Klausur 27 Juni 2016, Fragen PDF

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Altklausur vom Prof, ohne Antworten gut zum Lernen...

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Klausur

Mathematik 2

Media Systems

Bitte tragen Sie zun¨achst in Druckschrift Ihren Namen und Ihre Matrikelnummer ein. Benutzen Sie die zusammengehefteten Aufgabenzettel f¨ur Ihre L¨osungen und schreiben Sie falls n¨otig auf den R¨uckseiten. Wenn Sie um Begr¨undungen gebeten werden, schreiben Sie diese bitte in ganzen S¨atzen auf. Andere Zettel, die ggf. von Ihnen abgegeben werden, werden nicht bewertet! Als Hilfsmittel sind eigenh¨ andig angefertigte handschriftliche Notizen erlaubt, und zwar maximal vier Seiten DIN A4, d.h. zwei Bl¨atter, die beidseitig beschrieben sind. Nicht erlaubt sind elektronische Ger¨ate jeglicher Art – Taschenrechner, Computer, Tablet-PCs, aber auch Mobiltelefone, MP3-Player, Spielekonsolen, usw. Nicht erlaubt sind außerdem gedruckte oder kopierte Unterlagen, insbesondere B¨ucher. ¨ Uberpr¨ ufen Sie, dass Sie insgesamt 10 Seiten mit 13 Aufgaben bekommen haben! Um die Note 1,0 zu erreichen, m¨ussen Sie lediglich 10 Aufgaben komplett l¨osen.

Name:

Vorname:

Matrikelnummer:

Aufgabe:

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Punkte:

13

Σ

Max 26

Aufgabe 1. Kreuzen Sie von den folgenden Aussagen die an, die wahr sind:  3n4 + 5n ∈ O(n3 )  2 · 3n ∈ O(2n )

 n · 2n ∈ O(2n ) Pn  k=0 k ∈ O(n)  n! ∈ O(n2 )



42(n4 −1) n2 +1

∈ O(n)

 Keine der obigen Aussagen ist wahr. Prof. Dr. Edmund Weitz

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Aufgabe 2. Welchen Rest erh¨alt man, wenn man 4621 · 81000 durch die Primzahl 4243 teilt?

Aufgabe 3. Welche Werte m¨ ussen a und b haben, damit A eine orthogonale Matrix ist?  √ 1 3 a 2  A= a b  − 21 0

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1 2



  0   √ 1 3 2

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Aufgabe 4. Berechnen Sie den Wert der folgenden konvergenten Reihe:

Aufgabe 5. Berechnen Sie den folgenden Wert:

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

17 + 3i 10 − 7i

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∞ X 2n−2 32n+1 n=1

4

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Aufgabe 6. In der Skizze unten ist das Dreieck gleichseitig und seine rechte Seite parallel zur y-Achse. Ferner sind sowohl x- als auch y-Achse Tangenten des Kreises. Schließlich ist der linke Eckpunkt des Dreiecks auch der Mittelpunkt des Kreises. Er hat die Koordinaten (2, 2). Geben Sie die exakten Koordinaten der beiden Schnittpunkte von Kreis und Dreieck an.

1 1

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Aufgabe 7. Berechnen Sie die Determinante  1 2  5 1   3 6    2 8  2 2

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der folgenden Matrix:  −1 2 3   1 1 1    −3 6 9     −2 −3 42   2 1 1

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Aufgabe 8. Welcher Rest ergibt sich, wenn man uber Z2 das Polynom x11 + x8 + x7 + x3 durch das ¨ 4 2 Polynom x + x + 1 dividiert? [Hinweis: Erinnern Sie sich an das Vorgehen bei zyklischen Redundanzpr¨ufungen.]

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Aufgabe 9. Geben Sie das Polynom zweiten Grades an, das durch die folgenden Punkte geht: P0 = (5, 17)

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P1 = (6, 6)

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P2 = (7, −7)

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Aufgabe 10. Geben Sie alle L¨ osungen der folgenden Gleichung in C an: x4 − 7x3 + 24x2 − 18x = 0 [Hinweis: Es gibt nur zwei ganzzahlige L¨osungen.]

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Aufgabe 11. Geben Sie die L¨ osungsmenge des folgenden Gleichungssystems an: −x1 + x3 + 2x4 = 4 2x1 + 4x2 − 2x3 − 3x4 = 2 5x1 + 4x2 − 6x3 + 3x4 = 10

6x2 − 4x3 − 5x4 = −14

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Aufgabe 12. In der symmetrischen Gruppe S9 sei die folgende Permutation gegeben:   1 2 3 4 5 6 7 8 9  σ= 5 3 2 9 8 4 7 1 6 Geben Sie σ 7 in Zyklenschreibweise an.

Aufgabe 13. Begr¨ unden Sie, warum das folgende Kongruenzsystem keine L¨osung hat: x ≡ 1 (mod 4) x ≡ 3 (mod 5)

x ≡ 2 (mod 6)

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