Klausur Wintersemester 2013/2014, Fragen und Antworten PDF

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Prof. Dr. Frank Recker

9. Februar 2015

Mathematik 1 — Klausur — Matrikelnummer: Name:

O

Vorname:

Dies ist mein letzter Versuch, die Mathematik-1-Klausur zu bestehen.

Aufgabe 1 2 3 4a 4b 5a 5b Maximale Punktzahl 8 13 13 8 6 6 5 Erreichte Punktzahl P Aufgabe 6a 6b 7a 7b 8 Maximale Punktzahl 5 3 5 5 13 90 Erreichte Punktzahl

Wichtige Hinweise: 1. Öffnen Sie die Klausur noch nicht. Warten Sie, bis Sie dazu aufgefordert werden. 2. Für die Klausur stehen Ihnen 90 Minuten zur Verfügung. 3. In der Klausur können 90 Punkte erworben werden. 4. Füllen Sie unbedingt das Deckblatt komplett aus. 5. Verwenden Sie in der Klausur einen blauen oder schwarzen, permanent schreibenden Stift. 6. Falls Sie eigene Blätter mit abgeben möchten, so beschriften Sie diese Blätter mit der Aufgabe, Ihrem Namen und Ihrer Matrikelnummer. Legen Sie die Blätter an die entsprechende Stelle in der Klausur und lassen Sie Ihre Arbeit am Ende zusammenheften, damit die weiteren Blätter nicht verloren gehen. 7. Achten Sie bei jeder Aufgabe darauf, ob das Ergebnis exakt angegeben werden muss, oder ob Sie gegebenenfalls runden dürfen.

Viel Erfolg!

Aufgabe 1. Berechnen Sie die Determinante der Matrix  1 −2 3 4   1 −2 1 4    A= 2 3 −1 5  −3 2 −1 2 (8 Punkte). Geben Sie alle Zwischenwerte und Ergebnisse exakt an. Der Rechenweg muss nachvollziehbar sein, die reine Angabe der Lösung ist nicht ausreichend.

(noch zu nutzen für Aufgabe 1)

Aufgabe 2. Finden Sie alle Lösungen des Linearen Gleichungssystems 4x1 − 2x2 + 4x3 + 5x4 = −4 −4x1 + 2x2 − 10x3 − 2x4 = −2 6x1 − 3x2 + 9x3 + 6x4 = −3 mit Hilfe des Gauß-Algorithmus (13 Punkte). Geben Sie alle Zwischenwerte und Ergebnisse exakt an. Der Rechenweg muss klar ersichtlich sein, die reine Angabe der Lösung ist nicht ausreichend. Bitte beachten Sie unbedingt, dass bei dieser Aufgabe kein anderes Lösungsverfahren zulässig ist.

(noch zu nutzen für Aufgabe 2)

(noch zu nutzen für Aufgabe 2)

(noch zu nutzen für Aufgabe 2)

Aufgabe 3. Finden Sie alle Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix   4 −1 0 A=  2 1 0  0 0 2 (13 Punkte). Geben Sie alle Zwischenwerte und Ergebnisse exakt an. Der Rechenweg muss klar ersichtlich sein, die reine Angabe der Lösung ist nicht ausreichend.

(noch zu nutzen für Aufgabe 3)

(noch zu nutzen für Aufgabe 3)

(noch zu nutzen für Aufgabe 3)

Aufgabe 4. Berechnen Sie (a) 9000 X k=3

2 3

2k−3

(8 Punkte);

(b) sin(x) − x x→0 x3 lim

(6 Punkte).

Geben Sie alle Zwischenwerte und Ergebnisse exakt oder auf 4 Nachkommastellen gerundet an. Der Rechenweg muss klar ersichtlich sein, die reine Angabe der Lösung ist nicht ausreichend.

(noch zu nutzen für Aufgabe 4)

Aufgabe 5. Berechnen Sie jeweils die erste Ableitung für die Funktionen (a)

(b)

 2 f (x) = sin e3x x2 g(x) = cos ln(x) 



(6 Punkte)

(5 Punkte)

auf den jeweiligen maximalen Definitionsbereichen, die Sie nicht angeben müssen. Geben Sie alle Zwischenwerte und Ergebnisse exakt an. Der Rechenweg muss klar ersichtlich sein, die reine Angabe der Lösung ist nicht ausreichend.

(noch zu nutzen für Aufgabe 5)

Aufgabe 6. Berechnen Sie für die Funktion f (x) = (x2 + 4x + 1)ex alle Extrema (5 Punkte) und Wendepunkte (3 Punkte). Geben Sie bei den Extrema auch jeweils an, ob es sich um ein lokales Minimum oder ein lokales Maximum handelt. Geben Sie alle Zwischenwerte und Ergebnisse exakt oder auf 4 Nachkommastellen gerundet an. Der Rechenweg muss klar ersichtlich sein, die reine Angabe der Lösung ist nicht ausreichend.

(noch zu nutzen für Aufgabe 6)

Aufgabe 7. Berechnen Sie (a) Z

(x2 + 12) cos(x3 + 36x) dx (5 Punkte);

(b) π

Z2

(x − 2) cos(x) dx (5 Punkte).

0

Geben Sie alle Zwischenwerte und Ergebnisse exakt an. Der Rechenweg muss klar ersichtlich sein, die reine Angabe der Lösung ist nicht ausreichend.

(noch zu nutzen für Aufgabe 7)

Aufgabe 8. Berechnen Sie die Partialbruchzerlegung von x2 − 18x − 53 x3 + 5x2 − 8x − 48 (13 Punkte). Geben Sie alle Zwischenwerte und Ergebnisse exakt an. Der Rechenweg muss klar ersichtlich sein, die reine Angabe der Lösung ist nicht ausreichend. Hinweis: Eine Nullstelle des Nenners ist −4.

(noch zu nutzen für Aufgabe 8)

(noch zu nutzen für Aufgabe 8)

(noch zu nutzen für Aufgabe 8)...