Juegos Estáticos CON Información Completa I PDF

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Trabajo grupal de juegos estadísticos con informacíon completa ...

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AÑO DEL BUEN SERVICIO AL CIUDADANO”

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO

TEORIA DE JUEGOS TEMA: JUEGOS ESTÁTICOS CON INFORMACION COMPLETA I PROFESOR: RIGOBERTO OLAYA RIGOBERTO FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS GH: 01E CICLO: CUARTO

2017

TEORÍA DE JUEGOS En el lenguaje ordinario, la palabra juego hace referencia a divertimento y también a actividad en que los participantes, sometidos a reglas que hay que cumplir, intentan ganar, pero pueden perder. En estos juegos, cada jugador intenta conseguir el mejor resultado posible (maximizar su utilidad), pero teniendo en cuenta que el resultado del juego no depende sólo de sus acciones, sino también de las acciones de los otros jugadores. El objetivo es tomar las decisiones que más convengan para ganar, teniendo que cumplir las reglas del juego, y sabiendo que los demás jugadores también influyen en los resultados con sus decisiones. Aunque la teoría de juegos no se interesa especialmente por los juegos corrientes, sí los usa como ejemplos aclaratorios y toma de ellos gran parte de su terminología.

El campo de estudio de la teoría de juegos es muy general. No es preciso que haya entretenimiento, pero sí interacción. Aunque las aplicaciones mejor estudiadas de la teoría de juegos suponen que los jugadores son agentes (personas, empresas, gobiernos, etc.) racionales (su capacidad de razonamiento y de cálculo para identificar las acciones y estrategias que les conducen a resultados más deseables, es infinita), en otros casos los jugadores no necesitan ser personas ni grupos de personas (pueden incluso ser programas de computador o minúsculos seres vivos), y tampoco necesitan ser racionales. En economía se estudian a menudo situaciones de decisión individual, en las que el agente intenta maximizar su utilidad, sin importar lo que hagan otros. Podríamos tomar en consideración estos ejemplos: -Elección de cantidades de cada bien a comprar por parte de un consumidor. -Elección de cantidades de un bien a producir por parte de una empresa precio aceptante.

-Elección del precio de un bien por un monopolista Sin embargo, hay muchas otras situaciones en que la utilidad del resultado final no depende sólo de la acción del agente, sino también de las acciones de otros agentes. a) Elección por la empresa A de la cantidad a producir de un bien o del precio de dicho bien, si también lo produce la empresa B, y ninguna más (duopolio). Los resultados finales para la empresa A dependen no sólo de sus propias decisiones, sino también de las decisiones de la empresa B. b) Elección por una empresa de automóviles de un nivel de gasto en publicidad. Las consecuencias finales de dicho gasto dependen del gasto realizado en publicidad por las empresas competidoras. c) Elección por un coleccionista de su puja (cantidad de dinero que ofrece) en la subasta de un cuadro. Los resultados (consigue o no que le adjudiquen el cuadro subastado) dependen también de la puja de los otros participantes. Incluso ocurre a menudo que el planteamiento según el cual no importa lo que hagan otros agentes, es una simplificación de la realidad. Si quisiéramos tomar en cuenta los tipos de juegos deberíamos dos tipos básicos de juegos, o dicho de otro modo, dos enfoques básicos en el análisis de un juego, cooperativos y no cooperativos. En el enfoque cooperativo se analizan las posibilidades de que algunos o todos los jugadores lleguen a un acuerdo sobre qué decisiones va a tomar cada uno, mientras que en el enfoque no cooperativo se analiza qué decisiones tomaría cada jugador en ausencia de acuerdo previo. Entre los juegos no cooperativos cabe hacer dos distinciones básicas, juegos estáticos o dinámicos, y juegos con o sin información completa. En los juegos estáticos los jugadores toman sus decisiones simultáneamente (o dicho de manera más precisa, cada jugador decide sin saber qué han decidido los otros), mientras que en los dinámicos puede darse el caso de que un jugador conozca ya las decisiones de otro antes de decidir. En los juegos con información completa, todos los jugadores conocen las consecuencias, para sí mismos y para los demás, del conjunto de decisiones tomadas, mientras que en los juegos con información incompleta, algún jugador desconoce alguna de esas consecuencias. TERMINOLOGÍA BÁSICA Aunque posteriormente se presentará y se explicará con más detalle cada uno de los términos, a continuación damos una primera definición de la terminología básica que se utiliza habitualmente en Teoría de Juegos. Jugadores Son los participantes en el juego que toman decisiones con el fin de maximizar su utilidad. Son dos o más. Acciones de cada jugador Son las decisiones que puede tomar cada jugador en cada momento en que le toque jugar.El conjunto de acciones de un jugador en cada momento del juego puede ser finito o infinito.

Resultados del juego Son los distintos modos en que puede concluir un juego. Cada resultado lleva aparejadas unas consecuencias para cada jugador. Pagos Cada jugador recibe un pago al acabar el juego, que depende de cuál haya sido el resultado del juego. El significado de dicho pago es la utilidad que cada jugador atribuye a dicho resultado, es decir, la valoración que para el jugador tienen las consecuencias de alcanzar un determinado resultado en el juego. Estrategias- Perfiles de estrategias Una estrategia de un jugador es un plan completo de acciones con las que éste podría proponerse participar en dicho juego. Un perfil de estrategias es un conjunto de estrategias, una por cada jugador. Forma estratégica y forma extensiva Son formas de describir un juego. Ambas especifican los jugadores, las acciones y los pagos. La forma estratégica (o forma normal) organiza la descripción en forma rectangular, centrando su énfasis en las estrategias de los jugadores (como si éstos fueran capaces de tomar todas sus decisiones de una vez), mientras que la forma extensiva lo hace en forma de árbol, resaltando la secuencia del juego, es decir, la manera en que se desarrollan o podrían desarrollarse las acciones de los jugadores para alcanzar los posibles resultados del juego.

JUEGOS ESTÁTICOS CON INFORMACIÓN COMPLETA I Ejemplo: Dilema de los prisioneros Dos delincuentes habituales son apresados cuando acaban de cometer un delito grave. No hay prueba clara contra ellos, pero sí indicios fuertes de dicho delito y además hay pruebas de un delito menor. Son interrogados simultáneamente en habitaciones separadas. Ambos saben que si los dos se callas serán absueltos del delito principal por falta de pruebas, pero condenados por el delito menor (1 año de cárcel), si ambos confiesan, serán condenados por el principal pero se les rebajara un poco la pena por confesar (4 años), y finalmente, si sólo uno confiesa, él se librará de penas y al otro se le dará 5 años de cárcel. Se representa de la siguiente forma: PRESO 2 CALLAR

CONFESAR

CALLAR

-1, -1

-5, 0

CONFESAR

0, -5

-4, -4

PRESO 1

Teniendo en cuenta el significado de los pagos, y en particular que son interpretables como utilidades y representables mediante una escala cardinal-intervalo, podemos aplicar a la escala de pagos de cada jugador una trasformación afín positiva. Por ejemplo, sumemos 5 unidades a todos los pagos del juego.

Dilema de los prisioneros (escala estándar)

PRESO 2 CALLAR

CONFESAR

CALLAR

4, 4

0, 5

CONFESAR

5, 0

1, 1

PRESO 1

Para este juego, los conjuntos de jugadores y estrategias, y las funciones de pagos son:

J = { 1,2}

S 1=S2={Callar , Confesar } Utilidades del jugador 1:

u1 ( Callar ,Callar )=4 u1 ( Callar ,Confesar )=0 u1 ( Confesar ,Callar )=5 u1 ( Confesar ,Confesar )=1 Utilidades del jugador 2:

u2 ( Callar ,Callar )=4 u2 ( Callar ,Confesar )=5 u2 ( Confesar ,Callar )=0 u2 ( Confesar ,Confesar )=1 Dilema de los prisioneros (forma extensiva) ESTRATEGIAS DOMINADAS, ESTRATEGIAS DOMINANTES Y ESTRATEGIAS

ESTRICTAMENTE DOMINANTES

Es intuitivo pensar, que una estrategia de un jugador puede ser mejor frente a otras, independientemente las estrategias que empleen los jugadores contrincantes, ya que le representa con mayores pagos, a esto se le puede interpretar de la siguiente manera, según algunos autores: “En el juego G= { S 1 , … , S n ;u 1 , … , un} , sea s ´ i a) Decimos que s ´ i

una estrategia del jugador

i .

es dominante cuando la desigualdad

ui ( s 1 , … , si−1 , si , s i+1 , … , s n) ≤ ui ( s 1 ,…, si−1 , s ´ i , s i+1 , … , s n) Se cumple para toda estrategia estrategias

s−i

s i de dicho jugador y para toda toda combinación de

de los otros jugadores.

(Es decir, siempre le conviene usar la estrategia otra, hagan lo que hagan los jugadores.)

s ´i

al menos tanto como cualquier

b) Si todas las desigualdades se cumplen de manera estricta (para s ´ i es estrictamente dominante. “

s i ≠ s ´i

decimos que

Joaquin Perez, José Luis Jimena & Emilio Cerdá: “Teoría de juegos” (p.69)

G= { S 1 , … , S n ;u 1 , … , un } , sean s ´ i y s ´´ i posibles estrategias del jugador i (por ejemplo, s ´ i y s ´´ i son elementos de S i ). La s ´ ´ i si para cada estrategia s ´ i está estrictamente dominada por la estrategia combinación posible de las estrategias de los restantes jugadores la ganancia de i por utilizar s ´ i es estrictamente menor que la ganancia de i por utilizar s ´´ i : “En el juego en forma normal

ui ( s 1 , … , si−1 , s ´ i , s i+1 , … , s n) < ui ( s 1 , … , s i−1 , s ´ ´ i , si +1 ,… , sn)

Para cada

( s1 , … , si−1 , s i+1 , … , sn )

estrategias de los otros jugadores

que puede ser construida a partir de los espacios de

S 1 ,… , Si−1 , S+1 … . , S n .” Robert Gibbons: “Un primer curso de Teoría de Juegos” (p.5)

Estos supuestos, se basan principalmente en que: 1. Nadie juega estrategias estrictamente dominada: porque sin importar lo que otros hagan, le va a ir peor que con otra estrategia. 2. Cada jugador confía en la racionalidad de los demás. Entonces confía en que no jugarán las estrategias estrictamente dominadas. Siendo evidente que para cada jugador una estrategia reporta mayores pagos para sí mismo, que otra estrategia. Llevándolos a maximizar sus pagos o ganancias por medio de su racionalidad. Para una mejor comprensión de supuestos para estrategias dominantes, analicemos los siguientes ejemplos:

Ejemplo 1: Batalla de los sexos Dos enamorados se citan para salir a divertirse después del trabajo, si bien no se han decidido entre ir al cine o ir al fútbol, que comienzan a la misma hora. Llegada a la hora de salir, no pueden comunicarse entre ellos, de modo que cada uno se ve obligado a ir directamente a un lugar, cine o fútbol, y a esperar que la decisión del otro sea la misma. Ambos prefieren ir juntos al sitio que ir solos cada uno a un sitio, aunque el jugador 1 preferiría que ese lugar fuese el fútbol y la jugadora 2 desearía que fuese el cine. Su gráfica quedaría manera con sus pagos:

representación de la siguiente respectivos

Jugador 2 CINE

FÚTBOL

CINE

1,2

0, 0

FÚTBOL

0, 0

2, 1

Jugador 1

Se observa que para el jugador 1:

u1 ( cine , cine )=1>0=u1( cine , fútbol ) , y u1 ( fútbol ,cine )=00=u2 (fútbol , cine ) , y u2 ( cine , fútbol )=01, por lo que eliminamos la estrategia X. Jugador nro.

Jugador nro. 2

X

Y

Z

A

1,0

0,1

2,-1

B

0,0

2,4

4,3

C

2,1

1,0

3,2

Ahora, ambos jugadores cuentan con dos posibles estrategias, y la estrategia C está dominada por la estrategia B para el jugador nº 1:

Jugador nro. 2

Jugador nro.

Finalmente, el jugador nº 1 solo tiene la estrategia B, mientras que el jugador nº 2 puede optar por Y o Z. lógicamente, elegirá Y pues su pago (4) es mayor que el correspondiente a Z (3).

Jugador nro. 2

Jugador nro.

El

X

Y

Z

A

1,0

0,1

2,-1

B

0,0

2,4

4,3

C

2,1

1,0

3,2

equilibrio del juego sería, por tanto, la combinación de estrategias (B, Y)

ELIMINACIÓN ITERATIVA DEBIL (EID)

G={S 1, ... , Sn ; u1, ... ,un } , llamamos Eliminación Dado un juego finito o infinito Iterativa Débil, o bien Eliminación Iterativa de Estrategias Débilmente Dominadas, y lo denotamos abreviadamente por EID, al proceso de eliminación siguiente:

M

N

O

A

1,3,0

-1,2,3

-1,0,-2

B

2,1,1

4,3,1

0,0,1

M

N

A

0,2,-1

4,3,2

B

2,-2,5

5,5,2

O 1,2,0 4,6,4

Primer paso. De cada uno de los jugadores, y a la vez, se eliminan todas las estrategias que estén débilmente dominadas en el juego inicial G. Se construye el juego reducido G1 que resulta de tal eliminación. Segundo paso. De cada uno de los jugadores, y a la vez, se eliminan todas las estrategias que estén débilmente dominadas en el juego reducido G 1. Se construye el juego reducido G2 que resulta de tal eliminación. Y así sucesivamente. Se acaba el proceso cuando ya no quedan, para ningún jugador i, S estrategias que eliminar. Denotamos S i al conjunto de las estrategias supervivientes del jugador i, y las llamamos estrategias iterativamente no dominadas. Como anteriormente, llamaremos estándar a este algoritmo de eliminación, que es quizá el más natural de la amplia familia de algoritmos posibles. Desgraciadamente, y al contrario de lo que ocurre para los algoritmos de eliminación estricta, ahora el resultado final del proceso de eliminación sí depende del algoritmo utilizado, es decir, del orden y modo en que se han ido seleccionando las estrategias a eliminar.

EJERCICIO Resolver mediante la eliminación iterativa débil, el siguiente juego: Jugador nro.

Jugador nro. 2

X

Y Jugador nro. 3

M

N

O

A

1,3,0

-1,2,3

-1,0,-2

B

2,1,1

4,1,3

0,0,1

M

N

A

0,2,-1

4,3,2

B

2,-2,5

5,5,2

O 1,2,0 4,6,4

SOLUCIÓN En el proceso de eliminación iterativa estricta EIE, se elimina A de J1 (dominada estrictamente por B) en la primera etapa y se acaba el proceso. Jugador nro.

Jugador nro. 2

En el proceso de eliminación iterativa débil EID, se elimina A de J1 (dominada estrictamente por B) en la primera etapa, se elimina M de J2 (dominada débilmente por N) en la segunda etapa, y se acaba el proceso. Jugador nro.

A

M

N

O

1,3,0

-1,2,3

-1,0,-2

Jugador nro. 2

gad A

M

N

0,2,-1

4,3,2

O 1,2,0 r nro. 3

B

2,1,1

En conclusión, S IED y SIED

4,1,3

0,0,1

B

2,-2,5

5,5,2

4,6,4

¿ { (B , M , X ), ( B , M ,Y ) , (B , N , X ) , ( B , N ,Y ) , ( B ,O , X ) , ( B , O ,Y ) }

¿ {( B , N , X ) , (B ,O , X ) , (B , N ,Y ) , ( B ,O , Y )}

EL EQUILIBRIO DE NASH Este es quizá el más importante concepto de solución. Según él, lo razonable es esperar que los jugadores jueguen un perfil de estrategias que constituya un equilibrio de Nash, tal Procedemos .Por tanto, a realizar un análisis de equilibrio. Dicho análisis nos proporciona el concepto de equilibrio de Nash como condición necesaria (y en algunos casos también suficientes) para que un perfil de estrategias sea la solución del juego, es decir, una predicción válida sobre el comportamiento de jugadores racionales. Como se define a continuación: En el juego G={S1, ..., Sn; u1, ..., un}, decimos que el perfil de estrategias puras (s*1 , s*2 , ..., s*i , ..., s*n) es un Equilibrio de Nash (EN) si para cada jugador i, ui(s*1 , ..., s*i.1, s*i , s*i!1, ..., s*n ) ≥ ui(s*1 , ..., s*i.1, si, s*i!1, ..., s*n ) para todo si de S i. Es decir, para cada jugador i, s*i es una solución del problema max ui(s*1 , ..., s*i.1, si, s*i!1, ..., s*n ) donde si es la variable de decisión y pertenece a Si. O dicho de otro modo, para cada jugador i, s*i es una respuesta óptima a s*.i.

A cada conjunto de estrategias denominado con frecuencia combinación de estrategias, que es una por jugador, se le asocia una salida del juego, caracterizada por las ganancias expresadas en forma de números que le toca a cada uno. Entre estas salidas puede haber unas más “interesantes” que otras, por ejemplo las que “reportan más”. Sin embargo, cono regla general, la mayoría de las salidas, si no la totalidad, no son comparables entre ellas en el sentido que el paso de una a otra se traduce en un aumento de ganancias para unos y una baja para otros. No se puede pues aplicar el criterio de Pareto y, con mayor razón, no se puede decir que una de ellas es “superior” a todas las otras, según este criterio, salvo un caso muy particular. Frente a la ausencia de una clasificación de las salidas que logre la unanimidad de los participantes, los teóricos de juegos adoptan un punto de vista más limitado, que se puede calificar de “local” en el sentido de estudiar separadamente cada una de las salidas y las combinaciones de estrategias de las cuales ellas son el resultado; se le acuerda un estatuto privilegiado a las que son de “equilibrio”, esto es a las que los individuos, tomados uno a uno no tienen interés en desechar -es típico de una situación en la cual “nada se mueve”-. Porque el matemático John Nash estableció un importante resultado en 1950 sobre la existencia de situaciones de este tipo, se habla entonces de la existencia de equilibrios de Nash. El equilibrio de Nash ocupa un lugar central en la teoría de juegos; constituye de alguna manera una condición mínima de racionalidad individual ya que, si una combinación de estrategias no es un equilibrio de Nash, existe al menos un jugador que puede aumentar sus ganancias cambiando de estrategia, y en consecuencia, ésta se puede considerar difícilmente como una “solución” del modelo en la medida en que el jugador interesado en cambiar descarta su elección, después de conocer la de los otros.

OLIGOPOLISTAS FIJADORES DE CANTIDADES Para analizar el equilibrio de este mercado comenzamos por agregar supuestos adicionales:

   

Hay dos empresas en la industria (duopolio) Esta completamente bloqueada la entrada de nuevas empresas Las empresas producen productos homogéneos La empresa tiene costos marginales constantes idénticos. (solo para simplificar)

a. El modelo de Cournot: El modelo mas sencillo de equilibrio de oligopolista fijador de cantidades fue desarrollado por Augustin Cournot en 1838. Las dos empresas producen bienes homogéneos y conocen la curva de demanda del mercado. Cada uno debe decidir la cantidad que va a producir y las dos toman la decisión al mismo tiempo. La esencia de este modelo radica en que cada empresa considera fijo el nivel de producción de su competidor, y decide entonces que cantidad va a producir. En este sentido el equilibrio de Cournot es el conjunto ...