza los coeficientes del triángulo para comprobar la regla de un binomio al cubo.

Se indican los coeficientes que indica el triángulo y para los exponentes utilizas la siguiente regla. Resumiendo, los productos notables te ayudarán a realizar multiplicaciones de una manera más rápida y fácil. A continuación se te muestra una tabla con las fórmulas que acabas de aprender:

Producto notable

Resultado

Producto entre la suma de dos términos por su diferencia

Diferencia de cuadrados

(a + b) (a - b)

a2 - b2

Cuadrado de una suma

Trinomio cuadrado perfecto

(a + b)2

a2 + 2ab + b2

Cuadrado de una resta

Trinomio cuadrado perfecto

(a - b)2

a2 - 2ab + b2

Cubo de una suma (a + b)

3

a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3

Cubo de una resta a3 - 3a2 b + 3ab2 - b3 (a - b)

3

Producto de dos binomios

x2 + (a+b)x + ab

(x + a)(x + b)

Para que compruebes de forma rápida tus resultados con productos notables, utiliza la siguiente Calculadora.

Ejemplo: (x + y)2

4.3 Factorización Como ya mencionamos anteriormente, los términos de una multiplicación se llaman factores. Por ejemplo, en 2 • 5 = 10 los números 2 y 5 son sus factores. Y para la diferencia de cuadrados: x2 - y2 = (x+y) (x-y), sus factores son los binomios conjugados (x+y) y (x-y). En álgebra ocurre lo mismo, de modo que factorizar una expresión algebraica es reescribirla como el producto de sus factores.

Factor común y diferencia de cuadrados

Factorización por término común Para Cuéllar (2010), cada uno de los términos de un polinomio tiene un factor común, la ley distributiva de la multiplicación nos permite expresarlo como el producto de dos factores, de los cuales uno es el monomio factor común. Antes de continuar con la explicación sobre Factorización aprende sobre el máximo común divisor de los números. El Máximo Común Divisor (MCD) de dos o más números es el mayor de los divisores comunes; es decir, el número mayor que puede dividir a dos o más números. Para calcular el MCD de dos o más números, el método más sencillo e intuitivo consiste en calcular los divisores de cada número y, de los divisores comunes a dichos números, el mayor de ellos será su Máximo Común Divisor. Como se dijo en un principio, no todos los polinomios se pueden factorizar porque pueden ser polinomios primos; por ejemplo, 25x2+18y+4 no se puede factorizar porque no tienen un MCD. En cuanto a las variables, el MCD es la literal que compartan todos los términos, se factoriza sacándola del polinomio con el menor exponente posible. Se concluye entonces que los MCD numéricos y de las variables son el factor común, por lo que la representación algebraica de la factorización por término común es: ax+ay=a(x+y). Factor común: si en un polinomio cada uno de sus términos tiene un factor común, la factorización seráO el producto de dos factores, donde uno de ellos es el factor común.

Diferencia de cuadrados Esta factorización es de un binomio con términos cuadrados que se restan. Por ejemplo: a2-b2 16x2-9y2 Y tenemos la siguiente secuencia para obtener su factorización:   

Verifica que ambos sean cuadrados y obtén su raíz cuadrada, sin considerar el signo negativo del segundo término. Abre un par de paréntesis. Escribe las raíces de los términos cuadrados, y combínalos como binomios conjugados.

Habrá ocasiones en que se encuentren binomios de diferencia de cuadrados con la forma de término común, en estos casos factoriza de acuerdo al factor común y luego sigue los pasos anteriores.

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Relación factorización y producto notable Binomio Conjugado (2015, 21 de enero). Relación factorización y producto notable Binomio Conjugado [Archivo de video]. Recuperado de http://youtu.be/J6e07HLyOQI

Trinomio de la forma x2 + bx + c y de la forma ax2 + bx + c Un trinomio cuadrado es perfecto cuando es el producto de un binomio al cuadrado. Observa los siguientes dibujos de los cuadrados y fíjate que el área está expresada en dos formas diferentes, es exactamente la misma.

La factorización de un trinomio cuadrado perfecto se puede obtener de la siguiente manera:

Esto es posible factorizarlo así, siempre y cuando provenga de un binomio al cuadrado.

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Relación factorización y producto notable Binomio Cuadrado (2015, 21 de enero). Relación factorización y producto notable Binomio Cuadrado [Archivo de video]. Recuperado de http://youtu.be/jlMzqOppCSM

Trinomio de la forma x2+bx+c Las formas de trinomios x2 + bx + c y ax2 + bx + c no son cuadrados perfectos, por lo que su factorización es un poco más laboriosa, porque no tienen fórmula, pero no es complicada pues usa una regla y es: Factorización de la forma x2 + bx + c Procedimiento de la factorización:    

El coeficiente del primer término debe de ser 1. Se obtiene la raíz del primer término del polinomio, y se escribe como primer término dentro de los paréntesis. Busca dos números que sean factores de c y al mismo tiempo sumandos de b Observa los signos de b: a. Si el signo de b y c son positivos, ambos signos del segundo término de los binomios son positivos. b. Si el signo de b es negativo, pero el de c es positivo, entonces los signos del segundo término de los binomios son negativos. c. Si el signo de b y c son ambos negativos, entonces uno de los segundos términos, el que tenga el mayor valor absoluto es negativo y el otro positivo. d. Si el signo de b es positivo, pero el de c es negativo, entonces uno de los segundos términos, el que tenga el mayor valor absoluto es positivo y el otro negativo.

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Relación factorización y producto notable Binomio con Término Común (2015, 21 de enero). Relación factorización y producto notable Binomio con Término Común [Archivo de video]. Recuperado de http://youtu.be/fTO5JtYUBs8

Trinomio de la forma ax2 + bx + c Observa el siguiente ejemplo. Al factorizar 2x2 + 7x + 6 cada uno de los siguientes pares de factores tiene un producto de los primeros términos igual a 2x2, y un producto de los últimos términos que es igual a 6. Observa la tabla:

Trinomio

Factores posibles

Producto de los primeros términos

Producto de los últimos términos

2x2+7x+6

(2x+1)(x+6) (2x+2)(x+3) (2x+3)(x+2) (2x+6)(x+1)

2x(x) = 2x2 2x(x) = 2x2 2x(x) = 2x2 2x(x) = 2x2

1(6) = 6 2(3) = 6 3(2) = 6 6(1) = 6

Todas estas parejas de factores son posibles respuestas, pero solo una es correcta. La clave para seleccionar la adecuada está en el término con x, es decir, 7x. Si se agrega a los casos anteriores el término resultante de x, se desarrolla la multiplicación de dos binomios, por ejemplo la primera opción: (2x+1)(x+6) El término en x se obtiene de sumar la multiplicación de los términos exteriores: 2x • 6y el producto de los interiores : 1 • x, el cual resulta ser.

Trinomio

Factores posibles

Producto de los primeros términos

Producto de los últimos términos

Producto de los últimos términos

(2x+1)(x+6) (2x+2)(x+3) 2x2+7x+6 (2x+3)(x+2) (2x+6)(x+1)

2x2 2x2 2x2 2x2

6 6 6 6

2x•6+1•x = 13x 2x•3+2•x = 8x 2x•2+3•x = 7x 2x•1+6•x = 8x

Como puedes observar, la tercer opción marcada en amarillo coincide con el término de 7x en el trinomio que buscamos factorizar, Por lo tanto, nos queda 2x2 + 7x + 6 = (2x+3)(x+2). Como punto importante, al factorizar un binomio de la forma ax2 + bx + c debes considerar el signo de la constante c y el de bx. Si el signo de c es positivo: el signo de los dos factores debe ser el mismo e iguales al del término en x. Si la c es negativa: un factor tendrá signo positivo y el otro negativo. En resumen, se puede establecer la secuencia de pasos que daremos a continuación para factorizar un binomio de la forma ax2 + bx + c. 1. 2. 3. 4.

Determinar si existe algún factor común a los tres términos. Si es así, factorízalo. Escribe todas las parejas de factores del coeficiente del término cuadrado, a. Escribe todas las parejas de factores del término constante, c. Prueba varias combinaciones de estos factores hasta encontrar el término medio correcto, bx.

Haz clic aquí para revisar otro ejemplo.

Suma y diferencia de cubos Veamos las siguientes reglas para factorizar la suma y resta de cubos:

Ejemplos Factoriza: m3-27n3=(m-n)(m2+3mn+9n2 ) 2x3+16=2(x+2)(x2-2x+4) (y3-125)=(y-5)(y2+5y+25) Para que compruebes de forma rápida tus resultados en la factorización, utiliza la calculadora Symbolab.

4.4 Fracciones algebraicas 4.4.1 Simplificación de expresiones racionales

En este tema realizarás ejercicios con fracciones, pero con variables; a este tipo de ejercicios se les llama expresiones racionales o expresiones fraccionarias, las expresiones racionales son las mismas de operaciones básicas, pero en lugar de utilizar números enteros se usan fracciones; es decir, representaciones de a/b, pero con la característica de que tanto α como b en las expresiones racionales son binomios, polinomios simples o desarrollados. Expresiones fraccionales o Expresiones racionales Una expresión racional es una expresión de forma p/q donde p y q son polinomios y q≠0. Las expresiones racionales pueden ser sencillas o comunes como 4/5, pero cuando intervienen variables se necesita un desarrollo diferente para resolver, algunas expresiones racionales con variables en los numeradores o denominadores son por ejemplo:

Cuando tratamos los números y las fracciones usamos las operaciones básicas para simplificar a los números racionales, de la misma forma trabajaremos con fracciones que incluyen variables y que se conocen como expresiones racionales. Las siguientes son expresiones racionales:

El denominador de una expresión racional no puede ser igual a cero, ya que la división entre cero no está definida. Por esta razón siempre que tengamos una expresión racional con una variable en el denominador, supondremos que se excluye el valor o valores de la variable que hacen cero al denominador.

Identificar los valores a excluir se logra igualando el denominador a cero y despejando la variable de la ecuación resultante. En la expresión

Para entender los signos de una fracción, tenemos que tomar en cuenta que el signo de la fracción depende de la combinación de signos en el numerador y el denominador. Por ejemplo: que sigue la regla de los signos en general. Entenderemos que una fracción esta reducida a su máxima expresión, si el numerador y el denominador ya no tienen factores comunes.

La definición anterior quiere decir que se ha simplificado en su totalidad una expresión algebraica, cuando no existen factores comunes tanto en el numerador y en el denominador.

Para simplificar expresiones racionales   

Factorizar el numerador y el denominador tanto como sea posible, usando los métodos necesarios Sustituir el numerador y denominador con sus equivalentes factorizados Eliminar aquellos factores que estén tanto en el numerador y en el denominador

NOTA: para ir ejemplificando algunos pasos, en ocasiones se pondrá una marca sobre los factores a eliminar, y en otros se pondrá a colores para que identifiques cuáles son los elementos que se eliminan. En algunos casos para poder reducir a su mínima expresión una expresión racional es necesario factorizar al numerador, otras al denominador o ambos.

Haz clic en cada ejemplo para conocer su contenido

4.4.2 Multiplicación y división Multiplicación de expresiones racionales Recuerdas que en el Módulo 1 las multiplicaciones con fracciones comunes se usaba una fórmula algebraica:

Multiplicación de fracciones

Habías aprendido a multiplicar fracc...