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Diseño en cuadro grecolatino

Diseño en cuadro grecolatino Con el diseño en cuadro grecolatino (DCGL) se controlan tres factores de bloque, además del factor de tratamientos. Se llama cuadro grecolatino porque los cuatro factores involucrados se prueban en la misma cantidad de niveles, de aquí que se pueda escribir como un cuadro (véase tabla 4.8); además, se utilizan letras latinas para denotar a los tratamientos y letras griegas para nombrar a los niveles del tercer factor de bloque. Al igual que en el cuadro latino, cada letra (latinas y griegas) debe aparecer sólo una vez en cada renglón y en cada columna. Además, cada par de letras debe aparecer sólo una vez en todo el arreglo. En la tabla 4.8 se presenta el aspecto de los datos del diseño en cuadro latino de dimensión k = 4. El modelo estadístico que describe a las mediciones en un cuadro grecolatino está dado por Yijlm = µ + τ i + γ j + δl + ϕ m + εijlm donde Yijlm es la observación o respuesta que se encuentra en el tratamiento i (i-ésima letra latina), en el renglón j, en la columna l y en la m-ésima letra griega; ti es el efecto del tratamiento i, gj es el efecto del renglón j, dl representa el efecto de la columna l y jm representa el efecto de la m-ésima letra griega, que son los niveles del tercer factor de bloque; el término eijlm representa el error aleatorio atribuible a la medición Yijlm. Es importante no confundir las letras griegas del modelo que representan efectos, con las letras griegas en el diseño que simbolizan a los niveles del tercer factor de bloque. La variabilidad total presente en los datos se puede partir de la manera usual como SCT = SCTRAT + SCB1 + SCB 2 + SCB 3 + SCE donde las sumas SCB1, SCB2 y SCB3 miden la variabilidad debida a los factores de bloque renglón, columna y de letras griegas, respectivamente. Para k tratamientos, los grados de libertad correspondientes a cada suma son k 2 − 1 = ( k − 1) + ( k − 1) + ( k − 1) + ( k − 3)( k − 1) Un bosquejo del análisis de varianza se muestra en la tabla 4.9, en la cual se prueban las hipótesis de igualdad de letras latinas (tratamientos), de renglones, de columnas y de letras griegas.

Tabla 4.8 Diseño en cuadro grecolatino. Columnas

Renglones

1 2 3 4

1

2

3

4

Aa Bd Cb Dg

Bb Ag Da Cd

Cg Db Ad Ba

Dd Ca Bg Ab

Cuadro grecolatino Diseño en el que se controlan tres factores de bloques y un factor de tratamiento; los cuatro factores utilizan la misma cantidad de niveles.

CAPÍTULO 4 Diseños de bloques Tabla 4.9 ANOVA para el diseño en cuadro grecolatino. Fuente de variabilidad

Suma de cuadrados

Tratamientos (letras latinas)

k

SCTRAT = ∑ i = 1

Factor de bloque I (renglones)

SCB 1 = ∑ j

Factor de bloque II (columnas)

SCB 2 = ∑ l =1

Factor de bloque III (letras griegas)

SCB3 = ∑ m

k

k

k

=1

2 Yi ••• Y2 − •••• k N

Y•2j ••

=1

Grados de libertad

k

k–1

2

−

Y •••• N

2

k–1

2

Y•• l• Y•••• − k N

k–1

2 Y•••2 m Y •••• − k N

k–1

Error

SCE = SCT − SCTRAT − SCB1 − SCB 2 − SCB 3

Total

SCT = ∑i = 1

k

∑

k j =1

k

k

l =1

m =1

∑ ∑

2 Yijlm −

(k – 3)(k – 1)

2 Y•••• N

k2 – 1

Ejemplo 4.3 En el caso de ejemplo 4.1, donde se comparan cuatro métodos de ensamble y se tiene el factor de bloque operador, se podrían tener dos factores de bloque adicionales: orden en el se hace el ensamble y lugar donde se hace. De acuerdo con esto, el diseño en cuadro grecolatino se observa en la tabla 4.10. El análisis de varianza para el ejemplo se muestra en la tabla 4.11, en donde se aprecia que el único efecto significativo son los tratamientos (métodos), y ninguno de los factores de bloque tiene un efecto significativo sobre el tiempo de ensamble. El factor operador tiene un valor-p bajo, lo cual indica que podría tener un efecto significativo; sin embargo, en este experimento fue imposible detectarlo. La comparación de medias para métodos de ensamble se muestra en la siguiente tabla: Prueba LSD para método al 95% de confianza Método

ni

Media

Grupos homogéneos

A

4

7.0

X

B C

4 4

9.25 12.0

X

D

4

12.75

X X

donde se aprecia que los métodos A y B no son diferentes, pero sí son distintos de los métodos C y D.

Uso de software Casi cualquier software estadístico incluye procedimientos para realizar análisis de varianza con dos criterios de clasificación.

Uso de software Tabla 4.10 Diseño en cuadro grecolatino para ensamble. Operador

Orden del ensamble

1

2

3

4

1

Cb = 10

B g = 10

Dd = 12

Aa = 7

2

Ba = 8

Cd = 15

Ag = 7

Db = 14

3

Ad = 6

Da = 14

Bb = 11

C g = 13

4

d g = 11

Ab = 8

Ca = 10

Bd = 8

Los métodos son las letras latinas A, B, C y D. El lugar de trabajo son las letras griegas a , b, g y d .

Tabla 4.11 ANOVA para diseño en el cuadro grecolatino de la tabla 4.10. Fuente

Suma de cuadrados

Gl

Cuadrado medio

Razón F

Valor-p

27.8333

23.86

0.0135

Método

83.5

3

Operador

18.5

3

6.16667

5.29

0.1024

Orden

9.5

3

3.16667

2.71

0.2170

Lugar

2.0

3

0.666667

0.57

0.6714

Residual

3.5

3

1.16667

117.0

15

Total (corregido)

Las combinaciones de prueba, así como la respuesta observada se capturan manualmente en el editor de datos. Se requiere una columna por cada factor controlado en el experimento, más la columna de la variable de respuesta. Por ejemplo, en el caso del DBCA se requieren tres columnas: una para el factor de tratamientos, otra para el factor de bloques y la de la respuesta, y así sucesivamente, también se agrega una columna adicional por cada factor de bloque considerado. Se recomienda capturar los datos y combinaciones de prueba en el orden en que se hayan realizado, ya que con ello se podrá comprobar el supuesto de independencia de los residuos. En particular, en Statgraphics, la secuencia para el análisis de los diseños que usan cuando menos un factor de bloques es: Compare Æ Analysis of variance Æ Multifactor anova. Existe otra posibilidad más práctica que ayuda a crear el diseño y las columnas, a la cual se accesa con la siguiente secuencia de opciones: Special Æ Experimental Design Æ Create Design Æ Single Factor Categorical. Después se elige el número de niveles del factor de tratamientos. Luego aparece una pantalla donde se elige el tipo de diseño a ser empleado, se incluye el diseño completamente aleatorizado y los diseños de bloque vistos en este capítulo.

CAPÍTULO 4 Diseños de bloques

En Minitab se crean columnas y se registran los datos como se indicó antes, y se sigue la secuencia Stat Æ Anova Æ Two-way.

Uso de Excel El ANOVA de un diseño completamente al azar o con un criterio de clasificación se realiza con la secuencia: Herramientas Æ Análisis de datos Æ Análisis de dos factores con una sola muestra por grupo. Si no estuviera activada la opción de Análisis de datos, ésta se activa con la opción Complementos dentro del mismo menú de Herramientas. Se declara el rango de los datos, que pueden estar acomodados por columnas o por renglones. La salida contiene las estadísticas básicas de cada una de las muestras y el ANOVA correspondiente....