Isoclinas - Ecuaciones diferenciales para ingeniería biotecnológica PDF

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Ecuaciones diferenciales para ingeniería biotecnológica...

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Isoclinas

Matemática aplicada para ingeniería biotecnológica

Ecuaciones diferenciales

Ingeniería biotecnológica 

ente puede ser difícil o casi imposible. Sin que se puede usar para aprender mucho ncial. Se trata de uno de los métodos para enciales de manera gráfica mediante la a de las ecuaciones diferenciales y sus soluciones; para ar las ecuaciones de la forma:

y=g(x ) . Geométricamente, en la ecuación se afirma ( x , y ) la pendiente (dy /dx ) de la solución en ese punto

ción

Esto puede indicarse si se traza un pequeño segmento punto (x , y ) con la pendiente f (x , y ) . La colección de todos esos segmentos rectilíneos se llama campo direccional de la ecuación diferencial. El campo direccional puede observarse si se trazan pequeños segmentos rectilíneos en algún conjunto representativo de puntos en el plano x , y . Se elige una rejilla rectangular de puntos. Una vez que se obtiene un esquema del campo direccional, a menudo es posible ver de inmediato el comportamiento cualitativo de las soluciones, o quizá observar regiones que tienen algún interés especial.

Isoclinas Las isóclinas son un método de representar una ecuación diferencial. Si es necesario trazar manualmente el campo direccional de la ecuación ‫ ݕ‬diferencial ' de la solución tiene valor y ' =f (x , y ) , es útil observar que la pendiente y constante en todos los puntos de la curva f ( x , y ) =c . Estas curvas se denominan

curvas isoclinas. Para ecuaciones relativamente simples es posible trazar el campo direccional dibujando unas cuantas isoclinas y luego insertar los segmentos rectilíneos tangentes a la solución en varios puntos de cada una. Cuando se hace variar el parámetro c , obtenemos un conjunto de isoclinas en los elementos lineales se constituyen adecuadamente. La totalidad de esos elementos lineales se llama de diversos modos: campo de direcciones, campo direccional, campo pendiente o campo de elementos lineales de la ecuación diferencial

dy =f (x , y) , el campo de direcciones dx

recuerda las “líneas de flujo” de la familia de curvas de solución de la ecuación diferencial de la cual obtenemos soluciones particulares como pueden ser los puntos (0,1), (2,3) etc.

dy =f ( x , y ) , donde la funcion f ( x , y ) está definida dentro dx de un conjunto D del plano xy se determina en cada punto ( x , y ) de D, el valor de y ' , o sea, la pendiente de la recta tangente a la curva integral en este punto. Luego, La ecuacion diferencial

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podemos interpretar la ecuacion diferencial anterior como un conjunto de pendientes llamado campo de direcciones. La terna de numeros

(x , y , y ' )

determina la direccion

de una recta que pasa por el punto (x , y ) . El conjunro de los segmentos de estas rectas es la representacion geometrica del campo de direcciones. El problema de resolver la ecuacion diferencial anterior puede entonces interpretarse como sigue: encontrar una curva cuya tangente en cada punto tenga la misma direccion que el campo en este punto. Para construir las curvas integrales introducimos las isoclinas. Se llama isoclina al lugar geometrico de los puntos en los que las rectas tangentes a las curvas integrales consideradas tienen una mksma direccion. La familia de las isoclinas de la ecuacion diferencial anterior viene dada por la condicion

f ( x , y ) =c , Donde c es una constante. Usando valores de c cercanos podemos dibujar una red bastante compacta de isoclinas, a partir de las cuales es posible trazar aproximadamente las curvas integrales de la ecuacion anterior.

Ejemplo 1. Mediante las isoclinas, trace aproximadamente las curvas integrales de la ecuacion diferencial

dy =x . dx

f ( x , y ) =x y las isoclinas estan dadas por la ecuación Solución: En este caso x=c , donde c es una constante. En consecuencia las isoclinas son rectas verticales. Para c=0 se obtiene la isoclina x=0 , el eje y . Este eje divide al plano en dos partes iguales, en cada una de las cuales la derivada y ' tiene un mismo signo. Las curvas integrales son decrecientes si x 0 , de modo que sobre esta recta se encuentran sus puntos mínimos. Las tangentes trazadas a las curvas integrales en los puntos de interseccion con las y , forman con el eje OX, ángulos de 45° y 135° isoclinas x=−1 x=1 respectivamente. El campo de direciiones se muestra en la siguiente figura:

Campo de direcciones.

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Además, derivando en

dy =x , dx

con respecto a

x,

se sigue que

y '' =1 . Por

consiguente y '' >0 para todo x y las curvas integrales son cóncavas hacia arriba. Tomando en cuenta lo anterior un esbozo de la familia de curvas integrales de la ecuacion anterior se muestra en la siguiente figura:

Curvas integrales.

Ejemplo 2. Represente el campo de direcciones e indique algunas curvas integrales de

dy −x = . dx y −x f (x , y )= y las isoclinas son rectas de la forma y

la ecuacion diferencial Solucion. Ahora

−x =c y

o bien

−x . c c=1 tenemos entonces la isoclina

y=

Si y=−x a lo largo de la cual la inclinaion de las tangentes a las curvas integrales es de 45°. Con c=−1 resulta la isoclina y=x sobre la cual las tangentes forman un angulo de 135! Con respecto al eje OX. Además, a partir de la ecuacio diferencial misma podemos concluir lo siguiente: las tangentes trazadas a las curvas integrales en los puntos de interseccion con el eje x ( y =0 ) y con el eje y (x=0) punto (0,0).

son verticales y horizontales respectivamente, con excepcion del

El campo de direcciones y algunas curvas integrales se muestran en la siguiente figura:

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Campo de direcciones y curvas integrales.

Ejemplo 3. Utilizando el campo de direcciones y las isoclinas determine aproximadamennte la curva integral de la solucion del problema de valor inicial

dy =x2 + y 2=c , dx

y ( 0) =1.

Solución. Tenemos que y las f ( x , y ) =x 2+ y 2 circunferencias con centro en el origen definidas por 2

isoclinas

f ( x , y ) =c

son

las

2

x + y =c ,c >0 Con los valores de

1 c= , c=1 y c=9 /4 4

resultan las circunferencias de radios 1/2, 1,

3/2 y 2, respectivamente, que se muestran en la figura que sigue. A los largo de cada una de ellas las pendientes de las tangentes a las curvas integrales e igual al valor particular de c .

Campo de direcciones e isoclinas.

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Examinando la figura anterior parece razonable que la grafica de la solucion del problema examinado tenga la forma de la siguiente figura. Cabe destacar el valor de este analisis en vista de que este problema no puede resolverse empleando técnicas elementales.

Solución del problema de valor inicial.

Ejemplo 4. Para la ecuación Cuya solución general es

'

y =− y−sen (x ) , sen ( x ) +cos(x ) +ce−x y= 2

El campo de direcciones se muestra en la figura siguiente, junto con la gráfica de cuatro miembros de la familia de soluciones (que llamamos curvas isoclinas.) Se puede apreciar que tres de las curvas convergen a una cuarta. Esta cuarta curva es la solución que se obtiene al poner c=0 , es decir

y=(sen ( x ) +

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cos ( x ) ) 2

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Ejemplo 5. En el caso de la ecuación

1 y= + ce−2 x 4

y ' = x −4 xy

la solución general es

2

Se ilustra el campo de direcciones y algunas curvas isóclinas:

c=1 y c=−1.5

En resumen, en la gráfica del campo de direcciones de una ecuación diferencial se pueden apreciar todas las soluciones de la ecuación dada. Por el teorema de existencia y unicidad, cada curva solución se determina, ya sea dándole un valor a la constante c o de forma equivalente, estipulando un punto (x 0 , y 0 ) del plano por donde pasa la solución.

Aplicaciones 1. Supóngase que se lanza una pelota de beisbol en línea recta hacia abajo desde un helicóptero suspendido a una altitud de 3000 ft. Nos preguntamos si alguien abajo pudiera cacharla. Para estimar la velocidad con la cual la bola llegará a tierra, puede usarse un sistema de álgebra en una computadora portátil para construir un campo de isoclinas de la ecuación diferencial

dv =32−0.16 v dt El resultado se muestra en la figura junto con varias curvas solución correspondientes a diferentes valores de la velocidad inicial v (0) con las cuales se podría lanzar la pelota hacia abajo. Nótese que todas estas curvas solución tienden asintóticamente a la línea horizontal v =200. Esto implica que «como quiera que sea lanzada» la bola de

béisbol

se acercará a la velocidad límite de v=200

[] ft s

en

lugar

de

acelerar

indefinidamente (como sería en ausencia de la resistencia del aire). Convirtiendo el resultado a millas por hora,

[ ] []

60 mi =88 ft h s

resulta:

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[] [ ] []

ft mi ∗60 s h mi v =200 ≈ 136.36 h ft 88 s

[ ]

Tal vez un “catcher” acostumbrado a bolas rápidas de 100 mi/h podría tener alguna oportunidad de capturar esta pelota.

2. Ecuación diferencial logística se utiliza frecuentemente para modelar una población P(t) donde sus habitantes, en un medio ambiente determinado, cuentan con una cuotalimitada M . Esto significa que M es la población máxima que ese medio ambiente puede sostener a la larga (por ejemplo, en términos del alimento máximo disponible).

dP =kP( M −P) dt Si tomamos k =0.0004

y

M =150 , entonces la ecuación logística toma la

forma:

dP =0.0004 P ( 150−P) =0.06 P−0.0004 P2 dt El término positivo 0.06 P en el lado derecho de la ecuación corresponde al crecimiento natural a una tasa anual de 6% (con tiempo t medido en años). representa la inhibición del crecimiento El término negativo −0.0004 P2 debido a una limitación de los recursos en ese medio ambiente.

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La figura muestra un campo de isoclinas para la ecuación junto con varias curvas solución correspondientes a los diferentes valores posibles de la población inicial P(0) . Nótese que todas estas curvas solución que aparecen tienen como P = 150. Esto implica que «para cualquier asíntota a la línea horizontal población inicial» la población P(t) se acercará a la población límite en conforme P=150 t → ∞ .

BIBLIOGRAFÍA Becerril, J. y Elizarraraz, D. (2004). Ecuaciones Diferenciales. Tecnicas de solución y aplicación (primera edición). Mexico, D. F.: Universidad Autónoma Metropolitana. http://www.uv.mx/personal/aherrera/files/2014/04/00a.-Isoclinas-y-Campo-deDirecciones.pdf

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