Isomorfismos álgebra lineal PDF

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ISOMORFISMOS I T :W ─ >V ∙∋∙ T ○ T = 1

Definición: Sean V|F, V|F, T ϵ LF (V, W). Se dice que “T es invertible” (o que tiene inversa), si Ǝ ‘

‘

‘

V

y T○ T = 1

W

. ‘

Teorema: Sea T ϵ LF (V, W) invertible. Entonces T es única. ‘’

‘

‘

‘

T = T ○1

W

‘’

‘’

‘’

Demostración: Suponga que T : W ─ >V Es tal que T ○T = 1 ‘

V

y T○T = 1 ‘’

‘’

= T ○ (T○T ) = (T ○T) ○T = 1

V

W.

─1

○T=1

V

y T○ T

─1

=1

‘’

‘’

○T =T .

Definición: Sea T invertible. Se define “la transformación inversa de T como T se tiene que T

’

p. d. T = T ─1

‘

= T . Entonces

W

Teorema: Sea T: V ─ >W lineal. Entonces T es invertible  T es isomorfismo. En este caso se dice que V y W son isomorfos. Notación: V ≅ W Demostración: Es bien sabido que en general, una función es invertible  es biyectiva.

Teorema: Sea T: V ─ >W lineal e invertible. Entonces ─1 ─1 a) T : W ─ > V es lineal. T es invertible. ─1 ─1 b) (T ) = T, es decir, invertible Demostración: ─1 a) p. d. T es lineal.

Sean 𝐰 1 , 𝐰  2 ϵ W, α ϵ F. T invertible => T es iso => T es epi y T es mono.

 2 . Es decir que,  1 y T(𝐯2) = 𝐰 Entonces, 𝐰 1 , 𝐰  2 ϵ W => Ǝ! 𝐯 𝟏 , 𝐯 𝟐 ϵ V ∙∋∙ T(𝐯1) = 𝐰 ─1 ─1 ─1 ─1 𝐯1 = T T(𝐯1) = T (𝐰  1) y 𝐯 2 = T T(𝐯2) = T (𝐰 2). Entonces, ─1 ─1 T (α𝐰 1 + 𝐰  2) = T (α T(𝐯1) + T(𝐯2)) = T ─ 1(T(α 𝐯1 + 𝐯2)) = (T ─ 1○T)(α 𝐯1 + 𝐯2)) = ─1 = 1W(α 𝐯 1 + 𝐯2)) = α 𝐯1 + 𝐯2 = = α T ─ 1(𝐰  1 ) + T (𝐰  2 ).

b) Si T es invertible, entonces (T ) : V ─ >W es ∙∋∙ (T ) ○ T =1W y ─1 ─1 ─1 ─1 ─1 ─1 ─1 T ○ (T ) =1V, pero también T ○T =1W y T ○T =1V, entonces por unicidad T = (T ) y por lo tanto T es invertible. ─1

─1 ─1

─1 ─1

─1

Teorema: Sean T ϵ LF (V, Z), U ϵ LF (Z, W) invertibles. Entonces (U○T) ϵ LF (V, W) es invertible y ─1 ─1 ─1 (U○T) = T ○U . Demostración: Se sabe que la composición de funciones biyectivas es biyectiva, entonces U○T es ─1 ─1 biyectiva y por lo tanto es invertible. Entonces, (U○T) ○(U○T) = 1 V y (U○T) ○ (U○T) = 1 W, pero ─1 ─1 ─1 ─1 ─1 ─1 también, (T ○ U ) ○(U○T) = T ○ (U ○U) ○T = T ○1 Z○T = T ○T = 1 V y análogamente. ─1 ─1 ─1 ─1 ─1 ─1 (U○T) ○ (T ○ U ) = U○ (T ○T ) ○ U = U○1 Z○U = U○U = 1 w. ─1 ─1 ─1 Por unicidad, (U○T) = T ○U . Ejemplo: Sea T: R ─> > P 3(R) ∙∋∙ T(a, b, c, d) = a + (a + b) x + (a + b + c) x + (a + b + c + d) x ─ Que T es lineal, se deja al lector. ─ Ahora, sea (a, b, c, d) ϵ ker T 4

2

3

2

3

2

Entonces 0 + 0 x + 0 x + 0 x = T (a, b, c, d) = a + (a + b) x + (a + b + c) x + (a + b + c + d) x

3

 a = b = c = d = 0. Es decir, ker T = {𝟎} => T es mono y como dimR R 4 = 4 = dimR P 3(R) => T es iso. => T es invertible => T tiene inversa. ¿Cuál es su inversa? Sea U: P 3(R) ─> R ∙∋∙ U (a + b x + c x + d x ) = (a, b ─ a, c ─ b, d ─ c). Entonces 2 3 (U○T) (a, b, c, d) = U (T (a, b, c, d)) = U (a + (a + b) x + (a + b + c) x + (a + b + c + d) x ) = = (a, (a + b) ─ a, (a + b + c) ─ (a + b), (a + b + c + d) ─ (a + b + c)) = (a, b, c, d). 4 Entonces (U○T) = 1 R . 2 3 También, (T○U) = T (U (a + b x + c x + d x )) = T (a, b ─ a, c ─ b, d ─ c) = 2 2 3 a + ((a + b) ─ a) x + ((a + b + c) ─ (a + b)) x + ((a + b + c + d) ─ (a + b + c)) = a + b x + c x + d x . 4

2

3

Es decir, (T○U) = 1 P 3(R). Entonces, por unicidad T Ahora, la pregunta es, ¿cómo se calcula T Sean β = {e1, e2, e3, e4} y β 𝟏 𝟎 𝛃’ Como A = [ 𝐓 ] 𝛃 = (𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏

‘

2

─1

= U.

─1

?

3

4

= {1, x, x , x } las bases canónicas de R y P 3(R) respectivamente. 𝟎 𝟎 𝟏 𝟎 𝟎 𝟎 𝛃 ’ 𝛃 ’ ─ 1 ─ 1 𝟎 𝟎) => A = ( [ 𝐓 ] 𝟎 𝟎) = [ 𝐓− 𝟏] 𝛃 = ( − 𝟏 𝟏 𝛃 ) 𝟎 −𝟏 𝟏 𝟎 𝟏 𝟎 𝟏 𝟏 𝟎 𝟎 −𝟏 𝟏

𝒂 𝒂 𝒃−𝒂 ─1 𝒃 ─1 Ahora, A ( 𝒄 ) = ( (a + b x + c x2 + d x3) = (a, b ─ a, c ─ b, d ─ c). 𝒄 − 𝒃), entonces T 𝒅 𝒅−𝒄

Pero entonces se deben demostrar varias cosas. Para empezar, se tiene la siguiente

Definición: Sea A ϵ 𝑴𝒏 ( 𝐅 ). A es invertible, si existe B ϵ 𝑴𝒏 ( 𝐅 ) ∙∋∙ AB = I n = BA. Teorema: Sea A ϵ 𝑴𝐧 ( 𝐅 ) invertible, entonces B es única.

Demostración: Sea C ϵ 𝑴𝒏 ( 𝐅 ) ∙∋∙ AC = I n = CA. Entonces

C = C I n = C (AB) = (CA) B = I n B = B ─1

Si A es invertible, entonces la inversa de A es: A

= B.

Teorema: Sean V|F , W|F dimensionalmente finitos con bases ordenadas β y β’ respectivamente. Sea T ϵ LF (V, W). Entonces T es invertible  [ 𝐓 ] 𝛃 es invertible. En este caso 𝛃’

𝛃 𝛃 [𝐓 − 𝟏 ]𝛃 = ([ 𝐓 ] 𝛃 ) − 𝟏. ′

′

Demostración: =>) Suponga que T es invertible => T es mono, entonces T(β) ≤F W es linealmente Entonces [ 𝐓 ] 𝛃 ϵ 𝑴𝒏 ( 𝐅 ). Ahora, como T

independiente. Como T es epi. => < T(β) > = Im T = W => T(β) es base de W => dimF V = dimF W. 𝛃’

Análogamente Entonces

─1

○T=1

V

y T○ T

─1

=1

𝜷 𝜷 𝐈 𝐧 = [𝐈 𝐕 ] 𝛃 = [ T ─ 1○T ] β = [𝑻 − 𝟏] 𝜷′ [𝑻] 𝜷

[𝐓] 𝛃𝛃 [ 𝐓− 𝟏] 𝛃𝛃′ = 𝐈 𝐧 ′

𝛃 [𝐓 − 𝟏]𝛃 = ([ 𝐓 ] 𝛃 ) − 𝟏. ′

𝛃′

′

W,

entonces

𝛃’

es invertible. Entonces V ∙∋∙ 𝒏 . U (𝐰  𝐣 ) = ∑ 𝐢=𝟏 𝐁 𝐢 𝐣 𝐯 𝐢 , j = 1, …′ , n. Entonces B = [𝐔] 𝛃′ ′ 𝛃 𝛃 𝛃 𝛃 p. d. U = 𝐓 − 𝟏 Como [𝐔] 𝛃′ [ 𝐓 ] 𝛃 = BA = I n = [𝐈 𝐕 ] 𝛃 y [ 𝐓 ] 𝛃 [𝐔] 𝛃′ = AB = I n =[𝐈 𝐖 ] 𝛃 ′ (teorema anterior) => U○T = 1

V

y T○U = 1

W

,entonces por unicidad, U = 𝐓 − 𝟏 y [𝐔] 𝛃𝛃′ = [ 𝐓 − 𝟏] 𝛃𝛃′ .

Con estos resultados se justifica lo hecho en el ejemplo anterior. Corolario: Si dimF V, dimF W finitas, T ϵ LF (V, W), entonces dimF V = dimF W. Demostración: En la “necesidad” del teorema anterior. Corolario: Si dimF V finita, con una base ordenada β, T ϵ LF (V), entonces T es invertible  [𝐓] 𝛃 lo

es y ([𝐓] 𝛃)

─1

= [𝐓 − 𝟏 ] 𝛃 .

Teorema: Sea A ϵ 𝑴𝒏 ( 𝐅 ) .Entonces A es invertible  L A es invertible y (L A) Demostración: =>) A invertible => Ǝ! B ϵ 𝑴𝒏 ( 𝐅 ) ∙∋∙ AB = I n = BA.

─1

─1

=LA .

‫װ‬ ‫װ‬ ‫װ‬ => (𝐋𝐀 ) = 𝐋𝐁 L A○ L B = 1V = L B○L A Entonces L A es invertible. n Pero también L A A─ 1 = 1F = LA─ 1 A ‫װ‬ ‫װ‬ ─1 ─1 LA ○ L A L A○LA ─1 ─1 Por unicidad, (L A) =LA . n n ─1 n n F es invertible => Ǝ ! (𝐋𝐀 ) : F ─> F ∙∋∙ ─1 ─1 (L A) ○ L A = 1 Fn = L A ○ (L A) ‫װ‬ ‫װ‬ ‫װ‬

 L AB = L In = L BA

─1

LA ─ 1○ L A = L1Fn = L A○LA─ 1

‫װ‬ LA─ 1A

‫װ‬ 1F n

‫װ‬ LAA─ 1

 A─ 1A = I n = A A─ 1 Es decir, A es invertible

Teorema: Sean V|F , W|F. Entonces V ≅ W  dimF V = dimF W Demostración: =>) Corolario anterior

Ǝ! T ϵ LF (V, W) ∙∋∙ T ( 𝐯 i)=𝒘 ’

Teo. anterior => T es mono => T es iso, es decir, V ≅ W .

Teo. anterior => Im T = < T (β) > = < β > = W, entonces T es epi.

n Demostración: Obvia. Corolario: Sea V| F. Entonces V ≅ F  dimF V = n

un F . Es decir, que cualquier vector 𝐯  ϵ V se puede ver como una n-ada-

Vamos, la moraleja es que cualquier espacio V|F, de dimensión finita, se puede trabajar como n

Teorema: Sean V|F , W|F ∙∋∙ dimF V = n, dimF W = m. Sean β y β’ bases ordenadas de V y W

respectivamente. Entonces el mapeo φ: LF (V, W) ─> 𝑴𝒎𝒙𝒏 ( 𝐅 ) ∙∋∙

Φ(T) = [ 𝐓 ] 𝛃 , con T ϵ LF (V, W), es un isomorfismo. 𝛃’

′ ′ Demostración: Por Teo. anterior, 𝛂 [ 𝐓 ] 𝛃 + [ 𝐓 ] 𝛃 = [ 𝛂𝐓 + 𝐓 ] 𝛃 = φ(αT + T ), 𝛃′

𝛃′

’

𝛃′

’

Ɐ T, T ϵ LF (V, W) y α ϵ F. Esto es que φ es lineal. Ahora, p. d. que para cada A ϵ 𝑴𝒎𝒙𝒏 ( 𝐅 ) Ǝ! T ϵ LF (V, W) ∙∋∙ Φ (T) = A. 𝒘 𝒏 } bases ordenadas de V y W respectivamente. 𝟏 , ⋯ ,  Sean β = { 𝒗 𝟏 , ⋯ , 𝒗 𝒏 } y β’ = {𝒘 𝐢 Sea A ϵ 𝑴𝒎𝒙𝒏 ( 𝐅 ). Por Teo. anterior, Ǝ! T ϵ LF (V, W) ∙∋∙ T (𝐯  j) = ∑𝐦 𝐢=𝟏 𝐚 𝐢 𝐣𝐰 Entonces [ 𝐓 ] 𝛃 = A. Es decir, φ es un isomorfismo. para cada j = 1, … , n. 𝛃’

Corolario: Sean V|F , W|F ∙∋∙ dimF V = n, dimF W = m. Entonces dimF LF (V, W) = nm. Demostración: Inmediata del Teorema anterior.

Corolario: Sea V|F ∙∋∙ dimF V = n. Entonces dimF LF (V) = n. Demostración: Inmediata del Corolario anterior.

Definición: Sea V|F ∙∋∙ dimF V = n, con β base ordenada. Se define “la representación estándar

de V con respecto a β” como la función φβ: V ─> F ∙∋∙ φβ (𝐯 ) = [𝐯] β , Ɐ 𝐯 ϵ V (remember: [𝐯] β es el vector coordenado de 𝐯 relativo a β) n

Se demostró, hace mucho, el siguiente Teorema: Sea V|F, con dimF V = n y β base ordenada. Entonces φβ es un isomorfismo.

Teorema: Sean V|F , W|F ∙∋∙ dimF V = n, dimF W = m. Sean β y β’ bases ordenadas de V y W

respectivamente. Sea A = [ 𝐓 ] 𝛃 . Entonces LA○φβ = φβ ○T. Es decir, el siguiente diagrama es 𝛃’

’

conmutativo:

’

β T β V ----------------------------------------> W

φβ’

φβ n

F

LA

m

F

Demostración: Sea 𝐯  ϵ V. Entonces 𝛃’ ’ ’ ’ (LA○φβ)( 𝐯 ) = LA (φβ( 𝐯’ )) = LA ([𝐯] β) = A[𝐯] β = [ 𝐓 ] 𝛃 [𝐯] β = [𝐓 (𝐯)] β = φβ (T(𝐯)) =(φβ ○T)( 𝐯) Entonces LA○ φβ = φβ ○T.

Ejemplo: Sea D: P3(R) ─> P2(R) ∙∋∙ D(f) = f ’. Sean β = {1, x, x , x } y β’ = {1, x, x } las bases 2

3

2

𝟎 𝟏 𝟎 A=[𝐃] 𝟐 𝟎). Ahora, las representaciones estándar de P3(R) y P2(R) son: = (𝟎 𝟎 𝟑 4 ’ 𝟎 𝟎 𝟎 φβ: P3(R) ─> R y φβ : P2(R) ─> R3. Sea f(x) = ─ 3 + 2x ─ x2 + 4x3. ’ p. d. (LA○ φβ) (f) = (φβ ○D) (f) canónicas ordenadas de P3(R) y P2(R) respectivamente. Entonces 𝛃’ 𝛃

𝟐 2 ’ Como D(f(x)) = 2 ─ 2x + 12x , entonces (φβ ○D) (f) = (− 𝟐 ) y 𝟏𝟐 −𝟑 −𝟑 𝟎 𝟏 𝟎 𝟎 𝟐 𝟐 ’ 𝟐 ) = ( 𝟎 𝟎 𝟐 𝟎) ( (LA○ φβ) (f) = LA ( ) = ( − 𝟐), entonces LA○ φβ = φβ ○D. −𝟏 −𝟏 𝟏𝟐 𝟎 𝟎 𝟎 𝟑 𝟒 𝟒...