Lista de ejercicios de ondas mecanicas del segundo parciañ PDF

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lista de problemario de ondas mecanicas para repaso academico...

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ESIME Zacatenco IPN Lista 2 de Ondas Mec´anicas Javier M´endez Ch´avez [email protected] 17/10/2021

1 Movimiento Arm´onico Amortiguado, Forzado, Resonancia, Ondas, Ecuaci´on de Onda, Superposici´on, Potencia e Interferencia. 1. Los electrones en un osciloscopio se desv´ıan por la acci´ on de campos el´ectricos mutuamente perpendiculares, de tal manera que en un instante cualquiera t el desplazamiento est´ a dado por: x = ACoswt y y = ASinwt + φy . Describa la trayectoria de los electrones gr´ aficamente y determinar su ecuaci´ on cuando: (a) φy = 0 (b) φy = (c) φy =

π 6 π 2

2. Considere una masa de 2 k, la cual describe un movimiento en el que se tiene una fuerza de restituci´ on de f = −8x y adem´as una fuerza de fricci´ on ff = −8v, si la part´ıcula se encuentra inicialmente en reposo en x = 20 m, Determine: (a) La ecuaci´ on diferencial y los valores de las constante A y B. (b) La ecuaci´ on de la posici´ on, para cualquier tiempo. (c) La velocidad para cualquier tiempo. (d) La aceleraci´ on para cualquier tiempo. 3. En un tanque de agua se coloca un diapas´ on que vibra con una frecuencia de 300 Hz. (a) Obtenga la frecuencia y la longitud de onda de las ondas sonoras en el agua. (b) Encuentre la frecuencia y la longitud de onda de las ondas sonoras producidas por las vibraciones de la superficie del agua en el aire que se encuentra sobre el tanque.

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4. Un circuito tiene L = 15 mH, C = 1.65 × 10−6 F y R = 1.5Ω (a) ¿Despu´es de cu´ anto tiempo t la amplitud de las oscilaciones de carga se reducir´ an a la mitad de su valor inicial? (b) ¿A cu´ antos periodos de oscilaci´ on corresponde esto? (c) Grafique el fenomeno. 5. Cuando se pulsa la nota do-central en el piano (262Hz), la mitad de su energ´ıa se pierde en 4 segundos. (a) ¿Cu´ al es el tiempo de extinci´ on τ ? (b) ¿Cu´ al es el factor Q de esta cuerda de piano? (c) ¿Cu´ al es la perdida de energ´ıa relativa por ciclo? 6. Una onda arm´ onica tiene una amplitud de 19 mm, una longitud de onda de 4.4 m y una velocidad de 3.5 m/s. (a) Determina el periodo, la frecuencia, la frecuencia angular y el n´ umero de onda. (b) Escriba la funci´ on para esta onda propag´andose en la direcci´ on x+ (c) Haga una gr´ afica de la onda. 7. La ecuaci´ on para una onda transversal en una cuerda est´ a dada por: y(x, t) = 3.5Cos[π(x − 100t)] donde x e y est´ an en metros y t en segundos. (a) ¿Qu´e amplitud tiene esta onda? (b) Determina la constante de fase. (c) Determina la frecuencia de vibraci´ on de la cuerda. (d) Encuentre la velocidad de onda. (e) Para t=1 s evaluar el desplazamiento, la velocidad y la aceleraci´ on de un peque˜ no segmento de la cuerda ubicado en x=2 m. 8. En un tanque de agua se coloca un diapas´ on que vibra con frecuencia de 300 Hz. (a) Obtenga la frecuencia y la longitud de onda de las ondas sonoras en el agua. (b) Encuentre la frecuencia y la longitud de onda de las ondas sonoras producidas por las vibraciones de la superficie del agua en el aire que se encuentra sobre el tanque. 9. Las ondas emitidas por las emisoras de radio se propagan en el vaci´ o a la velocidad de la luz. (a) Las llamadas “ondas largas” tienen una longitud de onda de 600 a 2000 m. Calcular las frecuencias extremas en kHz. 2

(b) Las “ondas normales” son emitidas con frecuencias comprendidas entre 500 y 1500 kHz. Calcular la longitud de onda correspondiente a esa ultima frecuencia. (c) Las “ondas cortas” tienen longitudes de onda del orden de 10 m; calcular la frecuencia correspondiente. (d) Representar gr´ aficamente las variaciones de la frecuencia con la longitud de onda. 10. Las ondas sonoras son ondas longitudinales en el aire. La rapidez del sonido depende de la temperatura; a 20 C, es de 344m/s. Calcule la longitud de onda de una onda sonora en el aire a 20 C si la frecuencia es de 262 Hz 1 . 11. A partir de consideraciones de energ´ıa, deduzca una ecuaci´ on para determinar la rapidez m´ axima de una masa que oscila, en funci´on de k, m y A. 12. Una onda arm´ onica transversal se propaga en el sentido x+ y tiene las siguientes caracter´ısticas: amplitud 3 cm; longitud de onda 2 cm; velocidad de propagaci´on 2 m/s; la elongaci´ on del punto x = 0 en el instante t = 0 es de 3 cm. (a) Determinar la ecuaci´ on de onda. (b) Dibujar el perfil de la onda en t=0.01 s. Indicar un punto en el que sea m´ axima la velocidad de movimiento y otro en el que sea m´ axima la aceleraci´ on. 13. Un resorte con k = 1 N/m tiene un objeto de masa m = 1 kg sujeto a e´ste, el cual se mueve en un medio con una constante de amortiguamiento b = 2 kg/s. El objeto se libera a partir del reposo a partir del reposo en x = +5 cm desde la posici´ on de equilibrio. ¿D´ onde estar´ a despu´ e s de 1.75 s? 14. Para el caso de un amortiguamiento peque˜ no, el desplazamiento q en funci´ on del ′ ′ −ω t 2 γ tiempo se escribe como: x(t) = Ae Sen(ω + φ), donde ω = ω 0 − ωγ2 . Si k = 11 N/m, m = 1.8 kg, b = 0.5 kg/s y ωγ = 0.139s−1 ; obtenga las gr´ aficas de la energ´ıa cin´etica, energ´ıa potencial y energ´ıa total del sistema. 15. Un bloque de 1.75 kg est´ a conectado a un resorte vertical con una constante k=3.5 N/m. El bloque se hala hacia arriba una distancia d=7.5 cm y se libera a partir del reposo. Despu´es de 113 oscilaciones completas, la amplitud de las oscilaciones es la mitad de la amplitud original. El amortiguamiento del movimiento del resorte es proporcional a la rapidez. ¿Cu´ al es la constante de amortiguamiento? 16. Un puente sobre un valle profundo es ideal para salto en bungee. La primer parte del salto en bungee consiste en una ca´ıda libre de la misma longitud que la de la cuerda el´ astica sin estirar. Suponga que la altura del puente es de 50 m. Se usa una cuerda de bungee de 30 m y se estira 5 m por el peso de una persona 1

262 Hz es la frecuencia aproximada del do medio de un piano.

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de 70 kg. De esta manera, la longitud de equilibrio de la cuerda de bungee es de 35 m. Se ha estimado que la cuerda de bungee tiene una velocidad angular de amortiguamiento de 0.3 rad/s. Decriba el movimiento vertical de la saltadora de bungee como funci´ on del tiempo. 17. Una barra se mueve de abajo hacia arriba 13 cm, genera en un extremo de una cuerda, una onda transversal. El movimiento es continuo y se repite 120 veces por segundo. (a) Si µ = 0.28 kg/m y hay una T=90 N, determina la v, Ym , ν y la λ del movimiento. (b) Y = Y (x, t), si se mueve a la izquierda y que, a t=0, el extremo de la cuerda en x=0 este en equilibrio. (c) Encontrar la v y la a de una part´ıcula situada a 64 cm del extremo de la cuerda. (d) Haga un agrafica del comportamiento de Y, v y a. 18. Un tendedero de nylon de 5 m de longitud y 76 g de masa tiene una tensi´ on de 50 N de magnitud. Uno de los extremos de la cuerda se mueve de un lado a otro con un movimiento arm´ onico simple con una frecuencia de 10 Hz, lo que produce una onda arm´ onica transversal de 2 m de amplitud en la cuerda. (a) ¿Cu´ al es la potencia que se transmite de un extremo al otro de la cuerda? (b) Efectue una gr´ afica de la potencia promedio. (c) Determine la amplitud de la potencia. 19. Una cuerda larga con densidad lineal de 0.5 gr/m se estira de manera que la tensi´ on sea de 0.25 N. El extremo izquierdo se mueve hacia arriba y abajo con movimiento arm´ onico simple y periodo de 0.5 s y amplitud de 0.9 m. Se supone que la tensi´ on es constante en todo el movimiento. (a) Encontrar la velocidad de la onda generada en la cuerda. (b) Determinar la frecuencia, frecuencia angular, n´ umero de onda y la longitud de la onda. (c) Obtener una expresi´ on matem´atica para el desplazamiento y(x,t) en cualquier punto. 20. Una cuerda con una densidad lineal de masa de 51 gr/m experimenta una fuerza de 75 N. La amplitud de onda de este movimiento es de 13.9 mm con una frecuencia de 61 Hz. (a) ¿Cu´ al es la Potencia? (b) ¿Cu´ al es la Potencia promedio? (c) Efectue una gr´ afica de la potencia promedio. 4

21. Una oscilaci´ on arm´ onica simple de una masa m tiene una energ´ıa mec´ anica total E proporcional al cuadrado de la amplitud de la oscilaci´ on. A partir de estas consideraciones, muestre que la potencia se escribe como: P = 12 µω 2 A2 v 22. La ecuaci´ on para una onda transversal en una cuerda est´ a dada por: π ), en que x e y est´ a en metros y t en segundos. y(x, t) = 9.7Cos(πx + πvt + 2 (a) ¿Qu´e amplitud tiene esta onda? (b) Determinar la constante de fase. (c) Determinar la frecuencia de vibraci´on de la cuerda. (d) Encontrar la velocidad de onda. (e) Para t=5.4 s evaluar el desplazamiento, la velocidad y la aceleraci´on de un peque˜ no segmento de la cuerda ubicado en x=2 m y haga una gr´ afica de la onda. 23. La ecuaci´ on para una onda transversal en una cuerda est´ a dada por: y(x, t) = 5.8Sin[π(x + vt)], en que x e y est´a en metros y t en segundos. (a) ¿Qu´e amplitud tiene esta onda? (b) Determinar la constante de fase. (c) Determinar la frecuencia de vibraci´on de la cuerda. (d) Encontrar la velocidad de onda. (e) Para t=4.1 s evaluar el desplazamiento, la velocidad y la aceleraci´on de un peque˜ no segmento de la cuerda ubicado en x=2 m y haga una gr´ afica de la onda. 24. La ecuaci´ on para una onda transversal en una cuerda est´ a dada por: y(x, t) = 9.7Cos(5.1x − 2.9t − π2 ), en que x e y est´ a en metros y t en segundos. (a) ¿Qu´e amplitud tiene esta onda y hacia donde se dirige? (b) Determinar la constante de fase. (c) Determinar la frecuencia de vibraci´on de la cuerda. (d) Encontrar la velocidad de onda. (e) Para t=8.3 s evaluar el desplazamiento, la velocidad y la aceleraci´on de un peque˜ no segmento de la cuerda ubicado en x=2 m y haga una gr´ afica de la onda. 25. Calcular la velocidad del sonido (a presi´on atmoesf´erica normal): (a) a temperatuta ambiente. (b) a la temperatura promedio del Atlantico. (c) a la temperatura promedio del desierto del Sahara. 5

(d) a la temperatura promedio de la selva Lacandona 26. Un radar marino funciona con una longitud de onda de 3.2 m. (a) ¿Cu´ al es la frecuencia de las ondas del radar? 27. El perfil de una onda arm´ onica, que viaja a 1.2 m/s en una cuerda, est´a expresada por: y = (0.02m)Sen(157m−1 )x. (a) Determine su amplitud, longitud de onda, frecuencia y periodo. 28. Determinar cu´ al o cu´ ales de las siguientes expresiones matem´ aticas puede representar ondas unidimensionales que sean f´ısicamente admisibles. 2

(a) y(x, t) = y0 e−λ(x−vt) (b) y(x, t) = β(x + vt)4

−λx2 (1+ tt )

(c) y(x, t) = y0 e

0

x2 (1+ tt ) 0

(d) y(x, t) = y0 e

(e) y(x, t) = y0 Sin(x − vt) 2

(f) y(x, t) = Ae−B(x−vt)

29. Dos ondas viajeras en direcciones opuestas desde un punto fijo x=0 est´ an descritas por las siguientes ecuaciones: y1 (x, t) = (0.46m)Sin(2x − 4t) y2 (x, t) = (0.46m)Sin(2x + 4t) (a) Determine la funci´ on de onda debido a la interferencia de las ondas. (b) ¿Cu´ al es la m´ axima amplitud en x=0.45 m? (c) ¿Cu´ al es la m´ axima amplitud y donde ocurre? 30. Dos ondas viajeras en direcciones opuestas desde un punto fijo x=0 est´ an descritas por las siguientes ecuaciones: y1 (x, t) = (0.46m)Sin(2x + 4t − π2 ) y2 (x, t) = (0.46m)Sin(2x + 4t) (a) Determine la funci´ on de onda debido a la interferencia de las ondas. (b) ¿Cu´ al es la m´ axima amplitud en x=0.45 m? (c) ¿Cu´ al es la m´ axima amplitud y donde ocurre? 31. Una cuerda vibra de acuerdo con la ecuaci´ on siguiente: y(x, t) = (57)Sin( πx )Cos (40 πt ); con x en cm y t en s. 3 (a) Deduzca y1 y y2 . (b) ¿Cu´ al es la amplitud y la velocidad de las ondas? 6

(c) Distancia entre nodos. (d) La velocidad de la part´ıcula en la posici´ on u(1.5 cm, 9s). 32. Hay una explosi´ on no muy profunda en el Oc´eano Atl´ antico. Calcule La velocidad de la onda de compresi´ on producida, medida con instrumentos a varios metros bajo un barco. 33. El modulo volum´etrico del agua es B = 110 × 109 N/m2 y la densidad del cobre es de 8900 kg/m3 . (a) Calcular la velocidad del sonido en el cobre. (b) Calcular la velocidad del sonido en laton. (c) Calcular la velocidad del sonido en oro y plata. 34. Un t´ecnico de ascensores (masa=73 kg) est´a sentado en la parte superior de una cabina de elevador con una masa de 655 kg dentro del hueco de un rascacielos. Un cable de acero de 61 m, con una masa de 38 kg sostiene la cabina. El hombre env´ıa una se˜ nal a su compa˜ nero en la parte superior del hueco del ascensor, golpeando el cable con su martillo. (a) ¿Cu´ anto tiempo tardar´ a el pulso de onda generado por el martillo para subir por el cable? 2

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35. Dos pulsos de onda, y1 (x, t) = A1 e−(x−v1 t) y y2 (x, t) = A2 e−(x−v2 t) , con A2 = 1.7A1 y v1 = 1.6v2 , se encuentran a cierta distancia entre s´ı. Debido a su forma matem´ atica, se conocen como paquetes de ondas Guassianas. Considere que las dos ondas son del mismo tipo, tal como ondas en una cuerda. (a) ¿Cu´ al es la amplitud de la onda resultante con un traslape m´ aximo de los dos pulsos? (b) ¿En qu´e momento ocurre esto? 36. El trabajo de un afinador de piano es asegurar que todas las teclas del instrumento produzcan los tonos apropiados. En un piano, la cuerda para la tecla de la media se encuentra bajo una tensi´ on de 2900 N y tiene una masa de 0.006 kg y una longitud de 0.63 m. (a) ¿Por qu´ e fracci´ on debe el afinador cambiar la tensi´ on en esta cuerda a fin de obtener la frecuencia correcta de 440 Hz? 37. Considere el dibujo de una cuerda, la cual presenta MAS; si um = Ym ω, verifique lo siguiente: 2 El = 2π 2 µν 2 Ym2 y tambi´en Pm = El v

2 El significa energ´ıa por unidad de longitud, es decir, energ´ıa sobre longitud. Por otro lado no confundir, es frecuencia al cuadrado, no velocidad.

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