M5.2 y M5.2.1 Apuntes teoricos y ejercicios resueltos PDF

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UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE BAJA CALIFORNIA FACULTAD DE CIENCIAS DE LA INGENIERÍA Y TECNOLOGÍA – FCITEC UNIDAD VALLE DE LAS PALMAS MECÁNICA VECTORIAL

Apuntes teóricos y ejercicios resueltos M5.1, M5.2 y M5.2.1 M5.2. Aplicaciones de la segunda ley de Newton. M5.2.1. Caso 1: sin fuerzas de fricción. Ejemplo 1: Analizar el movimiento de un cuerpo sobre un plano inclinado liso

a) Caso estático. 󰇍󰇍𝐹 󰇍󰇍1 + 𝐹 󰇍󰇍󰇍2 + 𝑚𝑔=0 Σ𝐹𝑥 = 𝐹1 − 𝑚𝑔 sen 𝜃 = 0 Σ𝐹𝑦 = 𝐹2 − 𝑚𝑔 cos 𝜃 = 0 Si conocemos m y θ podemos obtener F1 y F2 a) Caso dinámico

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Apuntes teóricos y ejercicios resueltos M5.1, M5.2 y M5.2.1 󰇍󰇍󰇍 Supongamos ahora que cortamos la cuerda, entonces 𝐹 1 = 0 La fuerza resultante sobre el cuerpo no será cero y éste se acelerará. ¿Cuál es su aceleración? Para este caso tenemos que: Σ𝐹𝑥 = −𝑚𝑔 sen 𝜃 = 𝑚𝑎𝑥 −𝑚𝑔 𝑠𝑒𝑛 𝜃 = 𝑚𝑎𝑥 𝐹2 − 𝑚𝑔 cos 𝜃 = 𝑚𝑎𝑦 = 0 ∴ 𝑎𝑦 = 0 𝑎𝑥 = −𝑔 𝑠𝑒𝑛 𝜃 Tarea si: 𝜃 = 30° 𝑦 𝑚 = 10 𝑘𝑔. Encontrar 𝐹1 , 𝐹2 𝑦 𝑎𝑥 Ejemplo 2. Considérese un cuerpo de masa m que se mueve sin fricción sobre una superficie horizontal, por la fuerza horizontal, 𝑝, tal como se muestra en la figura. La fuerza 𝐹𝑁 , es la fuerza normal ejercida sobre el cuerpo por la superficie y W es el peso del cuerpo. a) Si el cuerpo tiene una masa de 2 kg, ¿Calcular la 𝐹𝑁 ? b) ¿Qué fuerza 𝑝 se requiere para impartir al cuerpo una velocidad horizontal de 4 m/s en 2s, partiendo del reposo?

a) 𝐹𝑁 − 𝑤 = 0 𝐹𝑁 = 𝑤 𝐹𝑁 = 𝑚𝑔 = (2𝑘𝑔)(9.8 𝑚/𝑠 2 ) 𝐹𝑁 = 20 𝑁

b) 𝑝 = 𝑚𝑎𝑥 𝑉𝑓𝑥 = 𝑉0𝑥 + 𝑎𝑥 𝑡

𝑎𝑥 =

𝑉𝑓𝑥−𝑉0𝑥 𝑡

=

4 𝑚/𝑠−0 2𝑠

𝑝 = 𝑚𝑎𝑥 = 2𝑘𝑔 (

= 2 𝑚/𝑠 2𝑚 𝑠2

) = 4𝑁

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Apuntes teóricos y ejercicios resueltos M5.1, M5.2 y M5.2.1 Ejemplo 3. En la figura se muestra un cuerpo de masa m1, sobre una superficie horizontal lisa que es jalado mediante una cuerda sin masa, que pasa sobre una polea y que sostiene a otro cuerpo, de masa m2. Suponemos que la polea no tiene fricción y que sirve solo para cambiar la dirección de la tensión de la cuerda en dicho punto. La magnitud de la tensión es la misma a todo lo largo de la cuerda. Encontrar la aceleración del sistema y la tensión de la cuerda.

Solución. Para 𝑚1

𝐹𝑁 − 𝑚1𝑔 = 0 𝑇 = 𝑚1 𝑎1𝑥 𝐹𝑁 = 𝑚1 𝑔

Para 𝑚2

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Apuntes teóricos y ejercicios resueltos M5.1, M5.2 y M5.2.1

𝑇 − 𝑚2 𝑔 = −𝑚2 𝑎2𝑦 𝑎1𝑥 = 𝑎 y 𝑎2𝑦 = −𝑎

𝑇 − 𝑚2 𝑔 = −𝑚2 𝑎 y 𝑇 = 𝑚1 𝑎 de donde 𝑚1 𝑎 − 𝑚2 𝑔 = −𝑚2 𝑎 𝑚1 𝑎 + 𝑚2 𝑎 = 𝑚2 𝑔 𝑎(𝑚1+𝑚2 ) = 𝑚2 𝑔 𝑚2 𝑔 ∴ 𝑎 < 𝑔 si 𝑚1 = 0 → 𝑎 = 𝑔 𝑎= 𝑚1 + 𝑚2 𝑚1 𝑚2 𝑚1 𝑇 = 𝑚1 𝑎 = 𝑔 = 𝑚2 𝑔 𝑚1 + 𝑚2 𝑚1 + 𝑚2 si 𝑚1 = 0 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠, 𝑇 = 0

si 𝑚1 = 2𝑘𝑔 y 𝑚2 = 1𝑘𝑔 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑚2 1 (9.8) = 3.3 𝑚⁄𝑠 2 𝑎= 𝑔 = 1+2 𝑚1 + 𝑚2 𝑇 = 6.5𝑁 Nota: Se puede obtener la aceleración por otro método, si consideramos un sistema de masa 𝑚1 + 𝑚2 , entonces la fuerza neta sobre 𝑚1 + 𝑚2 es 𝑚2 𝑔 𝐹 = 𝑚𝑎. Por lo tanto

𝑚2 𝑔 = (𝑚1 + 𝑚2 )𝑎 De donde, 𝑎=

𝑚2 𝑔 𝑚1 + 𝑚2

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Apuntes teóricos y ejercicios resueltos M5.1, M5.2 y M5.2.1 Ejemplo 4 Consideremos dos masas desiguales unidas por una cuerda que pasa por una polea sin fricción y sin masa, como se indica en la figura. Sea 𝑚2 mayor que 𝑚1 . Encontrar la tensión de la cuerda y la aceleración de las masas.

1) T-𝑚1 𝑔 = 𝑚1 𝑎 Si la aceleración de 𝑚1 es a, La aceleración de 𝑚2 es –a De la ec.(1) se tiene 1) 𝑇 = 𝑚1 𝑔 + 𝑚1 𝑎 = 𝑚1 (𝑔 + 𝑎) De la ec. (2), tenemos, T=𝑚2 𝑔 − 𝑚2 𝑎 = 𝑚2 (𝑔 − 𝑎) Igualando las tensiones, se tiene

2) T-𝑚2 𝑔= -𝑚2 𝑎 ∴ de las ecuaciones 1 y 2 se tendrá.

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Apuntes teóricos y ejercicios resueltos M5.1, M5.2 y M5.2.1 𝑚1 (𝑔 + 𝑎) = 𝑚2 (𝑔 − 𝑎) 𝑚1 𝑔 + 𝑚1 𝑎 = 𝑚2 𝑔 − 𝑚2 𝑎 𝑎(𝑚1 + 𝑚2 ) = 𝑔(𝑚2 − 𝑚1 ) 𝑚2 − 𝑚1 𝑎= 𝑔 𝑚1 + 𝑚2 y de la ec. (1) resulta, T=𝑚1 𝑔 + 𝑚1 𝑎 𝑚 −𝑚

T=𝑚1 𝑔 + 𝑚1 ( 𝑚2 +𝑚1 ) 𝑔 1

2

𝑚1 𝑚2 −𝑚1 2

T= 𝑔 [𝑚1 +

𝑚1 +𝑚2

]

𝑚1 (𝑚1 + 𝑚2 )+𝑚1 𝑚2 −𝑚1 2

T=𝑔 [ T= 𝑔 T=𝑔

𝑚1 +𝑚2

𝑚12 +𝑚1 𝑚2 +𝑚1 𝑚2 −𝑚 1 2 𝑚1 +𝑚2

2(𝑚1 𝑚2 ) 𝑚1 +𝑚2

Si 𝑚2 = 2𝑠𝑙𝑢𝑔 2−1

𝑔= 2+1

a=

𝑇=

]

𝑦

1

𝑚1 = 1𝑠𝑙𝑢𝑔

𝑔 = 10.6 3

2(1) (2) 𝑔 2+1

𝑓𝑡 𝑠

. Por otro lado.

4

= 3 𝑔 = 42.6 𝑙𝑏

Si 𝑚1 = 𝑚2 , entonces a = 0 , mientras que 𝑇 = 𝑚1 𝑔 = 𝑚2 𝑔 Para la polea

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Apuntes teóricos y ejercicios resueltos M5.1, M5.2 y M5.2.1

𝑃 = 2𝑇

Ejemplo 5 Un pasajero que pesa 160 lb se encuentra en un elevador que tiene una aceleración a = 2 ft/s2 hacia arriba. Calcular el peso aparente del pasajero.

Sea P el peso aparente. P-w = ma w = mg, 𝑚 =

𝑤 𝑔

=

160 32

𝑓𝑡 𝑠

= 5 𝑠𝑙𝑢𝑔𝑠

P = w + ma P = 160 + 5(2) = 170 lb

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Apuntes teóricos y ejercicios resueltos M5.1, M5.2 y M5.2.1 Por otro lado, si el elevador va hacia abajo, se tiene, a = −2

𝑓𝑡

𝑠2

, entonces

P = 160 + 5(-2) = 150 lb

Si se rompe el cable del elevador éste se cae libremente con una aceleración a=-g 𝑃 = 𝑤 + 𝑚(−𝑔) 𝑃 =𝑤+

𝑤 (−𝑔) = 0 𝑔

En este caso ni el pasajero ni el piso ejercen fuerza. Con frecuencia se hace referencia a esta situación como una de “ingravidez”, o ausencia de peso.

Bibliografía Física (Vol. 1); Robert Resnick, David Halliday y Kenneth S. Krane; Ed. Patría. 5ª edición. Física para Ingeniería y Ciencias (Vol. 1); Hans C. Ohanian y John T. Market; Ed. Mc GrawHill....