Laboratorio 2 Dinamica aplicada JV,AB,RL PDF

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Warning: TT: undefined function: 32 Warning: TT: undefined function: 32 Warning: TT: undefined function: 32 Warning: TT: undefined function: 32 Warning: TT: undefined function: 32 ####### UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PANAMÁFacultad de Ingeniería MecánicaLicenciatura en Ingeniería en MecánicaMateria: D...

Description

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PANAMÁ Facultad de Ingeniería Mecánica Licenciatura en Ingeniería en Mecánica

Materia: Dinámica Aplicada (Laboratorio)

Instructor: Daniel Gonzales

Laboratorio n° n°2 2: Vibraciones lilibre bre de un sist sistema ema masa masa--resorte.

Nombre: BR BRANDAO, ANDAO, Abel 8 8--936-462 LÓPEZ, Roderick 8 8--934-1286 VERGARA, Julia 8 8--940-1144

1AA131-1AA132

1/ 1/10 10 10/2020 /2020

INTRODUCCIÓN

Las vibraciones, en general, surgen cuando se coloca una mínima fuerza a un sistema físico, que esta inicialmente en un estado de equilibrio estable. Sin embargo, si esta fuerza desaparece el sistema tentativamente regresaría a su posición equilibrada. En esta experiencia de laboratorio se explicará, analizará y se tratará de comprender el modelo físico y matemático de un de vibración libre de sistema masa-resorte. Se calculará el periodo, la frecuencia circular y natural de la vibración resultante. Estos valores serán tanto teóricos como experimentales, teniendo como apoyo el programa Masses and Springs y al final se resolverán las preguntas que dicen en la guía siendo una de las mas importantes la que se tiene que sacar el modelo matemático con los resultados obtenidos en la experiencia.

MARCO TEÓRICO El periodo es el tiempo que tarda en repetirse un fenómeno periódico. Dicho ciclo es la distancia más pequeña que existe antes de que la onda se reitere y depende de la longitud de la onda. Forma parte de los elementos que componen una Onda. Ésta es la vibración de propagación y perturbación de alguna propiedad en el espacio. La fórmula que se utiliza para la obtención del periodo es: T=1/F donde F viene siendo la frecuencia. Todos los objetos poseen su propia frecuencia que los caracteriza y a esta se le conoce como frecuencia natural. Si a un objeto se le envía una vibración con la misma frecuencia que su frecuencia natural la vibración del objeto comenzará a pronunciarse y como reacción se acumulará cada vez más energía, a esto se le conoce como resonancia. La frecuencia angular se refiere a la frecuencia del movimiento circular expresada en proporción del cambio de ángulo, esta se define como 2π veces la frecuencia. La misma se expresa en radianes / segundos a través de la fórmula: ω=2π*F

RESULTADOS

Resorte n°1: Masa g 0 50 75 100 125 150 175 200 225 250 275 300

Resorte#1 Kg 0 0.05 0.075 0.1 0.125 0.15 0.175 0.2 0.225 0.25 0.275 0.3

cm 49 58 64 68 73 78 83 88 93 98 103 108

Fuerza N 0 0.4905 0.73575 0.981 1.22625 1.4715 1.71675 1.962 2.20725 2.4525 2.69775 2.943

m 0.49 0.58 0.64 0.68 0.73 0.78 0.83 0.88 0.93 0.98 1.03 1.08

K N/m 0 0.84568966 1.14960938 1.44264706 1.67979452 1.88653846 2.06837349 2.22954545 2.3733871 2.50255102 2.61917476 2.725

Tabla #1. Datos de masas y elongación del resorte para determinar su constante de elasticidad.

FUERZA VS DEFORMACIÓN Fuerza vs Deformación

Lineal (Fuerza vs Deformación)

y = 4.9667x - 2.4121

3.5

FUERZA (N)

3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

DEFORMACIÓN (M)

Gráfico #1. Gráfica de Fuerza vs Deformación del resorte #1

1.2

Datos del Resorte m (Kg) 0.2 k (N/m) 4.967 Xo (m) 0.49 Xf (m) 0.88 Tabla #2. Datos de la masa y constante del resorte#1 y las posiciones final e inicial para la experiencia. Tiempos (seg) t1 3.19 t2 3.15 t3 3.17 Tabla #3. Datos de los tiempos tomados con la masa de 200 gramos para 3 oscilaciones.

Promedio (seg) 3.17 Tabla #4. Promedio tomado de los 3 tiempos tomados.

Datos Teóricos Experimentales (1 Ciclo) 4.983 5.946 Wn (rad/seg) 0.793 0.946 Fn (Hz) Tao (seg) 1.261 1.057 Tabla #5. Datos teóricos en base a la masa y constante del resorte y los datos experimentales basados en el tiempo de oscilación.

%Error Wn 19.32265126 Tabla #6. Valor de error porcentual de la experiencia.

Cálculos Promedio=

!"#!$#!% %

=

%."'#%."(#%.") %

Frecuencia Circular Teórica

Wn=* = * + *

,.'-) ..$

= 4.983

/01 234

Frecuencia Circular Experimental

Wn=2π(Fn)=5.946

/01 234

= 3.17&𝑠𝑒𝑔

Frecuencia Natural Teórica

Fn= $7 = 56

,.'8% $7

= 0.793 Hz

Frecuencia Natural Experimental

Fn=9 = "..() = 0.946 Hz "

"

Periodo Teórico

𝜏 = :6 = "

" ..)'%

= 1.261 seg

Periodo Experimental

𝜏=

𝑃𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 3.17 = 1.057&𝑠𝑒𝑔 = 3 3

Resorte n°2: Masa

Resorte

Fuerza K g kg cm m N N/m 0 0 48 0.48 0 0 50 0.05 54 0.54 0.49 0.90740741 75 0.075 57 0.57 0.735 1.28947368 100 0.1 60 0.6 0.98 1.63333333 125 0.125 63 0.63 1.225 1.94444444 150 0.15 66 0.66 1.47 2.22727273 175 0.175 69 0.69 1.715 2.48550725 200 0.2 72 0.72 1.96 2.72222222 225 0.225 75 0.75 2.205 2.94 250 0.25 78 0.78 2.45 3.14102564 275 0.275 81 0.81 2.695 3.32716049 300 0.3 84 0.84 2.94 3.5 Tabla #7. Datos de masas y elongación del resorte para determinar su constante de elasticidad.

Fuerza vs Deformación 3.5 3

Fuerza (N)

2.5 2 1.5 1 0.5

y = 8.1667x - 3.92

0 0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

Deformación (m)

Gráfico #2. Gráfica de Fuerza vs Deformación del resorte #2

0.9

Datos del resorte m(kg) 0.2 k(N/m)

8.1667

Xo(m)

0.48

Xf(m)

0.72

Tabla #8. Datos de la masa y constante del resorte#2 y las posiciones final e inicial para la experiencia.

Tiempo (s) t1 2.73 t2 2.76 t3 2.9 Promedio 2.80

Tabla #9. Datos de los tiempos tomados con la masa de 200 gramos para 3 oscilaciones junto con el promedio tomado de los 3 tiempos tomados.

Datos Wn(rad/s) Fn(Hz) tao(s)

Teóricos 6.390 1.017 0.983

Experimentales (1 ciclo) 6.740 1.073 0.932

Tabla #10. Datos teóricos en base a la masa y constante del resorte y los datos experimentales basados en el tiempo de oscilación.

%Error Wn

5.476

Tabla #11. Valor de error porcentual de la experiencia.

Cálculos Promedio=

!"#!$#!% %

=

$.)%#$.)-#$.' %

Frecuencia Circular Teórica

Wn=* = *

= 6.390

*

8.1667

/01

+

..$

234

Frecuencia Circular Experimental

Wn=2π(Fn)=2π (1.073) =6.740

/01 234

= 2.80&𝑠𝑒𝑔

Frecuencia Natural Teórica

Fn= $7 = 56

6.390

$7

= 1.017Hz

Frecuencia Natural Experimental

Fn= = = 1.073Hz 9 0.932 "

"

Periodo Teórico

𝜏 = :6 = "

" 1.017

= 0.983 seg

Periodo Experimental

𝜏=

𝑃𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 2.80 = = 0.932&𝑠𝑒𝑔 3 3

Resorte n°3: Masa

Resorte

Fuerza

K

g

kg

cm

m

N

N/m

0

0

48

0.48

0

0

50

0.05

53

0.53

0.49

0.9245283

75

0.075

55

0.55

0.735

1.33636364

100

0.1

58

0.58

0.98

1.68965517

125

0.125

60

0.6

1.225

2.04166667

150

0.15

62

0.62

1.47

2.37096774

175

0.175

64

0.64

1.715

2.6796875

200

0.2

66

0.66

1.96

2.96969697

225

0.225

69

0.69

2.205

3.19565217

250

0.25

71

0.71

2.45

3.45070423

275

0.275

73

0.73

2.695

3.69178082

300

0.3

75

0.75

2.94

3.92

Tabla #12. Datos de masas y elongación del resorte para determinar su constante de elasticidad.

Furza vs Deformacion 3.5 3

Fuerza(N)

2.5 2 1.5 1 0.5

y = 10.927x - 5.2936

0 -0.5

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

Deformación (m)

Gráfico #3. Gráfica de Fuerza vs Deformación del resorte #3

0.8

Masa Resorte#1 Kg cm m g 0 0 49 0.49 200 0.2 66 0.66 Tabla #13. Datos obtenidos a partir del resorte 3 del primer laboratorio mostrando la masa para las oscilaciones y su posición inicial y final Datos del Resorte 0.2 m (Kg) k (N/m) 10.927 0.48 Xo (m) Xf (m) 0.66 Tabla #14.Datos de la masa y constante del resorte y las posiciones final y inicial para la experiencia Tiempos (seg) t1 2.57 2.56 t2 2.50 t3 Tabla #15. Datos de los tiempos tomados con la masa de 200 gramos para 3 oscilaciones Promedio (seg) 2.543 Tabla #16. Promedio tomado de los 3 tiempos tomados Datos Teóricos Experimentales (1 Ciclo) Wn (rad/seg) 7.392 7.407 Fn (Hz) 1.176 1.179 Tao (seg) 0.85 0.848 Tabla #17. Datos teóricos en base a la masa y constante del resorte y los datos experimentales basados en el tiempo de oscilación. 0.20 %Error Wn Tabla #18. Valor de error porcentual de la experiencial Cálculos !"#!$#!%

Promedio=

%

=

$.()#$.(-#$.(. %

= 2.543&𝑠𝑒𝑔

Frecuencia Circular Teórica Wn=* = * *

"..'$)

+

..$

= 7.392

/01 234

Frecuencia Circular Experimental /01

Wn=2π(Fn)=1.179 234

Frecuencia Natural Teórica Fn= $7 = 56

).%'$ $7

= 1.176 Hz

Frecuencia Natural Experimental !

!

"

#.%&%

Fn= =

= 0.848 Hz

Periodo Teórico 𝜏 = :6 = "

" ".")-

= 1.261 seg

Periodo Experimental 𝜏=

𝑃𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 2.543 = 0.848&𝑠𝑒𝑔 = 3 3

Explique las posibles fuentes de error en la realización del laboratorio

Entre las posibles fuentes de error del laboratorio podemos encontrar que al utilizar un simulador en línea este nos limita a la realidad de hacer el laboratorio de manera presencial donde podemos encontrar efectos por la resistencia del viento, el ruido, las vibraciones del mismo edificio, es decir, efectos que tal vez en su programación este no tome en cuenta y por ende afecte los datos experimentales. También debemos de tomar en cuenta los errores de medición de tiempo. ¿Qué suposiciones son nec necesarias esarias para la planificación del modelo matemático estudiado en este la laboratorio? boratorio?

Para poder realizar el modelo matemático, se tiene que suponer que se trata de un sistema mecánico que no posee amortiguamiento y que además por ser virtual la experiencia no tenemos efecto de la gravedad por ende es despreciable. Demuestre matemáticamente la obtención de la frecuencia natural de oscilación analítica.

Partimos de la ecuación que dirige el movimiento:

Teniendo como solución: x(t)=Acos* + 𝐵𝑠𝑒𝑛* + *

* +

donde el argumento de las funciones

coseno y seno lo denotamos como Wn o frecuencia natural. ¿De qué parámetros depende la rigidez de un sistema? Explique

Depende principalmente del material del resorte, además de su geometría.

¿De qué parámetros depende la frecuencia natural de osc oscilación ilación del sistema masa resorte? Explique.

La frecuencia natural es importante mencionar que es una característica única de la combinación del material del resorte junto con la cantidad de masa que este soportará, este no se verá influido por las diferentes configuraciones, de la presencia de amortiguadores, o de las fuerzas externas que podremos o no tener. Esta solo dependerá de la constante de rigidez del material, junto con la cantidad de masa sostenida por el mismo.

CONCLUSIONES

Como observamos en los cálculos teóricos nuestra frecuencia natural está completamente relacionada entre la rigidez del resorte y su masa. La masa por lo observado en la experiencia generará un movimiento armónico simple en nuestro sistema, ya que esta oscilaba producto de la energía cinética y potencia que adquiere el resorte y la masa y a su vez esto varía en el tiempo. La masa y el tiempo están también relacionadas y son proporcionales, ya que, a mayor masa, mayor será el tiempo de oscilación. Roderick López 8-934-1286 En este experimento se realizaron calculos para determinar el porcentaje de error que hay entre los datos experimentales y los datos teoricos de un resorte osilante con una masa de 200g . Se utilizo el programa del laboratorio anterior y se demostro la relacion que tiene la masa y el tiempo ya que a mayor masa, mas tiempo tarda el resorte en osilar. Abel Brandao 8-936-462

El sistema masa-resorte, tal y como se estudió en la práctica, es un ejemplo de vibraciones libres ya que la elongación del resorte no sufre ninguna clase de amortiguamiento y se considera uno de los mas simples de los casos del tipo de movimiento. Además, también podemos decir que la oscilación es el movimiento que se tiene con respecto a su posición de equilibrio. Otro punto como conclusión es que como pudimos visualizar a través de este laboratorio la relación que hay con los cálculos teóricos y experimentales al sacar las frecuencias naturales, circulares y el periodo daban de una manera similar, esto se confirma ya que al sacar el %error no es muy grande para que haya mucha diferencia. Además, también observamos que entre mas peso tenia la masa, mas tiempo para oscilar iba a tener sin embargo también hay que tener en cuenta el grosor del resorte ya que también influye en el tiempo porque entre mas grueso este el resorte menor será el tiempo de oscilación. Julia Vergara 8-940-1144

REFERENCIAS

•

Vibraciones mecánicas. Movimiento Armónico Simple. (2020). Retrieved 29 September 2020, from https://es.slideshare.net/cesiarbkrojasalonso/vibracionesmecnicas-movimiento-armnico-simple

•

Virtual UTP contingente - Universidad Tecnológica de Panamá: Entrar al sitio. (2020). Retrieved 29 September 2020, from https://virtual.utp.ac.pa/moodle/pluginfile.php/297078/mod_resource/content/1/Gu%C3 %ADa%20de%20Laboratorio%20%232%20-%20Dinámica%20Aplicada.pdf...