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La parábola Una parábola es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de un punto fijo, llamado foco y de una recta fija llamada directriz.

La parábola es una sección cónica, resultado de la intersección de un cono recto con un plano que corta a la base del mismo, oblicuo a su eje y paralelo a una directriz g. El foco y la directriz determinan cómo va a ser la apariencia de la parábola (en el sentido de que será más o menos abierta según sea la distancia entre F y la directriz).

Elementos de una parábola Los elementos de la parábola son:



Eje: es la recta E perpendicular a la directriz



Foco: el foco F es el punto fijo. Los puntos de la parábola equidistan del foco y la directriz.



Directriz: es la recta fija D. Los puntos de la parábola equidistan de la directriz y el foco.



Radio vector: es el segmento R que une el foco con cada uno de los puntos de la parábola. que pasa por el foco.



Parámetro: es el vector p, que va desde el foco al punto más próximo de la directriz



Vértices: es el punto V de la intersección del eje y la parábola.



Puntos interiores y exteriores: la parábola divide el plano en dos regiones. Los puntos que están en la región del foco se llaman

puntos interiores (I), mientras que los otros son los exteriores (J).

Ecuación de la parábola La ecuación de la parábola depende de si el eje es vertical u horizontal. Si el eje es vertical, la y será la variable dependiente. Si el eje es horizontal, será x la variable dependiente. Eje vertical

La ecuación de la parábola a partir del vértice siendo el eje vertical es:

La ecuación general de la parábola con el eje vertical es la siguiente:

Eje horizontal

La ecuación de la parábola a partir del vértice siendo el eje horizontal es:

La ecuación general de la parábola con el eje horizontal es la siguiente:

Ecuación general de la parábola

Los casos anteriores donde el eje es vertical u horizontal, son casos particulares de la ecuación general de la parábola.

La ecuación de la parábola a partir del vértice siendo el eje horizontal es:

La ecuación general de la parábola con el eje horizontal es la siguiente:

Ejercicios resueltos Ejercicio 1 Encontrar las dos parábolas que cortan al eje de abscisas (eje OX) en los puntos A(0,0), B(2,0) pero con vértices distintos (1,-5) y (1,-2). solución La ecuación general de una parábola

Sabemos que las dos rectas pasan por los puntos

Luego dichos punto verifican la ecuación. Los sustituimos en:

Por tanto, ya sabemos que ambas parábolas son la ecuación

El valor de a lo obtendremos a partir del vértice, que sabemos que son

Sustituimos en la ecuación:

Por tanto, una de las parábolas es

Del otro vértice obtenemos

Luego la otra parábola es

Con los 3 puntos de cada parábola podemos graficarlas rápidamente

Ejercicio 2 Calcular las dos parábolas que tienen el vértice en el mismo punto, V(-5,5), sabiendo que una corta al eje de ordenadas (eje OY) en el punto (0,10) y pasa por (-10,10) y la otra corta al eje de ordenadas en el punto (0,-10) y pasa por (-10,-10). solución La ecuación general de las parábolas es

Usaremos primero el vértice que es común en ambas parábolas. Como las parábolas pasan por (-5,5), dicho punto verifica ambas ecuaciones. Sustituimos:

Sabemos que una de ellas pasa por (0,10) y por (-10,10) . Sustituimos en la ecuación:

Al sustituir la c, la ecuación que teníamos al principio queda como

Ahora tenemos un sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas (a y b) para la primera parábola

De la segunda ecuación obtenemos que

Sustituyendo en la primera

Por tanto, tenemos la parábola

Para calcular la otra procedemos de igual modo: Sabemos que pasa por (0,-10) y por (-10,-10) . Sustituimos en la ecuación:

Al sustituir la c, la ecuación que teníamos al principio queda como

Ahora tenemos un sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas (a y b)

De la segunda ecuación obtenemos que

Sustituyendo en la primera

Por tanto, tenemos la parábola

La gráfica es

Ejercicio 3 Dada la parábola

calcular la parábola que se obtiene al hacer una simetría respecto del eje de las abscisas. Hay algunos puntos que coinciden en ambas parábolas. ¿Cuáles y por qué?

solución Antes de todo vamos a escribir la parábola en la forma general. Para ello tenemos que desarrollar el cuadrado de la suma:

Queremos hacer una simetría respecto del eje OX. Para ello cambiamos el signo a la segunda coordenada, y. Por tanto,

Las gráficas son

Los puntos en las que las parábolas coinciden son la intersección y los podemos calcular igualando las parábolas. Pero no es necesario, ya que estos puntos son los que tienen 0 en la segunda coordenada porque al cambiar el signo, sigue siendo 0. Los puntos son:

Resolvemos la ecuación de segundo grado:

Por tanto, son los puntos

Ejercicio 4 Calcular los puntos de corte de la siguiente parábola con los ejes de coordenadas:

solución Podemos escribir la ecuación en forma factorizada como

Puntos de corte con el eje de abscisa (eje OX): ocurre cuando y=0. Sustituimos en la ecuación y obtenemos

Y como la ecuación de segundo grado está factorizada no es necesario aplicar la fórmula cuadrática. Las soluciones son x=0,1. Luego tenemos dos puntos de corte

Punto de corte con el eje de ordenadas (eje OY): ocurre cuando x=0. Sustituimos en la ecuación y obtenemos

El punto es (0,0). Notemos que hemos obtenido el punto (0,0) (el origen) como punto de corte con el eje de abscisas y el de ordenadas. Y es que, en efecto, en el origen, la parábola corta a los dos ejes. Calculamos ahora el vértice y con los puntos de corte y el vértice podemos graficar rápidamente la parábola:

El valor de y lo obtenemos sustituyendo el valor de x en la ecuación:

El vértice es

La gráfica es

Ejercicio 5 Calcular la parábola con eje de simetría horizontal que tiene el vértice en el punto (-1,1) y corta al eje OY en los puntos (0,3) y (0,-1). solución La ecuación general de la parábola es

Sabemos que para una parábola de eje de simetría vertical el vértice es el punto

Al cambiar el eje, cambiamos la x por la y. Como el vértice está en (-1,1),

La equación queda

Por otro lado, sabemos que la parábola pasa por los puntos (0,3) y (0,-1) Sustituyendo en la ecuación obtenemos:

Por tanto,

Usamos de nuevo el vértice (-1,1) para sustituir

Luego la ecuación es

Y la gráfica

Elipse La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de las distancias a los dos focos (puntos interiores fijos F1 y F2) es constante. Es decir, para todo punto a de la elipse, la suma de las distancias d1 y d2 es constante.

También podemos definir la elipse como una cónica, consecuencia de

la intersección de un cono con un plano oblicuo que no corta la base.

Elementos de la elipse: 1. Focos: Son los puntos fijos F y F'. 2. Eje focal: Es la recta que pasa por los focos. 3. Eje secundario: Es la mediatriz del segmento FF'. 4. Centro: Es el punto de intersección de los ejes. 5. Radios vectores: Son los segmentos que van desde un punto de la elipse a los focos: PF y PF'.

6. Distancia focal: Es el segmento segmento de longitud 2c, c es el valor de la semidistancia focal. 7. Vértices: Son los puntos de intersección de la elipse con los ejes: A, A', B y B'. 8. Eje mayor: Es el segmento segmento de longitud 2a, a es el valor del semieje mayor. 9. Eje menor: Es el segmento segmento de longitud 2b, b es el valor del semieje menor. 10. Ejes de simetría: Son las rectas que contienen al eje mayor o al eje menor. 11. Centro de simetría: Coincide con el centro de la elipse, que es el punto de intersección de los ejes de simetría. Ecuación de eje horizontal de la elipse: Si el centro de la elipse C(x0,y0) y el eje principal es paralelo a OX, los focos tienen de coordenadas F(X0+c, y0) y F'(X0-c, y0). Y la ecuación de la elipse será:

Ecuación de eje vertical de la elipse: Si el centro de la elipse C(x0,y0) y el eje principal es paralelo a OY, los focos tienen de coordenadas F(X0, y+c) y F'(X0, y0-c). Y la ecuación de la elipse será:

Ecuación general de la elipse: Una ecuación como:

se refiere a la ecuación general de la elipse. Excentricidad de la elipse:

La excentricidad de la elipse (e) es un valor que determina la forma de la elipse, en el sentido de si es más redondeada o si se aproxima a un segmento. Sea c la semidistancia focal y al semieje mayor:

La excentricidad puede tomar valores entre 0 y 1 (0≤e≤1). Es 0 cuando la elipse es una circunferencia. En este caso los semiejes mayor y menor son iguales y los focos (F1 y F1) coinciden en el centro de la elipse. Cuando la excentricidad crece y tiende a 1, la elipse se aproxima a un segmento.

Existe otra fórmula que calcula la excentricidad a partir de los dos semiejes ( a y b).

Ejercicios resueltos Ejercicio 1 Una elipse tiene sus focos situados en (-4, 0) y (4, 0). Sabemos que la suma de distancias desde estos puntos a un punto de la elipse es 9. Escribe la ecuación de la elipse.

Datos que conocemos:

Por Pitágoras según última figura Hacemos operaciones:

Tomamos de lo últimamente estudiado:

y obtenemos:

Simplificando denominadores:

Ejercicio 2 Calcula las coordenadas de los focos y los vértices de la elipse cuya ecuación es:

Solución Dibujamos la elipse con sus vértices:

Del enunciado deducimos:

Ejercicio 3 La expresión ecuación de una elipse?

¿se trata de la

Solución Tienes que acomodarte a cada problema. En

podemos hacer las operaciones siguientes:

He sacado factor común a 25 en los términos que contienen y. Para que sea el cuadrado de la diferencia de dos números observo que falta un 1: . Si le añado 1 se lo tengo que restar para no alterar el valor de la expresión, pero, como el 1 está dentro del paréntesis, al multiplicar por 25, tengo que restar 25:

Haciendo operaciones:

Ejercicio 4 Se supone que la expresión expresa el valor de la ecuación de una elipse ¿podrías escribirla en su forma reducida o canónica? Solución Sacamos factores comunes

Sumamos al contenido de cada paréntesis un número que lo complete como cuadrado de la suma o diferencia de dos números y para que el valor no se altere, lo restamos multiplicado por el factor común correspondiente

Al contenido de los paréntesis lo transformamos en productos notables y después, reducimos términos semejantes

Dividimos todos los términos por 36

Ejercicio 5 Una elipse con centro en el punto C(3,2), un foco en F(6,2) y A(8,2) ¿qué ecuación tiene? Solución La representamos gráficamente:

Distancia focal

semieje mayor

semieje menor Trasladamos el centro de esta elipse al origen de coordenadas y obtenemos:

La Hipérbola La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos de un plano cuya diferencia de distancias (d1 y d2) a dos puntos fijos llamados focos (F1 y F2) es constante. El valor de esa constante es la distancia entre los vértices V1 y V2 de la hipérbola (2a).

La hipérbola también se puede definir como una cónica, siendo la intersección del cono con un plano que no pase por su vértice y que forme un ángulo con el eje del cono menor que el ángulo que forma con el eje generatriz g del cono.

Elementos de la hipérbola Los elementos de la hipérbola son:

     

  

Focos: son los dos puntos fijos (F1 y F2). Radio vector: es la distancia R de un punto de la hipérbola (P) a cualquiera de los focos. Eje focal: es el eje de simetría E que une a los dos focos. También se llama eje transverso. Eje no transverso: es la mediatriz T del eje focal. Centro: es el punto medio O de los dos focos. También se puede definir como la intersección del eje focal y el transverso. Vértices: son los dos puntos de intersección del eje focal con la hipérbola (V1 y V2).

Distancia focal: es la distancia 2c entre focos. También se denota como F1F2. Eje real: es es la distancia 2a entre vértices. Eje imaginario: es la distancia 2b de los puntos B1 y B2. Los puntos B1 y B2se generan como vemos en las relaciones entre semiejes.

Así pues, existe una relación entre los semiejes y la distancia focal:

 

Asíntotas: son las líneas rectas (A1 y A2) que se aproximan a la hipérbola en el infinito. Puntos interiores y exteriores: la hipérbola divide el plano en tres regiones. Dos regiones que contienen un foco cada una y otra región sin ningún foco. Los puntos contenidos en las regiones con un foco se llaman interiores (I) y los otros exteriores (Ex).  Tangentes de la hipérbola: sobre cada punto Pi de ambas ramas de la misma. Cada tangente es la bisectriz de los dos radios vectores del punto P i.



Circunferencia principal (CP): su radio r=a y su centro en O. Es el lugar geométrico de las proyecciones de un foco sobre las tangentes.  Directrices de la hipérbola: son dos rectas paralelas al eje transverso (D1 y D2). Su distancia a cada una es a/e (ees la excentricidad de la hipérbola). Pasan por las intersecciones de la circunferencia principal con las asíntotas (A1 y A2).

Hipérbola equilátera La hipérbola equilátera es la que tiene sus asíntotas (A1 y A2) perpendiculares entre sí, o, dicho de otra manera, cuando forman un ángulo con cada eje de 45º. Relación entre semiejes de la hipérbola

Las semiejes de la hipérbola (a y b) se relacionan con la distancia focal (c) por la siguiente fórmula:

Geométricamente podemos encontrar los puntos B1 y B2. Para ello, se trazan las rectas tangentes a la hipérbola en los vértices V1 y V2. Las dos tangentes cortarán en las asíntotas en cuatro puntos. Unimos los segmentos dos a dos siendo de longitud 2a y perpendicular al eje no transverso. Los dos puntos producto de la intersección de los dos segmentos y el eje no transverso serán B1 y B2. Siendo O=(o1,o2) el centro de la hipérbola, tendremos que B1=(o1,o2+b) y B2=(o1,o2-b).

De esta forma, se podría calcular el semieje imaginario (b) a partir del semieje real (a) y la semidistancia focal (c):

Ecuación de la hipérbola

La ecuación de la hipérbola se puede expresar cuando su centro es O=(o1,o2) como:

Si la hipérbola tiene su centro en el origen, O=(0,0), su ecuación es:

Además, los puntos de una hipérbola son los que cumplen la ecuación general de la hipérbola:

siendo A, B, C, D y E escalares (números reales) y necesariamente debe cumplir que los coeficientes de x2 e y2 (A y C) son no nulos y tienen diferente signo.

Asíntotas de la hipérbola

Las asíntotas de la hipérbola (A1 y A2) son las dos líneas rectas que se aproximan cada vez más a la hipérbola pero no llegan a intersectarla. En el infinito las asíntotas estarán a una distancia 0 de ella. Las ecuaciones de las asíntotas se pueden obtener si se conocen el semieje real (a) y el semieje imaginario (b).

Excentricidad de la hipérbola

La excentricidad mide lo “abierta” que es la hipérbola. Puesto que c (semidistancia focal) es siempre mayor que a (semieje real), la excentricidad de la hipérbola es siempre mayor que la unidad.

La excentricidad es mayor o igual a 1. Si ésta es muy próxima a 1, la hipérbola tiende a una recta partida. Cuando la excentricidad crece, la hipérbola tiende a dos rectas paralelas al eje no transverso, o dicho de otra forma, las dos ramas de la hipérbola están más abiertas.

La excentricidad también se puede calcular a partir de los semiejes (a y b) mediante la fórmula:

Ejercicios resueltos

Ejercicio 3 Hallar el centro,focos y vértices

Vertices en Focos en

y y

Centro en

Ejercicio 4 Hallar la ecuación canónica, los focos, los vértices, la excentricidad y las asíntotas de la hipérbola cuya ecuación es

Solución: Primer paso, se completa al cuadrado en ambas variables.

Por tanto, el centro está en

. El eje de la hipérbola es horizontal,

Los vértices están en Los focos en La excentricidad es

.

y

Ejercicio 5 Hallar la ecuación canónica de la hipérbola con vértices en y asíntotas

Además calcular los focos, la excentricidad y después

trazar la gráfica. Solución: Por ser el centro el punto medio de los vértices sus coordenadas son Además, la hipérbola tiene eje transversal vertical Ahora se utiliza el teorema de asíntotas

La ecuación:

El valor de C está dado por:

Los focos están en:

La excentricidad:

Coordenadas Polares

1 Definición En el caso del movimiento bidimensional de un punto material resulta útil en muchas ocasiones trabajar con coordenadas polares. Usaremos la figura para definirlas. Sea un punto P situado en el plano OXY con coordenadas cartesianas (x,y). Su vector de posición respecto al origen del sistema de referencia es

Las coordenadas polares (ρ,θ) se definen de la siguiente forma 1. La coordenada ρ es la distancia del punto P al punto O. Puede variar entre los valores 0 y . 2. La coordenada θ es el ángulo que forma el vector con el eje OX. Puede variar entre los valores 0 y 2π. Estas dos coordenadas permiten describir de forma unívoca la posición de cualquier punto en el plano OXY.

El intervalo para θ es abierto a la derecha para evitar llegar al valor de 2π. De lo contrario, los puntos del eje OX aparecerían dos veces, para θ = 0 y para θ = 2π. 2 Relación con las coordenadas cartesianas Cada par de valores (x,y) corresponde unívocamente a un par de valores ρ,θ. La relación entre estos dos pares puede obtenerse a partir de la figura. Teniendo en cuenta el triángulo rectángulo formado por los catetos de longitud x e y y la hipotenusa de longitud ρ tenemos Polares → cartesianas

Cartesianas → polares

θ = arctan(y / x)

2.1 Base vectorial en polares Al igual que el sistema de coordenadas cartesianas, las coordenadas polares llevan asociada una base vectorial. Esta base la componen los vectores unitarios

pintados en verde en la figura.

El vector apunta en la dirección y sentido en que nos movemos si variamos la coordenada ρ manteniendo θ constante. Si ρ aumenta nos alejamos radialmente del punto O, y si disminuye nos dirigimos hacia O. De igual modo, el vector apunta en la dirección y sentido en que nos movemos si varía θ manteniendo ρ constante. Si θ aumenta nos desplazamos sobre la tangente a la circunferencia de radio ρ centrada en O, en sentido contrario a las agujas del reloj. Si θ disminuye el sentido del desplazamiento es el de las agujas del reloj. Usando los ángulos indicados en la figura podemos expresar los vectores de la base polar en función de los vectores de la base cartesiana

Hay que destacar que, a diferencia de los vectores de la base cartesiana, los vectores de la base polar no son constantes. Esto quiere decir que varían en dirección y sentido al cambiar de punto en el plano. Algunos ejemplos θ 0 π/4 π/2 Podemos obtener la expresión de los vectores de la base c...