M11 S1 Sucesiones geométricas PDF

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cuadernillo y pasos para elaborar tus trabajos...

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Módulo 11

Representaciones simbólicas y algoritmos Sucesiones geométricas

Sucesiones

geométricas Observa los siguientes números y analiza cuál es el patrón que guardan. 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128…

Puedes observar que cada número se multiplica por 2: 2×2=4; 4×2=8; 8×2=16;16×2=32

Se trata de una sucesión o progresión que es una lista de números en un orden específico, es importante que distingas entre la sucesión aritmética y la geométrica, veamos un ejemplo del uso de estas:

Supón que te ofrecen un trabajo con un salario inicial de $10,000 y te dan dos opciones para su aumento salarial anual: Aumento de $2,000 cada año. A continuación, se muestra el salario que recibirías: Año

1

2

3

4

…

Salario

$ 10,000

$ 12,000

$ 14,000

$ 16,000

…

Opción 1

Como ves, cada año el salario es $2000 mayor que el año anterior, se trata de una sucesión aritmética al sumar dicha cantidad en el mismo tiempo.

Los tres puntos indican que la lista continua de la misma manera indefinidamente.

Aumento del 5% cada año. El salario que recibirías será: Opción 2

Año

1

2

3

4

…

Salario

$ 10,000

$ 10,500

$ 11,025

$ 11,576.25

…

Con esta opción, el salario es 5% mayor que el salario del año anterior, esto implica que multipliquemos la cantidad de cada año por 5%, es decir, haremos una sucesión geométrica. Las sucesiones geométricas podemos observarlas en cálculos bancarios, por ejemplo, cuando invertimos nuestro dinero y nos ofrece un interés, reinvertimos éste junto con las ganancias y hacemos lo mismo cada año, veremos cómo nuestro dinero aumenta de manera geométrica.

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Considera la siguiente sucesión:

El primer término es 2. Indicamos esto escribiendo

2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, …

a 1=2.

Como el segundo término es 4, a 2=4, y así sucesivamente, hasta que llegamos a los tres puntos, los cuales indican que la sucesión continua de manera indefinida y es una sucesión infinita.

Determinar la razón común en una sucesión geométrica Recapitulemos, una sucesión o progresión geométrica es una sucesión donde cada término después del primero es el mismo múltiplo del término que le precede. Retomemos el problema previo: En un trabajo ofrecen un salario inicial de $10,000, con la opción de aumento salarial de 5% cada año. Esto daría como resultado la siguiente sucesión:

$ 10,000, $ 10,500, $ 11,025, $ 11,576.25, … Entre los términos consecutivos, encontramos un patrón común en cada uno, a esto le denominamos razón común (r), la cual podemos encontrar dividiendo cualquier término, excepto el primero, entre el término que le precede. 10,500 = 1.05 ó 105% 10,000

En la sucesión geométrica anterior, la razón común es Veamos otro ejemplo, considera la sucesión geométrica:

1, 3, 9, 27, 81, 243, … La razón común es 3, ya que 3 ÷ 1 = 3 ó 9 ÷ 3 = 3, y así sucesivamente.

Determinar el n-ésimo término de una sucesión geométrica En general, una sucesión geométrica con primer término

a 1 y razón común (r)

tiene los siguientes términos:

a1 ,

a1 r ,

a1 r 2 ,

a1 r 3 ,

a1 r 4 ,

… a1rn-1,

Primer término

Segundo término

Tercer término

Cuarto término

Quinto término

n-ésimo

a1

a2

a3

a4

a5

an

…

término

Así, podemos ver que el n-ésimo término de una sucesión geométrica está dado por la fórmula siguiente.

an=a1rn-1

Recuerda, n es el número de la posición del término en la sucesión.

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Veamos algunos ejemplos de determinación de término n-ésimo y la razón común en la sucesión geométrica:

Sucesión geométrica

Razón común

a1, a2, a3, a4, a5, ..., a1rn-1 4, 8, 16, 32, 64, …, 4(2n-1), …

2

3, 12, 48, 192, 768, …, 3(4n-1), …

4

7

7 7 7 7 ...7 1 n-1 ,... 2 4 8 16 2

1 2

Determinación de los términos de la sucesión geométrica Para determinar los términos de una sucesión geométrica iniciando con el término éste por la razón, y su resultado nuevamente por la razón y así sucesivamente.

a1 deberemos multiplicar

Ejemplo, determine los primeros cinco términos de la sucesión geométrica si

1 2

a1= 6 y r = a1= 6 a2= 6 a3= 3 a4=

1 2

=3

1 2

3 1 2 2

a5=

3 4

= =

1 2

3 2

3 4

=

3 8

Así, los primeros cinco términos de la sucesión geométrica son

6, 3,

3 3 3 2 4 8

3

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Determinación de un término en una sucesión geométrica Si queremos determinar un término en la sucesión geométrica, teniendo el primer término y la razón común debemos usar la fórmula:

a1rn-1 a9 = a1rn-1 Ejemplo:

a9 = 10000(1.05)9-1

Si quisiéramos saber cuánto vamos a ganar después de 9 años trabajando con la razón común de 1.05 y el primer término es 10000.

a9 = 10000(1.05)8 a9 = 10000(1.477) a9 = 14770

Ejemplo: Resolvamos un problema con todo lo visto: Escriba una expresión para el término general o n-ésimo, an de la sucesión geométrica con a1 =3 y r =-2 y determine el décimo segundo término de esta sucesión Solución El término n-ésimo de la sucesión es

a n= a1

n-1

, al sustituir a 1 =3 y

r =-2 tenemos:

an= a1rn-1 = 3(-2)n-1 an= 3(-2)n-1 Ahora busquemos el término 12:

a12= a1(r)n-1 a12= 3(-2)12-1 a12= 3(-2)11

El décimo segundo término de la sucesión es -6144. Los primeros doce términos de la sucesión son 3, -6, 12, -24, 48, -96, 192, -384, 768, -1536, 3072, -6144.

a12= 3(-2048) a12= -6144

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Aplicaciones de series geométricas Veamos aplicadas las sucesiones geométricas en un tema cotidiano: Pedro invierte en una cuenta de ahorros $1000 al 5% de interés compuesto cada año. Determine la cantidad en su cuenta y el monto de interés generado al final de 10 años.

Solución Suponga que P representa el capital invertido. Al inicio del segundo año, el monto crece a P + 0.05P o 1.05P. Este monto será el capital invertido durante el segundo año. Al inicio del tercer año, el capital del segundo año crecerá 5% a (1.05P)(1.05) o (1.05)2P. El monto en la cuenta de Pedro al inicio de los años sucesivos es

Año 1

Año 2

Año 3

Año 4

P

1.05P

(1.05)2P

(1.05)3P

Esta es una serie geométrica con r =1.05. El monto en su cuenta al final en 10 años será la misma cantidad en su cuenta que al inicio del año 11. Por lo tanto:

an=a1rn-1

Donde r =1.05

n =11

Traduciendo, tenemos una sucesión geométrica con a1= 1000, r=1.05 y n=11. Al sustituir estos valores en la fórmula, obtenemos lo siguiente:

an= a1r n-1 a11= 1000(1.05)10

Al cabo de 10 años, el monto en la cuenta es alrededor de $1628.89. El monto del interés ganado es:

a11= 1000(1.62889)

$1628.89 - $1000 = $628.89

a11= 1000(1.05)11-1

a11= 1628.89

Conclusión Así como se pueden resolver diferentes tipos de problemas en el área de la matemática, las sucesiones se pueden encontrar en diversas situaciones de la vida, como: el aumento de velocidades por segundo en la prueba de un carro de carreras, la medición de infraestructuras, para calcular el incremento en el que se ha dado la tasa de mortalidad y natalidad de una ciudad, para ver el comportamiento de variables económicas, entre otras.

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