Lista 5 Vetores LI LD Base e dimensão PDF

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GAAL 2017/1 Lista 5 Vetores LI e LD. Base e Dimensão. Produto escalar em ℝn Exercício 1: Considere os seguintes vetores em ℝ3 :

𝑉1 = (1; − 1; 1); 𝑉2 = (4; −2; 0) ; 𝑉3 = (0; −1; 2)

(a) Estes vetores são 𝐿𝐼 ou 𝐿𝐷?

(b) Caso sejam 𝐿𝐷, expresse um deles como combinação linear dos demais. Exercício 2: Sejam 𝑈, 𝑉 e 𝑊 vetores quaisquer de ℝn. Mostre que os vetores

𝑅 = 𝑈 + 3𝑉 − 2𝑊; 𝑆 = 4𝑈 + 7𝑉 + 2𝑊 e 𝑇 = 5𝑈 + 8𝑉 + 4𝑊

são linearmente dependentes exibindo explicitamente uma combinação linear não nula (não trivial) entre 𝑅 , 𝑆 e 𝑇 .

Exercício 3: Considere o seguinte subespaço de ℝ3 .

𝑊 = {( 𝑎 − 𝑏 + 𝑐, 2𝑎 + 𝑏 + 5𝑐, 𝑏 + 𝑐 ) ∈ 𝐼𝑅 3 , ∀ 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ}

(a) Determine uma base e a dimensão de 𝑊 .

(b) Complete esta base de 𝑊 até uma base de ℝ3 . Exercício 4: Considere o seguinte subconjunto de ℝ3 .

𝑊 = {(𝑎 − 𝑏 + 5𝑐; 2𝑎 + 3𝑏; 𝑎 + 4𝑏 − 5𝑐 ) ∈ ℝ3 ; ∀ 𝑎; 𝑏; 𝑐 ∈ ℝ}

Ele é um subespaço de ℝ3 ? Se for, determine uma base ortogonal para 𝑊 . Exercício 5: Considere o seguinte subconjunto de ℝ3 :

𝑊 = {𝑉 ∈ ℝ3 tal que 𝑉 é ortogonal a 𝑉0 = (2, −1,1)}

Descreva geometricamente este conjunto 𝑊 e determine sua equação geral. Determine também

um par de vetores unitários em 𝑊 e que sejam perpendiculares entre si, ou seja, determine uma base ortonormal de 𝑊 .

Exercício 6: Se 𝑉1 = (1; 0; 0; −1) e 𝑉2 = (1; 1; 1; 0), considere o seguinte subespaço 𝑊 de ℝ4 :

𝑉 ∈ 𝑊 se, e somente se, 𝑉 é ortogonal a 𝑉1 e 𝑉 é ortogonal a 𝑉2 . (a) Calcule uma base e a dimensão de 𝑊 .

(b) Os vetores 𝑉1 , 𝑉2 e 𝑉3 = (4; 3; 3; −2) são 𝐿𝐼 ou 𝐿𝐷? Justifique sua resposta.

Exercício 7: Seja 𝑊 o subespaço de ℝ4 gerado pelos vetores

𝑉1 = (1; 2; 0; 1); 𝑉2 = (0; 1; 1; −1); 𝑉3 = (2; 6; 2; 0) 𝑒 𝑉4 = (−1; 1; 3; −4):

(a) Mostre que os vetores 𝑉1 , 𝑉2 , 𝑉3 e 𝑉4 são linearmente dependentes.

(b) Determine a dimensão de 𝑊 .

(c) Encontre uma base ortogonal para 𝑊 . Exercício 8: Seja 𝑊 o conjunto solução do sistema linear homogêneo 𝐴𝑋 = 0, em que

(a) 𝑊 é um subespaço de qual ℝn?

1 −1 −1 0 𝐴 = [ 4 −5 −5 −1] −2 3 3 1

(b) Determine a dimensão e uma base para 𝑊 .

(c) Determine uma base ortogonal de 𝑊 .

Exercício 9: Considere o sistema linear homogêneo (𝐴 − 𝜆𝐼3 )𝑋 = 0 em que 1 1 2 𝐴 = [ 0 1 0] 0 1 3

(a) Determine os valores de 𝜆 para os quais o sistema tem solução não trivial.

(b) Para cada valor encontrado no item anterior, calcule a dimensão e uma base para o conjunto solução do sistema linear correspondente. Exercício 10:

(a) Existem dois vetores que geram ℝ3 ?

(b) Existem quatro vetores 𝐿𝐼 em ℝ3 ?

(c) Se 𝑊 é um subespaço de dimensão 3 de ℝ5 , qual é o número máximo de vetores 𝐿𝐼 em 𝑊 ?

(d) Se 𝑊 é um subespaço de ℝ5 e se 𝑉1 , 𝑉2 e 𝑉3 são vetores LI em 𝑊 , o que podemos dizer sobre

𝑑𝑖𝑚(𝑊) ?...