Les bases de l’optique géométrique PDF

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Cours sur les bases de l'optique différentielle....

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Les bases de l’optique géométrique

Introduction : Ce cours est une introduction à quelques notions de bases en optique géométrique : lois de la réfraction, prisme, nature de la lumière.

Table des matières 1 La lumière 1.1 Aspect ondulatoire . . . . . 1.1.1 Ondes lumineuses . . 1.1.2 Propagation dans un réfraction . . . . . . 1.2 Aspect corpusculaire . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . milieu matériel homogène transparent isotrope : indice de . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 Base de l’optique géométrique 2.1 Hypothèse fondamentale de l’optique géométrique . . . . . 2.2 Notion de rayon lumineux . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Faisceau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.3 Peut-on isoler un rayon lumineux ? . . . . . . . . . 2.3 Principes fondamentaux de l’optique géométrique . . . . . 2.3.1 Indépendance des rayons lumineux . . . . . . . . . 2.3.2 Principe du moindre temps (principe de Fermat) 2.3.3 Principe du retour inverse de la lumière . . . . . .

2 2 2 3 3

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3 4 4 4 4 4 5 5 5 5

3 Lois de Descartes (ou de Snell-Descartes), 1637 3.1 Lois de la réflexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Lois de la réfraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Enoncé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2 Passage d’un milieu moins réfringent à un milieu plus réfringent 3.2.3 Passage d’un milieu plus réfringent à un milieu moins réfringent 3.2.4 Propagation dans un milieu inhomogène . . . . . . . . . . . . . 3.2.5 Application : le prisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . : n1 < n 2 : n2 < n 1 . . . . . . . . . . . .

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5 5 6 6 7 7 8 8

4 Les sources de lumière 4.1 Sources primaire ou secondaires 4.1.1 Sources primaires . . . . 4.1.2 Sources secondaires . . . 4.2 Sources ponctuelles ou étendues

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1

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10 10 10 10 11

1

La lumière

Le problème de la "nature" de la lumière a occupé une place centrale dans le développement des idées scientifiques. Corpusculaire pour Newton (1642–1727), ondulatoire pour Huyghens (1629–1695), elle conservera ce dernier aspect avec Fresnel (1788–1827), Maxwell (1831–1879) avant que son aspect corpusculaire ne réapparaisse à nouveau, au niveau quantique avec Planck (1858–1947) et Einstein (1879–1955) et la notion de photons.

1.1

Aspect ondulatoire

1.1.1

Ondes lumineuses

La lumière peut être considérée comme une "onde électromagnétique", c’est-à-dire comme un champ ~ ~ ; t)) qui se propage. Elle est caractérisée par une double périodicité : électromagnétique (E(M ; t) ; B(M • Période temporelle : T =

2π 1 . = ω ν

Avec ν la fréquence (Hz), ω la pulsation en rad.s−1 . • Période spatiale : λ = vT . Avec λ la longueur d’onde et v la vitesse de propagation de l’onde. Les ondes lumineuses se propagent dans le vide à la vitesse de la lumière, soit 3, 0 · 108 m.s−1 . Pour une longueur d’onde dans le vide : λ0 = cT . La seule grandeur qui ne dépend pas du milieu de propagation est T (ν). v et λ en dépendent. Dans le domaine visible, à une onde monochromatique de longueur d’onde dans le vide λ0 correspond une couleur bien déterminée (l’inverse n’est pas vrai : une couleur ne correspond pas nécessairement à une longueur d’onde donnée). La lumière visible n’appartient qu’à une infime partie du spectre électromagnétique. La lumière est en général la superposition d’ondes monochromatiques de différentes longueurs d’onde. Ainsi, la lumière blanche peut être décomposée pour former un spectre lumineux. À l’inverse, une lumière monochromatique ne peut être décomposée. Energy Increases 1024

1022

1020

-rays

10− 16

10− 14

1018

1016

x-rays

10− 12

10− 10

1014

UV

10− 8

1012

108

Microwave

IR

10− 6

1010

10− 4

10− 2

106

FM AM Radio waves

100

102

500 Energy increases

600 Wavelength increases

2

700

(nm)

102

100

(Hz)

Long radio waves

104

Visible spectrum

400

104

106

108

(m)

1.1.2

Propagation dans un milieu matériel homogène transparent isotrope : indice de réfraction

Pour un milieu, • Transparent : les ondes lumineuses se propagent sans atténuation. • Homogène : les mêmes propriétés en tout point. • Isotrope : mêmes propriétés dans toutes les directions Dans un tel milieu, l’interaction entre l’onde et ce milieu modifie la vitesse de propagation v par rapport au cas du vide. On pose alors l’indice de réfraction du milieu n : n=

c . v

On a toujours n ≥ 1. On peut alors comparer la longueur d’onde d’une radiation monochromatique (ω) dans le vide (λ0 ) et dans un MHTI (λ) : λ0 . n Le phénomène de dispersion s’explique ainsi, n dépend de λ0 , donc de ν en général, donc v dépend de ν, les ondes de couleurs différentes vont à des vitesses différentes. Pour les milieux utilisés, on peut assez souvent se limiter à la relation simplifiée (loi de Cauchy : λ0 = cT = nvT = nλn ⇐⇒ λn =

n=A+

B λ02

.

Où A et B sont des constantes positives qui dépendent du milieu. λ0 (bleu) < λ0 (rouge) ⇐⇒ n(bleu) > n(rouge). Exemples : ✿✿✿✿✿✿✿✿✿

milieu air (CNTP : 1 bar, 0◦ C) eau (20◦ C) verres diamant

n pour la raie D du sodium (589,3 nm) 1,00029 1,33 1,5 (classique) à 1,7 2,4

L’air est donc un bon modèle pour simuler le vide.

1.2

Aspect corpusculaire

Pour interpréter certains phénomènes d’interaction lumière/matière, il est nécessaire de considérer la lumière comme un ensemble de particules. Il s’agit de "photons", particules de masse nulle, se déplaçant à la vitesse c, possédant un quantum d’énergie : E = hν =

hc . λ

h étant la constante de Planck égale à 6, 62 · 10−34 J.s.

2

Base de l’optique géométrique

On se limitera dans la suite à la propagation de la lumière dans un MHTI. La lumière considérée est à priori monochromatique de manière à ce que les indices soient bien déterminés.

3

2.1

Hypothèse fondamentale de l’optique géométrique

Dans un MHTI, la lumière se propage en ligne droite.

A forme opaque source S ponctuelle

a

ombre portée

d D

écran

D’après Thalès, A D = . d a

2.2 2.2.1

Notion de rayon lumineux Définition

C’est une droite où une portion de droite suivie par la lumière et elle n’a pas d’existence physique, il faut toujours orienter un rayon lumineux dans le sens de propagation de la lumière. 2.2.2

Faisceau

Un faisceau lumineux est un ensemble de rayons lumineux passant par un point donné. Il est composé d’une infinité de rayons.

Faisceau conique : pour réaliser un faisceau lumineux conique il suffit de placer un diaphragme circulait devant une source ponctuelle. Le faisceau lumineux est donc un cône qui a pour origine le point source et qui coupe la surface délimitée par le diaphragme.

S

Faisceau parallèle : on peut cependant observer des faisceaux lumineux parallèles et non de forme conique. C’est par exemple le cas d’un faisceau laser ou si la source ponctuelle de lumière est infiniment loin du diaphragme. En première approximation, le faisceau cylindrique d’un laser (très petit diamètre) peut être assimilé à un "rayon lumineux". 2.2.3

Peut-on isoler un rayon lumineux ?

Par définition, un rayon lumineux est infiniment fin. Il faudrait donc, pour en isoler un, réduire le diamètre du diaphragme. Que se passe-t-il donc si l’on réduit de manière conséquence le diaphragme ? 4

Le faisceau devient de plus en plus fin mais lorsque le diaphragme se trouve être de taille comparable à la longueur d’onde de la lumière, le faisceau "s’ouvre" : c’est le phénomène de diffraction 1 . écran

écran avec fentes

2

1

0

-1

-2

-3

La z

er

3

On retiendra finalement que l’optique géométrique est l’étude approchée de la propagation de la lumière au moyen de rayons lumineux et que la propagation rectiligne est une approximation qui n’est valide que dans la mesure où les diaphragmes limitant les faisceaux lumineux sont de dimensions très grandes devant la longueur d’onde de la lumière.

2.3

Principes fondamentaux de l’optique géométrique

2.3.1

Indépendance des rayons lumineux

Dans un MHTI, les rayons lumineux se propagent indépendamment les uns des autres. 2.3.2

Principe du moindre temps (principe de Fermat)

La lumière pour aller d’un point à un autre emprunte le chemin qui correspond à un temps de trajet minimal. La propagation rectiligne dans un MHTI obéit à ce principe : la ligne droite est le chemin le plus rapide. 2.3.3

Principe du retour inverse de la lumière

Tout trajet suivi par la lumière dans un sens peut l’être dans le sens opposé.

3

Lois de Descartes (ou de Snell-Descartes), 1637

Dans un milieu homogène, les rayons lumineux sont des droites, leur direction change en général brusquement lors des "réflexions" et des "réfractions", et les lois de Descartes déterminent quantitativement ces changements de pente.

3.1

Lois de la réflexion

Une surface catadioptrique est une surface réflechissante. 1. Voir le cours : http://monamphi.com/cours/105859

5

A´

A

rayon réfléchi

rayon incident u N u

i r I

I est le point d’incidence, AI est le rayon d’incidence. i = ( ~N ; −~u) est appelé angle d’incidence, ~ ; ~u) est l’angle de réflexion. Le plan défini par le rayon incident et la normale est appelé plan r = (N d’incidence. Première loi de la réflexion : le rayon réfléchi appartient au plan d’incidence. Deuxième loi de la réflexion : le rayon réfléchi est le symétrique du rayon incident par rapport à la normale : r = −i. Remarque : les angles sont toujours mesurés par rapport à la normale. On n’est pas obligé de les orienter.

3.2 3.2.1

Lois de la réfraction Enoncé

Dioptre = ensemble de deux milieux homogènes d’indice différent séparé par une surface dioptrique qui fixe la nature du dioptre. Le plus souvent, le dioptre est plan ou sphérique.

A´

A

rayon réfléchi

rayon incident

n1

i1 r = -i1

n2 i2 rayon réfracté Première loi de la réfraction : le rayon réfléchi se trouve dans le plan d’incidence. Deuxième loi de la réfraction : n1 sin(i1 ) = n2 sin(i2 ). Remarques : • Les rayons incidents et réfractés sont de part et d’autre de la normale. • i1 et i2 ∈] − π/2 ; π/2[ et sont de même signe (n1 et n2 positifs) : le rayon traverse donc la normale lors de la réfraction. • Aux petits angles, on se contente souvent de la relation approchée (attribuée à Kepler) : n1 i1 = n2 i2 (sin(x) ≃ x si x ≪ 1 rad, si x est en degré, l’approximation est valable pour x < 10◦ ). 6

• Si le dioptre n’est pas plan, on doit faire intervenir le plan tangent au dioptre en i. • i1 = 0 ⇒ i2 = 0. • Les intensités lumineuses associées aux faisceaux réfracté et réfléchi dépendent des deux milieux et de l’angle d’incidence. Par exemple, en incidence normale, les coefficients de réflexion et de transmission de l’intensité lumineuse sont : R=

n1 − n2 n1 + n2

!2

et T =

4n1 n2 avec R + T = 1. (n1 + n2 )2

Pour un dioptre air (n = 1)/verre (n = 1, 5) en incidence normale on a R = 4 % et T = 96 %. Bien que toute l’intensité incidente soit transmise, il est souvent nécessaire de traiter les surfaces optiques pour diminuer encore la réflexion (couches anti-reflets). 3.2.2

Passage d’un milieu moins réfringent à un milieu plus réfringent : n1 < n2

Cette situation correspond au dioptre air → verre. n1 sin(i1 ) = n2 sin(i2 ). sin(i2 ) n1 = < 1 ⇐⇒ sin(i2 ) < sin(i1 ) ⇐⇒ i2 < i2 . n2 sin(i1 ) Par la croissance de sinus sur l’intervalle ] − π/2 ; π/2[. On en conclut que le rayon se rapproche de la normale. Cône de réfraction et angle de réfraction limite : si i1 = 90◦ , on a, n1 sin(90) = n2 sin(i2

lim ).

D’où, n1 < 1 ⇐⇒ i2 sin(i2 lim ) = n2

lim

= arcsin

n1 n2

!

.

Globalement, pour tout rayon incident en I, il existe un rayon réfracté à l’intérieur d’un cône de sommer I et de demi-angle au sommet. Applications : trou dans la glace, pour en sortir mieux vaut descendre même si la luminosité diminue. En chimie, les réfractomètres sont basés sur le repérage de l’angle limite de réfraction, ils permettent de mesurer les indices de réfraction des liquides. 3.2.3

Passage d’un milieu plus réfringent à un milieu moins réfringent : n2 < n1

On utilise le même raisonnement que ci-dessus où on utilise le principe du retour inverse. Quand on passe d’un milieu plus réfringent à un milieu moins réfringent, le rayon s’écarte de la normale. Il n’y a pas toujours de rayon réfracté, précisément, celui-ci n’existe que si le rayon incident appartient à un cône de sommet I et de demi-angle au sommet. Si i1 > i1 lim alors il y a réflexion totale. Application : le phénomène de réflexion totale est utilisé pour canaliser ou guider la lumière : fibre optique.

7

3.2.4

Propagation dans un milieu inhomogène

On découpe le milieu en tranches élémentaires d’indice défini, deux tranches successives ayant des indices infiniment voisins. z

n(z) décroissant

n6 n5 n4 n3 n2 n1 Ce phénomène est à l’origine des mirages : l’air se atmosphérique,

À chaque changement de tranche, le rayon s’écarte de la normale, le rayon est courbé et la courbure est orientée vers les zones d’indices supérieurs. On a n sin(i) = constante.

réchauffe au contact du sol brûlant. À pression

m nM P M = = . V V RT L’indice diminue en se rapprochant du sol car ϕ diminue (l’indice de réfraction se rapproche de l’indice de réfraction du vide). P V = nRT ⇒ ϕ =

z

n croissant

Le point d’eau que l’on croit voir est en réalité le ciel !

Sol Remarque : il existe des mirages supérieurs ou "froids" associés à une décroissance de l’indice de réfraction avec l’altitude (inversion de température). 3.2.5

Application : le prisme

Un prisme est l’association de deux dioptres plans non parallèles. Les surfaces dioptriques, qui limitent un MHTI d’indice n, se coupent suivant l’arête ∆, elles constituent les faces du prisme. L’angle dièdre qu’elles forment est l’angle du prisme noté A. On se limitera aux prismes en verre placés dans l’air et à la marche des rayons appartenant aux plans orthogonaux à l’arête (sections principales).

8

A J Par les lois de Descartes de la réfraction on a: (1) : sin(i) = n sin(r ).

D

I´ i´ I i

r´ r K

Et,

A

(2) : n sin(r ′ ) = sin(i′ ). S

Dans II ′ K, r + r ′ + (π − A) = π, d’où, (3) : A = r + r ′ . D correspond à la déviation, c’est-à-dire à l’angle entre le rayon d’entrée et le rayon de sortie. Dans II ′ J, on a, (i − r) + (i′ − r ′ ) + (π − D) = π ⇐⇒ D = (i + i′ ) − (r + r ′ ). D’où, (4) : D = (i + i′ ) − A. Si les angles sont petits, on peut considérer sin(α) ≃ α, d’où, (1) ⇐⇒ i = nr et (2) ⇐⇒ nr ′ = i′ . Donc, i + i′ = n(r + r ′ ) = nA ⇐⇒ D = (n − 1)A. Si on utilise des angles orientés, on obtient les mêmes relations et D = (n − 1)A > 0, ce qui implique que le rayon est toujours dévié vers la base du prisme. Etude de la déviation D en fonction de l’angle d’incidence i. La déviation D dépend de A, n et i. L’étude expérimentale de la fonction D = f (i) pour un prisme donné éclairé en lumière monochromatique (A et n fixés) montre que D = f (i) admet un minimum Dm en im et qu’à ce minimum de déviation Dm , on a, A et i′m = im . 2

′ =r = rm m

Et donc, sin(im ) = n sin

A 2

!

et Dm = 2im − A.

D’où, n=

sin

 A+D  m

sin

 A2 

.

2

Pour ainsi déterminer n expérimentalement, on cherche Dm .

9

Etude de la dispersion. On étudie ici la fonction D(n), A et i étant fixés. Les relations montrent que : (1)

(3)

(2)

(4)

n croissant ⇒ r décroissant ⇒ r ′ croissant ⇒ i′ croissant ⇒ D croissant. La fonction D(n) est donc croissante. Or, n = n(λ0 ) : le prisme permet de séparer spatialement les composantes spectrales de la lumière incidente : n(λ0 ) décroissante et D(n) croissante ⇐⇒ D(λ0 ) décroissante.

spectre de la lumière blanche lumière blanche

4

Les sources de lumière

Avant le XVIIème , la nature de la lumière et sa propagation ne sont pas des questions essentielle. Cependant, la notion de rayon lumineux existe déjà et permet à Euclide (IVème -III ème siècle avant JC) de poser les bases de l’optique géométrique. Mais à cette époque, la source de lumière est considérée comme étant dans l’oeil. Il faut attendre le XI ème siècle pour qu’Alhazen (965–1039), physicien arabe, attribue à la lumière une origine extérieure à l’oeil, définisse la notion d’image et interprète la formation des images dans l’oeil.

4.1

Sources primaire ou secondaires

L’oeil est donc un récepteur qui ne peut voir que des objets lumineux soit parce qu’ils émettent de la lumière soit parce qu’ils la diffusent. 4.1.1

Sources primaires

"Objet qui émet directement de la lumière". Une source primaire émet dans toutes les directions, quelle que soit la position de l’observateur, celui-ci reçoit un rayon en ligne droite. ...