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Universidad Tecnológica de Panamá Facultad de Ingeniería Mecánica Licenciatura de Ingeniería en Energía y Ambiente Tema: Teoría del error Informe de laboratorio #2 Materia: Laboratorio de Física I Grupo B Profesor: Felipe Mercado Integrantes del grupo: Óscar Cowen 8-954-1843 Carlos Garcés 8-951-370 ...

Description

Universidad Tecnológica de Panamá Facultad de Ingeniería Mecánica

Licenciatura de Ingeniería en Energía y Ambiente

Tema: Teoría del error

Informe de laboratorio #2

Materia: Laboratorio de Física I

Grupo B Profesor: Felipe Mercado

Integrantes del grupo: Óscar Cowen 8-954-1843 Carlos Garcés 8-951-370 Chrissmar González 8-948-1048 Deyaneira Pineda 8-964-850 Jesús Lluberes 8-957-381

Grupo 1EM111 Lunes 3 de septiembre 2018

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INDICE introduccion ...................................................................................................................................................... 3 1.

Errores sistemáticos ....................................................................................................................... 3

2.

erroes aleatorios ............................................................................................................................... 3 A.

Error Absoluto ................................................................................................................................. 4

B.

error relativo .................................................................................................................................... 4

Objetivos ........................................................................................................................................................... 4 Materiales ......................................................................................................................................................... 4 procedimiento ................................................................................................................................................... 5 Resultados ........................................................................................................................................................ 5 1.

Mediciones directas ............................................................................................................................ 5 Tabla de resultados de la exploración del péndulo simple ........................................................ 5 Cálculos basados en los datos de la tabla anterior: ........................................................................... 6

Parte B. Mediciones indirectas ...................................................................................................................... 7 conclusion ....................................................................................................................................................... 10 Glosario ........................................................................................................................................................... 11 Bibliografía ...................................................................................................................................................... 12

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INTRODUCCION Al medir experimentalmente una magnitud física en un sistema físico, el valor obtenido de la medida no es el valor exacto. Para evaluar convenientemente los experimentos que permiten medir magnitudes físicas es necesario tener en cuenta en qué medida los valores que se manejan coinciden con los verdaderos. Para ello es necesario estimar el error cometido al efectuar una medida. Dicho error se puede deber a múltiples factores. Por ejemplo, algo aparentemente tan sencillo como medir el periodo de un péndulo, estará afectado por la precisión del cronometro, los reflejos del cronometrador, las corrientes de aire, el número de medidas efectuadas, etc. Los errores cometidos en un experimento se pueden clasificar en dos categorías dependiendo de su origen: errores sistemáticos y aleatorios. 1. ERRORES SISTEMÁTICOS

Son aquellos que se manifiestan en el hecho de que mediciones realizadas en condiciones idénticas presentan desviaciones constantes o previsibles respecto del valor convencionalmente verdadero de la magnitud que se está midiendo. En general, las causas de esta componente del error son conocidas y por ello puede ser parcialmente corregida o acotada a priori. En el error sistemático hay una parte evitable que se debe al mal ajuste del instrumento a un uso incorrecto del mismo, etc. Esta parte del error puede ser corregida una vez que haya sido detectada y evaluada mediante un proceso de calibración. Existe, sin embargo, otra parte del error sistemático que es inevitable y se debe a las limitaciones propias del instrumento o del método de medida. 2. ERROES ALEATORIOS

Este tipo de errores se manifiestan en el hecho de que mediciones realizadas en condiciones idénticas presentan desviaciones imprevisibles respecto del valor convencionalmente verdadero de la magnitud que se está midiendo. Sus causas son o bien desconocidas o bien su estudio es tan complejo que no se justifica una acotación de esta componente del error. En su lugar el orden de magnitud del error aleatorio se estima repitiendo muchas veces la medición en condiciones similares y aplicando técnicas estadísticas a los propios resultados obtenidos. Cuando hablamos de valor exacto o convencionalmente verdadero nos referimos a la estimación del valor de una magnitud de forma que los errores de medida son despreciables a efectos prácticos. En la práctica este “valor

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convencionalmente verdadero”, que se utiliza para calibrar un determinado instrumento o método de medida, se obtiene midiéndolo con otros instrumentos mucho más precisos y promediando una serie de muchas medidas para reducir el error aleatorio. Al efectuar una medida directa de una magnitud física, el valor medido “x” por lo general diferirá del valor exacto “𝑥0 ”. El error asociado a esta medida se puede expresar de dos formas diferentes: A. ER ROR A BSO LUTO

Es la diferencia en valor absoluto entre el valor medido y el valor exacto:

∆𝑥 = |𝑥 − 𝑥0 | B. ER ROR R ELATIVO

Es la razón entre el error absoluto y el valor exacto

𝜖𝑥 = |

∆𝑥 | 𝑥0

El error relativo resulta especialmente relevante porque nos relaciona el error cometido con el valor exacto de lo medido. OBJETIVOS

✓ Expresar correctamente el resultado de una medición utilizando los conceptos básicos de teoría de errores. ✓ Calcular los intervalos absolutos de los diferentes tipos de errores en las mediciones. ✓ Estudiar de forma analítica la propagación de errores en operaciones matemáticas básicas. MATERIALES

✓ ✓ ✓ ✓ ✓ ✓

metro cronómetro hilo pabilo transportador pequeña pesa soporte universa

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PROCEDIMIENTO

Se armo un sistema con un péndulo e hilo pabilo de aproximadamente 120 -150 cm, Soltamos el péndulo desde una altura fija h y a un ángulo menor de 10° y simultáneamente pusimos a funcionar varios cronometro dejando que describiera unas 10 oscilaciones completas y medimos el tiempo transcurrido y calculamos el periodo del péndulo. Datos anotados en tabla n°1 RESULTADOS 1. MEDI CION ES D IRECTAS TABLA DE RE SULTADOS DE LA EXP LOR AC IÓN D EL PÉNDULO SI MPLE

T10

Ti

l Ti –T l

(Ti –T) 2

20.59 s

2.06 s

0.21 s

0.04 s2

22.43 s

2.24 s

0.03 s

0.0009 s2

23.39 s

2.39 s

0.12 s

0.01 s2

22.80 s

2.80 s

0.53 s

0.28 s2

22.60 s

2.26 s

0.01 s

0.0001 s2

22. 81 s

2.28 s

0.10 s

0.01 s2

20.75 s

2.08 s

0.19 s

0.04 s2

22.69 s

2.27 s

0s

0 s2

22.45 s

2.24 s

0.30 s

0.09 s2

22. 71 s

2.27 s

0s

0 s2

22.54 s

2.25 s

0.02 s

0.0004 s2

22.70 s

2.27 s

0s

0 s2

22.60 s

2.26 s

0.01 s

0.0001 s2

22.85 s

2.28 s

0.01 s

0.0001 s2

22.92 s

2.29 s

0.02 s

0.0004 s2

22.19 s

2.22 s

0.05 s

0.003 s2

22.61 s

2.26 s

0.01 s

0.0001 s2

22.76 s

2.28 s

0.01 s

0.0001 s2

20.49 s

2.05 s

0.22 s

0.05 s2

22.80 s

2.28 s

0.01 s

0.0001 s2

N = 20

∑Ti = 45.33 s

∑ l Ti –T l = 1. 85 s

∑ (Ti –T) 2 = 0. 53 s2

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CÁLC ULOS BAS ADOS EN LOS DATOS D E LA TABL A ANTER IOR: A. VALOR PROMEDIO O MEDIA ARITMÉTICA

T = ∑Ti / N = 45. 33 s / 20 = 2.27 s B. DISPERSIÓN MEDIA

δx= ∑ l Ti –T l / N = 1.85 / 20 = 0.09 s C. DESVIACIÓN CUADRÁTICA MEDIA

σ2= ∑ (Ti –T) 2 / N = (0.53 s) / 20 = 0.03 s D. DESVIACIÓN ESTÁNDAR –𝑇)2 σx=√∑ (𝑇𝑖𝑁−1

= (0.03 s) ½ = 0.17 s

E. ERROR ALEATORIO

δ x=

√((∑ (𝑇𝑖 –𝑇)2 )/(𝑁−1)) √𝑁

=

0.17

√20

= 0.04

F. ERROR RELATIVO

Ɛr=

δx 𝑇

=

0.04

= 0.017

2.27

G. ERROR PORCENTUAL

Ɛ% = Ɛr x 100% = 0.017 x 100%= 1.67% H. VALOR MÁS PROBABLE DEL PERIODO DEL PÉNDU LO

t= T ± δx= (2.27 ± 0.04) s t= T+ δx = 2.27 + 0.04 = 2.31 s t= T - δx = 2.27 – 0.04 = 2.23 s I.

VALOR MÁS PROBABLE DE LA LONGITUD DEL PÉNDULO

l = L ± δL= (125 cm ± 0.5) cm

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PARTE B. MEDICIONES INDIRECTAS

1. Sea un cilindro recto de (26.8±0.7) cm de radio y (96.82±0.18) cm de altura. Determinar el valor de la medida de: El área lateral del cilindro

a)

A(lateral)= 2 π r h A(lateral)= 2 π (26.8) (96.82) ± (26.8) (96.82) √(

0.7 2 ) 26.8

+(

0.18 2 ) 96.82

A(lateral)= (5189.6 ± 74.4) π cm2 El volumen del cilindro

b)

V = π r2 h V = π (26.8±0.7)2 (96.82±0.18) V= π (718.24 ± 37.92) (96.82±0.18) V = (2.18 x 105 ±197.1) π cm3 c)

d= 2.

La densidad del cilindro si la masa es (285.08±0.16) g. 𝑚 𝑉

= 1.31 x 10-3 g/ cm3 Sabiendo que los valores de tres variables independientes son: X= (2.6 ± 0.7) Y= (42.6 ± 0.3) Z = (16.49 ± 0.25)

Calcular el valor de las medidas de los siguientes parámetros definidos a continuación: √𝒙 a. H (x,y) = 3 π 𝟐 𝒚

7

21

H (x,y) = 3 π H (x,y) = 3 π

1

1 0.7

± (2.6) 2 ( )( 2.0) 2

(2.6) 0.3 (42.6)2 ± (42.6)2 (2)( 42.6)

(1.61±0.215) (1814.7±25.4)

H (x,y) = (2.66 x 10-3 ± 3.57 x 10-3) π

b.

𝟐

G(x,y,z) = 𝟐𝟎𝝅𝒙 √ 𝒛𝒚𝟑

G(x,y,z) = G(x,y,z) = G(x,y,z) =

20 𝜋

(2.6 ± 0.7)2 √

(42.6 ± 0.3)

(16.49 ± 0.25)3

(6.52 ± 0.02) 20 (6.76 ± 3.64) (66.96 ± 1.52) 𝜋 20 (0.69 ± 0.39) 𝜋

G(x,y,z) = (4.39 ± 2.48) 3. Calcule la medida del área de una arandela de radios (26.8 ± 0.5) mm, (55.08 ± 0.15) mm: internos y externos respectivamente. A= π (r2 2 – r12) A1= 9531 mm2

Ɛr(A1) = 0.004

A2= 2256 mm2

Ɛr(A2) = 0.03

A= 7275 π mm2

Ɛ(A) = 0.03

A= (7275 ± 0.03) π mm2 4. Un objeto en caída libre recorre una altura de (280.25 ± 0.02) m en un tiempo transcurrido de (7.56 ± 0.20) s. Determine la medida de la aceleración de la gravedad con estos datos. g=

4 𝜋2 ℎ 𝑇2

= 193.6 m/s2

Ɛr= 5 g= (193.6 ± 5) m/s2

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5. De acuerdo con la ley de Snell, el índice de refracción de la luz cuando un haz luminoso refracta sobre el vidrio es dado por: sin 𝜙1

n= sin 𝜙2 donde, ϕ1 y ϕ2, son los ángulos incidencia y refractados respectivamente. Si los ángulos mencionados tienen valores de ϕ1 (20 ± 1) y ϕ2 (13 ± 1), demuestre que el valor de índice de refracción debe ser: n (1.5 ± 0.1) n=

sin(20 ± 1)

n=

0.34 ± 0.017

sin(13 ± 1) 0.22 ±0.017

n= 1.54 ± 1.54 √

0.017 2 0.34

+

0.017 2 0.24

n= 1.54 ± 0.14 6. Calcule el valor mas probable de la aceleracion, gravitacional, mediante datos obtenidos de la medicion del periodo de oscilaciones del pendulo simple de la tabla n°4 de la parte A, sobre mediciones directas, donde obtuvo el valor más probable periodo del péndulo simple. a. Calculo simple de la gravedad 𝑔= b. Error ∆𝒈 𝜀𝑟 (𝑔) =

4𝜋 2 𝐿 4𝜋2 ∗ 1.25 9.58𝑚 = = 𝑠2 𝑇2 (2.27)2

∆𝐿 2 ∙ ∆𝑇 0.05 2 ∙ 0.04 = 0.07 + = + 2.27 𝐿 𝑇 1.25

c. Error absoluto será: ∆𝑔 = 𝜀𝑟 ∙ 𝑔 = (0.07)(9.58) = 0.67𝑚/𝑠 2

d. Valor más probable para la gravedad 𝑔 = (9.58 ± 0.67)

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CONCLUSION • • • •

Se llega a la conclusión que los errores se presentan al momento de medir una magnitud física. Para diferentes magnitudes existe otro procedimiento para el cálculo del error Se debe realizar las medidas con precaución y evitando el error causal. los resultados nos son totalmente exactos, ya que hay variaciones entre una y otra medida realizada. Se diría que nunca daremos con una medida exacta ni precisa solo una aproximación.

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GLOSARIO

A. Error sistemático: es aquel que se produce de igual modo en todas las mediciones que se realizan de una magnitud. Puede estar originado en un defecto del instrumento, en una particularidad del operador o del proceso de medición, etc. Se contrapone al concepto de error aleatorio. B. Error aleatorio: en ingeniería y física, el error aleatorio o accidental es aquel error inevitable que se produce por eventos únicos imposibles de controlar durante el proceso de medición. C. Error absoluto: es la diferencia entre el valor real de la medida (X) y el valor que se ha obtenido en la medición (Xi). D. Valor promedio: es la sumatoria de todos los eventos de un experimento dividido entre el mismo número de eventos. E. Dispersión: es la diferencia del valor inicial medido y el valor promedio calculado. F. Dispersión media: es la media aritmética de los valores absolutos de las desviaciones respecto a la media. G. Varianza: es la media aritmética del cuadrado de las desviaciones respecto a la media de una distribución estadística. H. Desviación estándar: es la medida de dispersión más común, que indica qué tan dispersos están los datos con respecto a la media. Mientras mayor sea la desviación estándar, mayor será la dispersión de los datos. 11

I. Valor más probable: es la diferencia (±) entre valor promedio y la desviación estándar de la medida. J. Error relativo: cociente entre el error absoluto y el valor que consideramos como exacto (la media). K. Error porcentual: es la manifestación de un error relativo en términos porcentuales. En otras palabras, es un error numérico expresado por el valor que arroja un error relativo, posteriormente multiplicado por 100. BIBLIOGRAFÍA

1. Fuentes, Manuel., Guevara, Jovito., Poveda, Otón., & Polanco, Salomón.. (segunda reimpresión-2016). Física I: Guía de laboratorio. Universidad Tecnológica de Panamá, Panamá, Campus Dr. Víctor Levi Sasso: Editorial Tecnológica. 2. http://jogomez.webs.upv.es/material/errores.htm#_2.__ 3. http://www.rae.es/

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