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Les outils de la gestion financière Initiation au Statistique , probabilité Vendredi 17H30

1er Partie : Initiations aux statistiques Chapitre 1 : Statistique a une variable 1. Définition : qu’est ce que la statistique ? La statistique est un ensemble de principes et de méthodes scientifiques pour recueillir , classer , synthétiser et communiquer des données numériques en vue de leur utilisation pour en tirer des conclusions et prendre des décisions . La diversité des usages du mot «!statistique!» reflète le double nature des pratiques sociales qui lui sont associés . A l’activité administrative d’élaboration des données se combine la réflexion scientifique , mathématique . Le terme de statistique est riche de signification , au singulier c’est un ensemble de techniques mathématiques de traitement des données numériques . La statistique renvoie a une méthode scientifique , une branche des mathématiques dont les principes découlent de la théorie des probabilités et qui a pour objet le groupement méthodique ainsi que l’étude des séries de faits ou de données numériques . Au pluriel , les statistiques sont synonymes de nombres , de données , d’informations numérique , elles indiquent une pluralités de phénomènes a travers les nombres attachés a l’appréhension de ceux-ci . Une statistique est une série de nombre parmi d’autre séries possible . De plus , le terme statistique désigné fréquemment une série numérique . 2. Statistique a une variable 2.1 Etude statistique L’analyse statistique consiste a extraire une information utile et synthétique d’un ensemble d’observations . L’étude doit se limiter a une population qui , pout le gestionnaire , sera par exemple la production d’une usine , les salariés d’une entreprise ou encore un ensemble de consommateurs d’un produit . L’analyse de cette population se fait a travers d’une grille de critères encore appelé caractère . Ces caractères peuvent être qualitatifs . On entend par qualitatif un caractère qui ne peut pas être évalué par un chiffre , par exemple , la couleur d’une voiture , le poste dans une entreprise ou nationalité .

1

Ces caractère peuvent être quantitatif . Selon le besoin de l’étude , on peut choisir de considérer chaque résultat individuellement , on parle alors de caractère discret , par exemple , le résultat a une épreuve ou le nombre de voiture dont dispose un individu . A) La fréquence Les statistiques sont un vecteur majeur de communication . L’actualité des entreprises regorge de données statistiques diverses qui par leurs présentations informent ( ou désinforment ) Le premiers élément de communication est la fréquence : on exprime l’importance d’une donnée sous forme de pourcentages . B) Exemple L’usine A a produit 457 objets dont 34 sont défectueux et l’usine B a produit 537 objets dont 42 sont défectueux . Il n’est pas évident a première vue de dire quelle usine a la meilleure qualité de production . Si on exprime les choses ainsi : l’usine A a 7.44% de producteurs défectueux et l’usine B en a 7.82% la comparaison est facile Pour cela , on utilise la formule de la fréquence : Fréquence = ( effectif considéré / effectif total ) x 100 2.2 Indicateurs de tendance centrale A) Moyennes Une moyenne est une valeur qui se trouve au milieu de toutes les autres . C’est un indicateur de tendance centrale qui permet d’appréhende une population de manière globale . La moyenne , comme les autres éléments du calcul statistique , ne s’utilise que pour de caractères quantitatifs

• Moyenne arithmétique simple Exemple Dans l’exemple suivant , on s’intéresse a la production mensuelle d’une usine sur une période de 6 mois Tableau 1 : Production mensuelle Mois Production en unité

Janvier 10000

Février 50000

Mars

Avril 20000

Mai 30000

Juin 30000

40000

2

Chaque mois a la même importance , si on cherche a calculer une moyenne de la production mensuelle , on ajoute les différentes production pour les diviser par le nombre de mois : Moyenne = ( 100000 + 500000 + 20000 + 30000 + 30000 + 40000 ) / 6 = 30000 En notant x1 , x2 … , xn les valeurs de la série et x ( x barre ) la moyenne , on a la formule générale d’une moyenne simple Moyenne = ẋ( x barre ) = ( x1 + x2 + …. + xn ) / n

• Moyenne arithmétique pondéré Exemple Une population de 100 clients évaluent un centre d’épelle téléphonique par une note de 0 a5 Tableau 1 : Résultat de l’évaluation Notes

O

Effectifs

10

1

2

3

4

5

15

10

35

25

5

Il s’agit dans cet ensemble de représenter la gradation des notes : 0 moins bon que 1 lui même moins bon que 2 … et l’importance de la représentation de chaque note donnée par l’effectif . Dans le cas du tableau précédent , on va chercher a déterminer une note moyenne de satisfaction . Les effectifs associés a chaque note sont prendre en considérations . En notant e1 , e2 …. , en les effectifs associes aux valeur x1 , x2 , … , xn et ( x barre ) la moyenne , on a la formule générale d’une moyenne pondérée Moyenne = ẋ( x barre ) = ( e1x1 + e2x2 + …. + enxn ) / e1+e2+… + en Ce qui , appliqué a la série du tableau 1 conduit a Moyenne = ( 0 x 10 + 1x15 + 2 x10 + 3 x 35 + 4 x 25 + 5x5 ) / 100 = 2.65

• Moyenne pour un caractère continu Il se pose le problème du choix de la valeur a considéré pour appliquer la formule précédente . La solution la plus pratique est de retenir les milieux de chacune des classes comme valeurs . Exemple On s’intéresse a la distance séparant le domicile d’un salarié d’une entreprise de son lieu de travail 3

Tableau 1 : Répartition des salariés Distance en KM

(O ;2)

( 2;5)

Effectifs

80

(5;10) 90

(10;20) 100

(20;50) 100

90

Dans l’exemple précédent du tableau , on trouve Moyenne = ( 1 x 80 + 3.5 x 90 + 7.5 x 100 + 15 x 100 + 35 x 90 ) / 80 + 90 + 100 + 100 + 90 = 12.60 KM Remarque Cette valeur est en réalité le reculât d’une approximation , on a supposé que les effectifs étaient repartis de manière homogène dans les intervalles . Cela justifie le choix du milieu des intervalles . On procédera de même pour les calculs d’écart moyen et d’écart type .

• Moyenne géométrique La moyenne arithmétique ne s’applique pas aux évolution en pourcentage car celui-ci ne peuvent s’additionner . Prenons l’exemple d’une variation de +10% suivie d’une variation de -10% . Il ne s’agit pas globalement d’une absence de variation mais au contraire d’une variation de - 1% . En effet , augmenter de 10% revient a multiplier une grandeur par 1.1% et baisser de 10% revient a multiplier par 0.9. Ainsi , au total il y aura une multiplication par 1.1 x 0.9 = 0.99 . Ceci correspond a une baisse de 1% . Exemple Pour une variation en pourcentage par exemple +5% , -6% , +8% , +14% on multiplie les valeurs correspondantes pour obtenir la variation globale . En assumant un taux de variation moyen Equivalant i sur 4 variation on trouve alors ( 1 + i )^4 = 1.05 x 0.94 x 1.08 x 1.14 Soit i = ( 1.05 x 0.94 x 1.08 x 1.14 )^1/4 - 1 = 4.99% . Il s’agit d’un calcul de moyenne géométrique . En notant x1.x2 , … , xn les valeurs d’une série et la moyenne , on a la formule générale d’une moyenne géométrique : Moyenne = ( x1 X x2 X … X xn )^1/n

• La moyenne harmonique Exemple . Considérons un investissement de 1000 euros pour acheter des actions un premier jours lorsque leur cours est a 5 euros . Supposons qu’un second investissement de 1000 euros est réalisé 20 jours plus tard lorsque le cours de cette action est passé a 4 euros . On peut alors calculer le cours moyen du portefeuille de cet individu pour ce titre . 4

Le premier jours l’individu a acheté 1000/5 = 200 action et le 20 ème jour il a acheté 1000/4 = 250 actions . Il a réalisé en tout un investissement de 2000 suros . Ainsi le cours de son portefeuille est de ( 1000 +1000/ (1000/5) + ( 1000/4) ) = ( 2 / ( 1/5) + ( 1/4) ) = 4.44 Il s’agit de la moyenne harmonique des valeurs 4 et 5 . En montant les valeurs d’une série et la moyenne , on a la formule générale d’une moyenne harmonique Moyenne = ( n / ( 1/x1) + ( 1/x2) + …. ( 1/xN ) ) B) Mediane On considère la suite de notes suivantes : 7 , 8 , 9 , 20 . La moyenne de cette série est 11 ( 44/4 ) . Il s’agit bien du milieu de ces 4 notes , pour autant 75% de ces notes sont en dessous de 10 et la moyenne semble donner une indication positive a savoir 11 . La moyenne est en effet très influencée par les valeurs extrêmes , ici le 20 .Il est donc utile de s’intéresser a un autre indicateur de tendance centrale qui est la médiane Definiton La médiane est la valeur de la série pour laquelle 50% de la population a ses valeurs en dessous et 50% a ses valeurs au dessus . Ici , la médiane est entre 8 et 9 , elle est de 8.5 . Cette valeur de 8.5 indique bien le fait que 3 notes sur 4 sont en dessous de 10 et que l’évaluation n’est aussi positive que semblait l’indiquer la moyenne Un autre exemple de différence sensible entre moyenne et médiane est le salaire . On note un salaire moyen net en France autour de 1800 € et un salaire médian net autour de 1500€ . L’explication est la même que pour la série précédente : des salaires élevés mais peu nombreux augmentent la moyenne des salaires mais n’ont que peu effet sur la médiane . Calcul pour un caractère discret Commençons par des exemple simples une série a : - 1 , 3 , 6 , 8 , 9 Les valeurs sont classées par ordre croissant , il y a 5 valeurs . La valeurs qui sépare la série en deux sous série de même taille est 6 . Ainsi la médiane est 6 . une série b : 4 , 24 , 32 , 50

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Il y a ici 4 valeur dans l’ordre croissant . Aucune de ces valeurs ne sépare la série en deux . La médiane se situe entre les deux valeurs du milieu entre 24 et 32 . La médiane est donc : 24+32 = 52 : 2 = 23 Méthode générale pour le calcule de la médiane On note N le nombre de valeurs de la série 1. On classe les valeurs par ordre croissant 2. Deux cas se présentent :

- Soit N impair et on calcule ( N+ 1 ) / 2 , la médiane est alors la valeur située a la position ( N + 1 ) / 2

- Soit N est pair et on calcule N / 2 , la médiane est alors la valeur située entre la valeur a la position N / 2 et la valeur a la position ( N / 2 ) + 1 Exemple Une population de 100 clients évaluent un centre d’apples téléphoniques par une note de 0a5: Notes Effectifs

0

1

2

3

4

5

10

15

10

35

25

5

100

Dans cette exemple , on a N = 100 donc la médiane est entre la 50 ème et la 51 ème valeur . N / 2 = 100 / 2 = 50 ème et la valeur a la position ( N / 2 ) + 1 = ( 100 / 2 ) + 1 = 51 ème On établit le tableau des effectifs cumulées croissant Notes

0

1

2

3

4

5

Effectifs

10

15

10

35

25

5

Effectif cumulée croissant

10

25

35

70

95

100

On constante ainsi que la 50 ème valeur est 3 et la 51 ème valeur est aussi 3 . Ainsi la médiane est 3 . Calcul pour un caractère continue Exemple On s’intéresse a la distance séparant le domicile d’un salarié d’une entreprise de son lieu de travail Tableau 1-2: Répartition des salariés 6

Distance en KM

(O ;2)

Effectifs

( 2;5) 80

(5;10) 90

(10;20) 100

(20;50) 100

90

460

Dans cette exemple , l’effectif total est 460 , on calcule 460 / 2 = 230 . Ainsi , la médiane se situe exactement ente la valeur de la 230 ème et 231 ème personne . On vas compléter le tableau avec les effectifs cumulée croissant Distance en KM

(O ;2)

( 2;5)

(5;10)

(10;20)

(20;50)

Effectifs

80

90

100

100

90

Effectif cumulée croissant

80

170

270

370

460

La dernier ligne du tableau indique que 170 personnes vivent entre 0 et 5 km de leur lieu de travail et 270 personnes vivent entre 0 et 10 km de leur lieu de travail . La médiane est donc l’intervalle ( 5 , 10 ) et correspond a un effectif cumulé de 230 .

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D’ou M = 5 + 3 = 8 KM . Cette méthode es reproductible . C) Mode Dans le cas d’une série discrète , le mode est la valeur ayant le plus grand effectif . Dans l’exemple du tableau 1-1 , résultat d’évaluation centrale d’appel , il s’agit de 3 . Tableau 1 : Résultat de l’évaluation Notes Effectifs

O 10

1

2

3

4

5

15

10

35

25

5

Dans le cas d’une série continue , on parle de classe modale pour évoquer la classe ayant le plus grand effectif , le mode est le milieu de cette classe . La notion de mode n’a 8

d’intérêt que pour les séries pour lesquelles une valeur se détache des autres par l’importance de son effectif . La recherche du mode ne présente pas d’intérêt dans l’hypothèse ou l’ensemble des classes ont des effectifs proches . 2.3 Indicateurs de dispersion Comparons les deux séries suivantes série a : 0 , 1 , 19 , 20 série b : 8 , 9 , 11 , 12 Ces deux séries ont la même moyenne et la même médiane , cependant elles sont significativement différentes . La différence essentielle entre elles est leur étalement : la première série a des valeurs éloignées de la moyenne alors que la seconde a des valeurs proche de la moyenne . En statistiques , on utilise le terme de dispersion des valeurs . Les outils de mesure de la dispersions d’une série sont : A) Ecart-moyen L’écart-moyen est la mesure de dispersion la plus intuitive . Il se définit comme la moyenne des écarts a la moyenne de la série ( les écarts étant toujours comptés positivement ) . En notant m la moyenne de la série : e1 , e2… eN . les effectifs associes aux valeurs x1 , x2 .. xN on a la formule suivantes : Ecart-moyen = ( e1 I x1-m I + e2 I x2 - m I + …. + en I xn - m I ) / ( e1 + e2 + … + en ) N.B : Les valeurs absolues dans la formule servent a mesurer l’écart a la moyenne positivement Exemple Une population de 100 clients évaluent un centre d’appels téléphoniques par une note de 0a5 Tableau 1 : Résultat de l’évaluation Notes

O

Effectifs

10

1

2

3

4

5

15

10

35

25

5

La moyenne dans cet exemple a pour valeur 2.65 L’écart moyen = ( 10 x ( 0 - 2.65 ) + 15 x ( 1 - 2.65 ) + 10 x ( 2 - 2.65 ) + 35 x ( 3 - 2.65 ) + 25 x ( 4 - 2.65 ) + 5 x ( 5 - 2.65 ) ) / 100 = 1.16

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Remarque : L’écart moyen est très peu utilisé en comparaison de l’écart type . L’écart type a une grande importance en probabilités , au niveau de la loi normale en particulier , qui justifie son utilisation majoritaire pour mesurer la dispersion d’une série . B ) L’écart type L’écart type est l’élément le plus utilisé pour mesurer la dispersion d’une série . Voici la formule définissant l’écart type : notons °—-. L’écart type , m la moyenne et e1 , e2 …. eN . Les effectifs associé e1 , e2 ….. En . La valeur x1 , x2 …. xN . En développement cette formule , on peut établir la propriété suivante :

Ecart type = √ moyenne des carres - moyenne au carré Tableau 1-2: Répartition des salariés Distance en KM Effectifs Moyenne pour un caractère continue

(O ;2)

( 2;5) 80

(5;10) 90

( 0+1) / 2 = ( 2+5)/ 2 = 1 3.5

(10;20) 100

7.5

(20;50) 100

90

15

35

460

1. Calcule de la moyenne des carrées 10

80 x (1)*2 + 90 x (3.5)*2 + 100x(7.5)*2 + 100x(15)*2 + 90x(35)*2 / 80 + 90 + 100 + 100 + 90 = 303.39 ( 1 x 80 ) + ( 90 x 12.25) + ( 100 x 56.25 ) + ( 100 x 22.5 ) + ( 90 x 1225 ) / 80 + 90 + 100 + 100 + 90 = 303.38 2. Calcul de la moyenne au carré La moyenne a déjà été calculée . Elle est de : 12.6 . Donc la moyenne au carré = ( 12.6 )*2 = 158.76 3. Calcul de l’écart type Ecart type = √ 303.39 - 158.76 = 12.03 C) Les quartiles Les quartiles sont des valeurs qui permettent de couper une population en 4 souspopulations de même taille . Le premier quartile correspond au premier quart de la population on le note Q1 . Le second quartile correspond au second quart de la population , il s’agit donc de la médiane . Le troisième quartile correspond au troisième quart . On le note Q3

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2.4 Interprétation des résultats A) Coefficient de variation L’écart moyen et l’écart type mesurent la dispersion : ainsi , plus leur valeur est grande plus la série est étalée . Mais que signifie un écart type grand ? Rien dans l’absolu , un écart type de 10 sera très grand pour une série dont les valeurs sont entre 0 et 30 et il sera très petit si les valeurs sont de l’ogre du million C’est pour cela qu’on utilise le coefficient de variation : CV = °—/ m ou °—- est l’écart type et m est la moyenne . Ainsi , une valeur importante de CV indique une dispersion importante relativement a la moyenne . B) Intervalle significatifs L’intervalle interquartille est l’intervalle { Q1 , Q3 } . C’est l’intervalle contient 50% de la population . Il sert a terminer la moitié centrale de la population

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L’intervalle de confiance { m - °— , m + °—- } contient dans une répartition normal , 68% de la population . Il peut s’avère utile de comparer la série a une distribution normale

C) indices Les cours boursiers, l’évolution des prix ou encore la production industrielle sont mesurés par des indices . Ces indices informent de manière synthétique . Leur seule donnée indique une progression ou une régression dans un secteur . On s’intéresse a la manière dont ils se calculent .

• Pourcentage d’evolution L’année 0 , un objet a un prix de 5 euros . L’année 1 son prix passe a 6 euros . L’augmentation de ce prix est donc de 1 euro . Que peut on en conclure pour un produit d’une valeur de 8 euros l’année 0 ? Rien a priori , car si le premier produit représente l’augmentation des prix du marché , son augmentation de 1 euro ne vas pas s’appliquer a l’ensemble des prix . Le second produit ne sera pas a 9 euros en année 1 . Considérons l’augmentation relative du prix au moyen de la formule : ( prix période 1 - prix période 0 ) / prix période 0

( 6 - 5 ) / 5 = 0.2 x 100 = 20% . L’augmentation relative du prix est de 20 % , cette donnée si elle représente l’évolution du marché , est utile pour conjecturer l’augmentation de n’importe quel prix . Le produit a 8 euro passera donc a 8 x 1.20 = 9.6 . Avant de relaies le calcul du prix d’un objet grâce a son taux d’augmentation relative , il faut rappeler que : Augmentation de t % : 1 + t % Diminution de t % : 1 - t%

• Mode de calcul des indices Indices élémentaires L’indice élémentaire d’un prix la période 1 par rapport a une période de référence 0 est donnée par la formule suivant en base 100 : i 1 / 0 = P1 / P0 x 100 P1 et P0 sont les prix a la période 1 et a la période 0 . La multiplication par 100 indique que l’indice est en base 100 , il existe des indices en base 1000 comme le CAC40 . Ainsi , pour un prix qui passe de 5 euros a 6 euros , on a : i 1/0 = 6 / 5 x 100 = 120 13

Les indices élémentaires servent a rendre compte des évolutions relatives des prix en ramenant les prix a 100 a la période 0 .Ainsi , ils permettent de comparer facilement des évolutions de prix pour des éléments de valeurs différentes Les obligations sont cotées sur les marchés financiers en...