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MODELAMIENTO DE PROCESOS INDUSTRIALES LABORATORIO Nº3 MATRICES Y ALGEBRA LINEAL INSTRUCCIONES 1. Las actividades de laboratorio y los informes se desarrollarán conjuntamente por dos alumnos como máximo. 2. Si algún alumno no pudo hacer las actividades el día previsto para el laboratorio, podrá entre...

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MODELAMIENTO DE PROCESOS INDUSTRIALES LABORATORIO Nº3 MATRICES Y ALGEBRA LINEAL

INSTRUCCIONES 1. Las actividades de laboratorio y los informes se desarrollarán conjuntamente por dos alumnos como máximo. 2. Si algún alumno no pudo hacer las actividades el día previsto para el laboratorio, podrá entregar el informe posteriormente, siempre y cuando justifique su ausencia, de no hacerlo tendrá nota (0.0) para ese laboratorio. 3. Los trabajos o informes deberán ser entregados, únicamente en la fecha que el profesor determine previamente ante el grupo de alumnos. 4. Las soluciones a los ejercicios deberán ser realizadas en forma clara, simple y organizada. No deberá ser utilizado en el informe material ya presentado en las guías de laboratorio. 5. El informe contendrá las actividades ejecutadas de la guía con sus respectivas respuestas y una conclusión respecto al análisis de las mismas con alto criterio de ingeniería. 6. Entregar la próxima clase. OBJETIVO Las actividades a seguir tienen por objetivo fijar la operación y el uso del Matlab® y del Simulink, programas que serán usados en el decorrer de todo el curso, tanto como herramienta para futuros proyectos de controladores, como para simulación de sistemas y análisis de datos, y especialmente como herramienta para implementación. REFERENCIAS 1Ogata, K. Engenharia de Controle Moderno. Prentice Hall do Brasil, 3a. Ed., 1998. 2Hanselman, D.; Littlefield, B. MATLAB® 5: Versão do Estudante, Guia do Usuário, Makron Books, 1999. 34-

www.mathworks.com

sistemas dinámicos del ingeniero Francisco Moreno y Armando Becerra.

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3.1 Matrices Una matriz es un arreglo de números u objetos. Las matrices encuentran usos y aplicaciones en un gran número de sustituciones. Por ejemplo pueden contener los coeficientes de un sistema de ecuaciones simultaneas o representar las intensidades y colores de los pixeles de una imagen, entre otras muchas y variadas aplicaciones de matrices. De la matriz

Se dice que tiene 3 renglones o filas y 4 columnas y que es de dimensiones 3x4.Si una matriz tiene n renglones y m columnas es una matriz nxm.A nxm se le llama dimensión de a matriz. Para Matlab, la matriz se define por. >>A=[1 2 3 4; 5 6 7 8; 9 10 11 12] A=

Donde hemos separado los elementos de un mismo renglón por un espacio (se puede separar con una coma) y los renglones se separan con un punto y coma. Cada elemento de una matriz A tiene una posición ij. Que corresponde a su posición en la i-esima fila y en l j-esima columna, por ejemplo el elemento 5 tiene la posición 2,1 mientras el elemento 11 tiene la posición 3.3 el comando A(i,j) proporciona el elemento de región (también llamado fila )i y la columna j, si el numero de renglones es igual al numero de columnas, es decir, n=m se dice que la matriz es cuadrada de dimensión n, otros comandos se dan en la tabla 3-1.

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3.2 Operaciones básicas con matices Las operaciones básicas con matrices son la suma, resta, multiplicación y división. La suma de dos matrices solo se puede realizar si ambas son de la misma dimensión por ejemplo considere las matrices A ,B ,C dadas por

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Para la división de matrices existen dos posibilidades A/B y A\B para las matrices dadas tenemos que:

Para potencias de matrices existen dos posibilidades, si P es un escalar A^p nos da la matriz A elevada a un escalar p .Por otro lado P^A nos da el escalar p elevado a una matriz A, los siguientes ejemplos ilustran esto:

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Algunas matrices especiales son: Ones(m,n) matriz de dimensión m x n donde todos los elementos son la unidad. Ones(n) matriz cuadrada de orden n donde todos los elementos son la unidad. Zeros(m,n) matriz de dimensión m x n donde todos los elementos son ceros. Zeros(n) matriz cuadrada de orden n donde los elementos son ceros.

3.3 vectores Un vector es una matriz con un solo renglón llamado renglón vector, o con una sola columna, llamado vector columna. Los vectores siguen las reglas de las matrices con ejemplo el vector renglón dado por: x =[1 3 -7 4] es un vector renglón de dimensión 4, mientras que: Y =[9; 18; -5; 6; -7; 2; 4; 3; 11; 17] Es un vector columna de dimensión 10. Si solo deseamos desplegar algunos elementos de un vector usamos y(a;b) donde solo se van a desplegar los elementos del a-esimo al b-esimo, por ejemplo

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>> y(2:4) Ans = 18 -5 6 Mientras que y(i:j.k) da los elementos desde el i-esimo hasta el k-iesimo pero separando unidades Entonces: >>y(2 : 9 : 10) Ans = 18 -7 3 El índice j puede ser también negativo, por ejemplo >>y(9 : -3 : 3) Ans = 11 2 -5 Algunas operaciones con vectores de dan en la tabla 3-3 a continuación presentamos algunos ejemplos de dichas operaciones

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Si los vectores A Y B y ei escalar c están dados por:

Entonces podemos realizar las siguientes operaciones:

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La multiplicación de vectores solo es posible si se respetan las reglas de multiplicación de matrices, de esta manera es posible multiplicar dos vectores si el primero es un vector renglón de m columnas y el segundo es un vector columnas de m filas. O si se trata de multiplicar un vector renglón de n filas por un vector de n columnas, por ejemplo si tenemos los vectores.

Podremos realizar solo las siguientes operaciones:

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Cualquier otra operación que se quiera realizar marcara un error por las dimisiones de los vectores no lo permiten. Si tenemos una matriz A de dimensiones n x m y un vector de dimensiones m x 1 se puede Efectuar la multiplicación A*B si son:

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La norma de un vector de dimensiones n se define por:

La norma mas reconocida es la norma euclidiana que es la típica magnitud del vector X.

Para calcular MATLAB la norma de un vector usamos: >>norm (x,p) El valor predeterminado de P es 2, Asi para x = [ 3 4 -2 ] si queremos obtener la normal 1.

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>>norm (x,1) Ans = 9 Para la normal euclidiana podemos usar norm (x,2) o norm (x). >> norm (x,2) Ans = 5.3852 >> norm (x) Ans = 5.3852 Y para la normal infinito. >> norm (x, inf) Ans = 4 En la ayuda se puede encontrar mas información si se escriben vectores es pestaña de búsqueda (search).

3.4 Productos escalar y vectorial El producto escalar también llamado producto punto de dos vectores a y b dados por.

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Es un escalar y esta definido por:

Y MATLAB lo calcula con: >> dot (a,b) Para los vectores dados por:

Tenemos: >> a = [2 ;3: -2; 1:]; >> b = [3; -8 ;7; 4]; >> c = dot(a,b) C= -28 El producto punto también se puede calcular si el primer vector columna lo trasponemos para que sea vector renglón y luego lo multiplicamos por el segundo vector columna lo hacemos asi: a*b para los vectores definidos anteriormente tenemos: >> cross (a,b)

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Ans = -28 El producto cruz de a x b de dos vectores de tres dimensiones es otro vector y se obtiene con. >>cross (a,b) Para los vectores a1 y b1 dados por:

Obtenemos >> a1 =[ 9; 6; 23]; >> b1 =[-27; 11; 12]; >> cross (a1,b1) Ans = -181 -79 261 Mayor información se obtiene en la ayuda, escribiendo dot y cross en la búsqueda en search.

3.5 Funciones de matrices y vectores Es posible calcular funciones de matrices y vectores por ejemplo, si x=[2 3 -7], podemos obtener el sin(x) que es otro vector dado por el vector cuyas componentes son las funciones seno de cada componente, asi por ejemplo.

Las funciones definidas en Matlab y aquellas definidas por el usuario se pueden usar vectores. Esto es para cualquier función f(x), si A es una matriz f(A) nos da.

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Y si V es un vector entonces:

Donde V puede ser un vector renglón o un vector columna Por ejemplo para para un polinomio definido por

Donde x puede ser un escala, un vector o una matriz. Si D es una matriz dada por:

Entonces: >> D = [2 5; -4 9]; >> D^3 + 2*D^ 2 – 7*D +17 Ans= -281 507 -375 405 Un tipo especial de vectores es el que formamos para evaluar una función en un intervalo dado, por ejemplo evaluar una función f(x) En un intervalo [xi, xf]. Si el espaciamiento deseado entre los puntos es lineal, podemos usar. X = linspace (a,b,n) Esta instrucción genera n valores igualmente espaciados entre a y b por ejemplo

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Para crear un vector similar podemos usar: X= a : incremento : b Donde a es el valor inicial y los siguientes puntos son a + incremento, a +2*incremento,…..hasta llegar al valor final dependiendo del valor del incremento,…el valor final puede ser distinto de b, por ejemplo.

Donde el primer punto es 10^a el ultimo punto es 10^b y hay n puntos en el intervalo para a=2, b=5, y n=4 tenemos.

3.6 ecuaciones simultaneas Si se tiene un conjunto de ecuaciones simultaneas: Ax+by=c Dx+ey=f Estas se pueden resolver con:

Sistema de

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linsolve resuelve el mismo problema si expresamos el conjunto de ecuaciones en forma matricial, entonces para el problema anterior.

Se plantea como

>> syms a b c d e f x y; >> A=[a b; d e]; >> v=[ c;f]; >> x=linsolve(A,v);

los coeficientes de un sistema de ecuaciones simultaneas se expresan en forma matricial y por lo tanto son susceptibles de ser manejados por Matlab por ejemplo. El sistema de ecuaciones

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Se escribe en forma matricial como: Ax= b Donde:

X= 3.7500 1.2500 0 -1.2500 Otra manera de resolver este sistema es por medio de la intuición. >> x= a\b X= 3.7500 1.2500 0 -1.2500 Que arroja el mismo resultado pero de forma mas rápida de efectuar. En la pestaña de búsqueda (search) en la ayuda podemos escribir, líneas equation para obtener mas información en este tópico.

3.6 Factorización LU La factorización LU permite escribir una matriz cuadrada no singular A como el producto de una matriz triangular inferior L y una matriz superior U, es decir podemos escribir A como. A=LU

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La factorización de LU se obtiene como el comando lu(a) y la sintaxis es. >>[L,U]= lu(a) Por ejemplo la matriz A dada por:

Si la matriz A forma parte de un sistema de ecuaciones dado Ax=b entonces la solución se obtiene con. X=U\(l\b) Si b=[2 ;4 ;0 ;0] entonces para la matriz dada anteriormente. >> x= U\(L\b) X=

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1.0e+015 -5.6768 7.4934 2.0437 -3.8602 En la pestaña de búsqueda (search) de ayuda podemos escribir LU para mas información de este tópico.

3.7 Vectores propios y formas de Jordán Una operación muy usada en matrices es la obtención de vectores propios o eigenvectores. Estos son vectores que obedecen a la operación. Ax=lX Es decir, al multiplicar el vector por A, este solo cambia de tamaño pero no de dirección. A x e l se les llama eigenvector y eigenvalor (vector propio ) de la matriz A respectivamente. Consideremos la matriz A dada por:

Para obtener los eigenvalores usamos la instrucción aig(A) como se muestra a continuación:

Si deseamos obtener los vectores propios usamos [V,E]=eig(A) lo que nos devuelve dos matrices V y E. Las columnas de V son vectores propias y los elementos de la diagonal principal de E son valore propios.

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Para diagonal izar una matriz usamos la expresión. Jordan(A) Que nos devuelve la forma canónica de Jordán.

Donde la matriz J es una matriz diagonal formada por los valores propios y M es la matriz formada por los vectores propios.

En la búsqueda (search) de la ayuda escribiendo Jordán obtenemos más información de este

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EJERCICIOS PARA REALIZAR EN MATLAB LABORATORIO N° 3

Ejercicio 1. Dada s las m atrice s:

Calcu lar:

Eje rci cio 2 . Demost rar q ue : A² − A − 2I = 0, sie ndo:

Eje rci cio 3 .

Sea A la ma tr iz

. Ha ll ar A n , para n

Eje rci cio 4 . Calcu lar la matriz inve rsa de:

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Eje rci cio 5 . Una fábrica produ ce dos m odelos d e lava doras , A y B , en tres termin acion es: N, L y S. Prod uce de l model o A: 400 unida des en la te rminaci ón N, 20 0 unida des e n la te rminac ió n L y 5 0 unidad es en la term inació n S. P ro duce de l model o B: 3 00 unida des e n la term inació n N, 10 0 unid ad es en l a term inación L y 30 un id ades en la te rminac ió n S. L a term inació n N lle va 25 h oras de ta ller y 1 hora de admi ni straci ón. La te rminac ión L ll eva 30 h oras de talle r y 1.2 horas d e admi nistra ci ón. La t ermin aci ón S l le va 33 h oras de talle r y 1 .3 horas d e admin istra ció n. 1. 2.

Repr esenta r la in fo rmaci ón en do s matri ces. Hall ar una ma triz qu e expr ese la s hora s de ta ll er y de admin istrac ión emp leadas para c ada uno de lo s model os .

Ejercicio 6. Reso lver; en forma matric ial, e l si stema:

Ejercicio 7. por medio de matriz LU encontrar:

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