Kraefte auf gekruemmte Waende PDF

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Kraefte auf gekruemmte Waende...

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4.3.

Druckkraft auf eine gekrümmte Wand (Herleitung)

Betrachtet wird ein mit Wasser gefüllter Behälter, dessen rechte Wand gekrümmt ist. Auf der Innenseite der gekrümmten Wand wirken als Flächenlasten der Luftdruck p0 und der Wasserdruck p, auf der Außenseite wirkt nur der Luftdruck p0. Gesucht ist die resultierende Last auf den hervorgehobenen Teil der gekrümmten Wand und zwar als Einzellast (Ersatzkraft), die bezüglich der Aufhängung der Wand (Auflagerkräfte) die gleiche Wirkung hat wie die Flächenbelastung. Zur Berechnung wird ein Koordinatensystem (x,y,z) eingeführt, dessen Ursprung an der Wasseroberfläche liegt. Die z-Achse läuft senkrecht nach unten, die x-Achse läuft entlang der Wasseroberfläche und die y-Achse (sie wird hier nicht weiter betrachtet) steht senkrecht auf der z-Achse. Von der Gesamtfläche A der gekrümmten Wand wird nun ein differenziell kleines Flächenelement der Größe dA herausgegriffen. Die Kraft auf dieses Flächenelement ergibt sich aus der Druckdifferenz zwischen der Innenseite und der Außenseite multipliziert mit der Fläche dA. Der Druck p auf der Innenseite berechnet sich aus dem hydrostatischen Grundgesetz      ∙  ∙  Der Druck auf der Außenseite ist konstant p = p0. Für die differenzielle Kraft dF gilt dann   󰇛   󰇜 ∙   󰇛   ∙  ∙    󰇜 ∙    ∙  ∙  ∙  p0

x

p0

z

z

g

dF

A

 dA

Die Kraft dF wird nun aufgeteilt in zwei Komponenten, eine Horizontalkomponente dFx und eine Vertikalkomponente dFz.

p0

x

p0

z

g A 

dFx  dFz

dF

Der Winkel zwischen dFx und dF ist . Es gilt dann    ∙     ∙  Ebenso wie die Kräfte kann die Fläche dA aufgeteilt werden in einen vertikalen Anteil dAx und einen horizontalen dAz. Der Anteil dAx ist die Projektion der Fläche dA in xRichtung auf die z-y-Ebene. Der Anteil dAz ist die Projektion der Fläche dA in zRichtung auf die x-y-Ebene. p0

x

p0

z

g A dA



dAz

 dAx

Der oben beschriebene Winkel  liegt jetzt zwischen dA und dAx. Es gilt dann    

 

 

Für die Komponenten dFx und dFz kann damit geschrieben werden    ∙    ∙  ∙  ∙  ∙    ∙  ∙  ∙  ∙    ∙    ∙  ∙  ∙  ∙    ∙  ∙  ∙  ∙

   ∙  ∙  ∙  

   ∙  ∙  ∙  

Die Kraft Fx ergibt sich durch Integration über Ax.        ∙  ∙   ∙  Daraus folgt, dass für die Horizontalkraft die Gesetze für die Berechnung der Kraft auf ebene Wände angewendet werden können. Statt mit der Fläche A wird mit der projizierten Fläche Ax gerechnet. Über das Integral auf der rechten Seite wird der Schwerpunktsabstand zSx der Fläche Ax definiert  ∙     ∙   Die Ersatzkraft (Einzellast) kann also dadurch berechnet werden, dass der hydrostatische Druck im Schwerpunkt der Fläche Ax multipliziert wird mit der Fläche Ax.    ∙  ∙  ∙   Für die Druckpunktverschiebung gilt 

  ∙ 

Für die Vertikalkomponente gilt        ∙  ∙   ∙  Die Größe z dAz beschreibt das Volumen dV über der Fläche dAz. Die Integration über dV ergibt das Volumen VA über der gekrümmten Fläche. Daraus folgt    ∙  ∙  Die Vertikalkraft Fz wird im Volumenschwerpunkt von VA angesetzt. Vertikal durch den Volumenschwerpunkt verläuft die Wirkungslinie von Fz. Durch den Druckpunkt auf der Fläche Ax verläuft horizontal die Wirkungslinie von Fx. Im Schnittpunkt der beiden Wirkungslinien werden die Kräfte Fx und Fz vektoriell zusammengesetzt zur resultierenden Kraft F.

VA

p0

x

p0 z

z

zSx zDx SV

Ax

g 

Fx

A

ex

Sx Dx

Fz

F

...