Matematica per Scienze della Formazione Primaria - Cap 4 PDF

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Riassunti capitolo 4...

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4. OLTRE IL CONTARE 4.2 4.2.. Moltiplicare e dividere DEFINIZIONE. Dati due numeri naturali a e b, diciamo che b divide a se esiste un numero k tale che a = b×k. Diciamo anche che a è di divisibile visibile per b o che a è un multiplo di b. N.B. • 0 = 0×a → qualsiasi numero naturale a divide 0, ovvero 0 è divisibile per qualsiasi numero naturale a. Se a≠0 possiamo osservare che k = 0 è l’unico numero naturale per cui a×k = 0. • a = 0×k → qualunque sia k si ha che 0×k = 0, quindi a=0. L’unico numero divisibile per 0 è lo stesso 0. Osserviamo però che k non è univocamente determinato • a = a×1 → il numero 1 è divisore di qualsiasi numero naturale a • a = a×1 → ogni numero naturale è divisibile per se stesso PROPRIETÀ. Se a e b sono numeri naturali, se d divide a e d divide b, allora d divide sia a+b che a-b ESEMPIO: a=18; b=12; d=2 18:2 = 9, 12:2 = 6 → 18+12 = 30 30:2 = 15, 18-12 = 6 6:2=3 PROPRIETÀ. Se a è numero naturale e d divide a, allora qualsiasi sia il numero naturale k si ha che d divide a×k. ESEMPIO: a=4; d=2; k=3 4:2 = 2; 4×3 = 12 12:2 = 6 4.2.1. Divisori Dato un numero naturale come si determinano i suoi divisori? DEFINIZIONE. Un numero naturale diverso da 0 e 1 è detto primo se è divisibile solo per 1 e per sé stesso. DEFINIZIONE. Dati due numeri naturali a e b diciamo che d è il massimo co comune mune divisore di a e b se d è il più grande numero naturale che divide sia a che b Per determinare l’MCD utilizziamo il seguente metodo: ESEMPIO. Determinare l’MCD tra 91 e 117 1. Come prima cosa dividiamo il più grande dei due numeri dati (117) per il più piccolo (91), determinando quoziente e resto: 117 : 91 = 1 117 = 91 × 1 + 26 26r Possiamo quindi dire che 26 = 117 – (91 × 1) = 117 – 91

2. Per la proprietà Se a (117) e b (91) sono numeri naturali, se d (MCD) divide a e d divide b, allora d divide sia a + b che a – b (26) → MCD (117, 91) = MCD (91, 26) Perché, per la proprietà sopracitata, 117-91-26 hanno lo stesso divisore comune d. 3. Eseguiamo lo stesso procedimento per 91 e 26: 91 : 26 = 3 13r

91 = 26 × 3 + 13

4. Dato che 13 = 91 – (26 × 3) = 91 – 78; per la proprietà: se a è numero naturale e d divide a, allora qualsiasi sia il numero naturale k si ha che d divide a × k; (perciò se 13 divide 26 allora divide sicuramente anche 26 × 3) possiamo dire che MCD (91, 26) = MCD (26, 13). 5. Eseguiamo lo stesso passaggio per 26 e 13: 26 : 13 = 2 0r

26 = 13 × 2 + 0

6. Abbiamo ottenuto resto 0, questo significa che 13 (il resto precedente al resto nulle) è l’MCD tra 117 e 91 7. Per dimostrare che 13 è davvero il Massimo comun divisore tra 117 e 91 si ricostruiscono i passaggi fino a qui svolti all’inverso; ovvero partendo da 13: 13 = 91 – (26 × 3) = = 91 – [117 – (91 × 1)] × 2 A questo punto applichiamo prima la proprietà distributiva e poi commutativa = 91 – 117 × 2 – 91 × 2 = = 91 × (1+2) – 117 × 2 = = 91 × 3 – 117 × 2 = 13 Si giunge quindi al Teorema di Bezout che enuncia: Se a e b sono due numeri interi e d è il loro massimo comun divisore (MCD), esistono due numeri interi m ed n tali che am + bn = d Nel nostro caso: a = 117; b = 91; d = 13; m = 3; n = -2 PROPRIETÀ. (algoritmo algoritmo euclideo delle d divisioni ivisioni successive successive) Siano a e b due qualsiasi numeri naturali diversi da 0. Allora è sempre possibile trovare un numero naturale d che è il massimo comun divisore tra a e b. (Si dimostra generalizzando l’esempio precedente) PROPRIETÀ. Se a e b sono due numeri naturali e se p è un numero primo che divide il prodotto a × b, allora p è necessariamente un divisore di uno dei due termini a o b. PROPRIETÀ. (teorema teorema fondamentale dell dell’’aritmetica aritmetica) Sia a un numero naturale diverso da 0 e da 1. Allora a può essere scritto come prodotto di numeri primi (eventualmente con ripetizioni). Tale scomposizione è essenzialmente unica nel senso che due scomposizioni diverse differiscono solo per l’ordine dei fattori....