Mathe A - HS 2020 PDF

Preview

Summary

HS 2020...

Description

Mathe A Aussagenlogik ∧ ∨

¬

⇒

⇔

Logisches Und, Konjunktion Der Ausdruck 𝐴 ∧ 𝐵 ist wahr, wenn sowohl A als auch B wahr ist

Logisches Oder, Disjunktion Der Ausdruck 𝐴 ∨ 𝐵 ist wahr, wenn entweder A oder B wahr ist

„nicht“, Verneinung, Negation ¬&𝐴 ist immer dann wahr, wenn A falsch ist

„daraus folgt“, Implikation 𝐴 ⇒ 𝐵: Mindestens immer dann, wenn A wahr ist, ist B wahr „genau dann, wenn“, Äquivalenz 𝐴 ⇔ 𝐵: Wenn A wahr ist (nur dann), ist B wahr

Funktionen Definitionsbereich 𝔻: Alle 𝑥& ∈ &ℝ, welche in 𝑓 eingesetzt werden dürfen

Wertebereich 𝕎: Alle 𝑦& ∈ &ℝ, welche von 𝑓 (𝑥 ) für ein 𝑥& ∈ &𝔻 angenommen werden

Bei Wertebereich, Umkehrfunktion bestimmen 𝑓 !" (𝑥) und dann Definitionsmenge davon ist Wertebereich von 𝑓 (𝑥 )

Wichtige Funktionen Polynome Ist Funktion der Form 𝑎# + 𝑎" 𝑥 + 𝑎$ 𝑥 $ + ⋯ + 𝑎% 𝑥 % 𝑎& = Irgendwelche festen Zahlen

Höchste Potenz 𝑛, in der 𝑥 vorkommt, wird Grad des Polynoms genannt

Abbildungseigenschaften Folgend wird Funktion 𝑓 betrachtet, die vom Definitionsbereich 𝐴 in den Wertebereich 𝐵&abbildet, kurz 𝑓 ∶ 𝐴& → 𝐵

Die Funktion 𝑓 ∶ 𝐴& → 𝐵 heißt -

Injektiv, falls zwei verschiedene Werte des Definitionsbereichs 𝑥" , 𝑥$ & ∈ 𝐴 mit 𝑥" & ≠ & 𝑥$ zwei verschiedene Werte des Bildbereichs angenommen werden, d.h. 𝑓 (𝑥") ≠ 𝑓(𝑥$)

-

Surjektiv, falls jedes Element des Bildbereiches 𝐵 erreicht wird

-

Bijektiv, falls sie Surjektiv und Injektiv ist

Nullstellen 𝑓(𝑥) nach 0 auflösen Umkehrfunktion Bestimmen: -

𝑓 (𝑥) = 𝑦 setzen

Funktionsgleichung nach 𝑥 auflösen

Bedingungen an 𝑥 betrachten (z.B. √𝑥 & → 𝑥 ≥ 0)

Variablen 𝑥 und 𝑦 vertauschen

Der Graph von 𝑓 !" ist gleich dem Graph on f, gespiegelt an der Achse 𝑦 = 𝑥

Grenzwerte Wichtiger Funktionen lim 𝑓(𝑥)

Funktion 𝑓(𝑥)

lim 𝑓(𝑥)

'(→(!*

𝑥

'(→#

−&∞

𝑥$

0

∞ ∞

Polynom, Grad grade Polynom, Grad ungerade √𝑥

0 0 einsetzen

lim 𝑓(𝑥)

'(→(*

∞ ∞ ∞

− ∞⁄∞

0 einsetzen

keine

0

0

1

∞

∞

1

0

keine

−&∞

∞

keine

1 resp. 0

keine

0

− ∞⁄∞

0

𝑒𝒙

𝑎𝒙 , |𝑎| & < 1 ln 𝑥

cos(𝑥) , sin(𝑥) 1 𝑥

∞⁄−∞ ∞

Grenzwertsätze Falls die Grenzwerte 𝑎 = & lim 𝑓 (𝑥) und 𝑏 = & lim 𝑔(𝑥) existieren, dann gelten folgende Gleichheiten:

'(→(*(

'→(*

1. lim 𝑓(𝑥)& ± &𝑔(𝑥) = & lim 𝑓(𝑥)& ±& lim 𝑔(𝑥) = 𝑎 ± 𝑏 '→('!

'→('!

'→('!

2. lim 𝑓 (𝑥)𝑔(𝑥) = & lim 𝑓(𝑥)& lim 𝑔(𝑥) = 𝑎𝑏 '→('!

3. lim &

'→('!

012 ,( ') , ( ') "→$"! & =& 012 / ( ') '→('! / ( ') "→$"!

'→('!

= & , falls 𝑏 ≠ 0, 𝑔(𝑥 ) ≠ 0 für alle 𝑥 3

4

Regel von l’Hopital:

Gegeben sind die beiden stetigen Funktionen f und g mit 𝑓 (𝑥# ) = 𝑔(𝑥#) = 0&oder 𝑓 (𝑥#) = 𝑔(𝑥# ) = & ±∞. Dann gilt für den Grenzwert: 𝑓( 𝑥) 𝑓 5 (𝑥#) =& 5 '→('! 𝑔( 𝑥 ) 𝑔 (𝑥#) lim

Stetigkeit

Eine Funktion f heisst stetig in 𝑥# , falls 1. 𝑓 in 𝑥# definiert ist

2. lim% 𝑓(𝑥) = & lim& 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥#) , d.h. linksseitiger Limes = rechtsseitiger Limes '→('!

'→('!

Zwischenwertsatz von stetigen Funktionen:

Sei 𝑓(𝑥) eine auf dem Intervall [𝑎, 𝑏] stetige Funktion. Dann nimmt 𝑓(𝑥) jeden Wert zwischen 𝑓 ( 𝑎) und 𝑓 (𝑏 ) mindestens einmal an Ökonomische Funktionen

Funktion

Benennung

Nachfragefunktion

𝑞6 ∶ & ℝ 7 → & ℝ 7 ,

Angebotsfunktion

𝑞8 ∶ & ℝ 7 → & ℝ 7 ,

Kostenfunktion

Nutzenfunktion

𝑝& ⟼ & 𝑞6 (𝑝) = 𝑎 − 𝑏𝑝 𝑝 ⟼ & 𝑞8 (𝑝) = & −𝑐 + 𝑑𝑝

𝐶(𝑥) = & 𝐶,&' +& 𝐶93: (𝑥) = & 𝑐; 𝑥 $ +& 𝑐$ 𝑥 $ +& 𝑐" 𝑥 + 𝑐# 𝑢 ∶ & ℝ7 → & ℝ7 ,

𝑐 ⟼ 𝑢(𝑐) = &

𝑢"!< &, 𝜏 ≠ 1 1 − &𝜏

Nachfrage- und Angebotsfunktion Nachfragefunktion / Preis-Absatz-Funktion: 𝑞 = Abgesetzte Menge 𝑝 = Preis des Gutes Angebotsfunktion:

Menge 𝑞 welche der Anbieter bereit ist, zu gegebenen Preis 𝑝 zu verkaufen

Der Punkt wo sich beide Kurven schneiden ist das Marktgleichgewicht Gleichgewichtspreis: 𝑝∗ = &

3(7(> 4(7(6

Gleichgewichtsmenge: 𝑞 ∗ = &

36(–(4> 4(7(6

Engels – Funktion:

Beschreibt die Nachfrage, in Abhängigkeit vom Einkommen 𝐼 Inferiores Gut: 𝑞 (𝐼 ) = &Z

𝑎𝐼, für&𝐼& ≤ & 𝐼# 𝑎𝐼#$ , für&𝐼& ≥ & 𝐼#

Gebrauchsgut: 𝑞 (𝐼 ) = 𝑠& ∙ a1 − & !b , 𝐼& ≥ & 𝐼# @

@

Kostenfunktion:

𝐶(𝑥) gibt an, wie hoch die Produktionskosten für eine vorgegebene Produktionsmenge 𝑥 sind. 𝑐# stellt die Fixkosten dar

𝐶(𝑥) = & 𝐶,&' + & 𝐶93:(𝑥) = & 𝑐; 𝑥 $ +& 𝑐$ 𝑥 $ +& 𝑐" 𝑥 + 𝑐#

Produktionsfunktion:

Gut 𝑥 wird aus Produktionsfaktor 𝑟 hergestellt

Wie viele Inputeinheiten 𝑟 müssen im Durchschnitt aufgewendet werden, um eine Outputeinheit 𝑥 zu generieren Ableitungen Ableitungsregeln: -

Summe: (𝑓 + 𝑔)5 = & 𝑓 5 + 𝑔5

Konstanter Faktor: (𝑐& ∙ 𝑓)5 = 𝑐& ∙ 𝑓 5 &

Produkt: (𝑓 ∙ 𝑔 )5 = 𝑓 5 ∙ 𝑔 + 𝑓 ∙ 𝑔5

Quotient: a b = & ,

5

/

,' ∙/!,∙/ ' /(

, 𝑔 ≠ &0

Kettenregel: (𝑓 ∙ 𝑔 )5 = (𝑓 5 ∙ 𝑔 ) ∙ 𝑔5

Monotonie: -

𝑓 5 > 0& ⟺ 𝑓& streng monoton steigend 𝑓 5 ≥ 0& ⟺ 𝑓& monoton steigend

𝑓 5 < 0& ⟺ 𝑓& streng monoton fallend 𝑓 5 ≤ 0& ⟺ 𝑓 monoton fallend

Krümmung: -

𝑓 55 (𝑥 ) ≥ 0& ⟺ 𝑓& konvex 𝑓 55(𝑥) ≤ 0& ⟺ 𝑓 konkav

Extremstellen 𝑓 55 (𝑥 ) < 0 ∶ 𝑓&hat&in&𝑥&ein&lokales&𝐌𝐚𝐱𝐢𝐦𝐮𝐦 𝑓 𝑥) = 0& f 𝑓 55 (𝑥) = 0 ∶ 𝑓&hat&in&𝑥&einen&𝐒𝐚𝐭𝐭𝐞𝐥𝐩𝐮𝐧𝐤𝐭&&&&&& 𝑓 55 (𝑥 ) > &0 ∶ 𝑓&hat&in&𝑥&ein&lokales&𝐌𝐢𝐧𝐢𝐦𝐮𝐦 5(

Anwendung in der Ökonomie Die 1. Ableitung wird auch marginale Funktion genannt (Grenzkosten, Grenzneigung zum Konsum, …) Elastizität Entspricht der relativen Änderung

Falls sich 𝑥 um -

-

𝜖,,' = &

CD '

5 )∙ 𝑥 𝑓(𝑥 𝑓(𝑥)

= 1%& ändert, dann ändert sich 𝑓 um 𝜖%

Ist |𝜖| > 1, so heisst 𝑓 elastisch (Änderungen von 𝑥 wirken sich überproportional aus)

Ist |𝜖| < 1, so heisst 𝑓 unelastisch (Änderungen von 𝑥 wirken sich unterproportional aus)

Wachstumsrate

Ist die relative Änderungsrate der Funktion 𝑓(𝑡 ) im Verlauf der Zeit 𝑡 𝑟 (𝑡) = &

𝑓 5(𝑡) = & (ln 𝑓(𝑡))′& 𝑓(𝑡)

Approximation mit Hilfe des Taylorpolynoms

Eine Funktion 𝑓 (𝑥 ) kann in einer Umgebung von einem Punkt 𝑥# durch das Taylorpolynom n-ter Ordnung angenähert werden 𝑃% (𝑥) = 𝑓 (𝑥# ) +&

𝑓 5 (𝑥# ) 𝑓 55 (𝑥# ) 𝑓 ( %) (𝑥# ) &(𝑥 − & 𝑥#) +& &(𝑥 − & 𝑥#)$ + ⋯ + & &(𝑥 − & 𝑥# )% 1! 2! 𝑛!

Da die Taylorformel nur eine Annäherung bietet, muss der Rest ausgedrückt werden. Dieses Restglied nach 𝑛 Termen wird mit 𝑅%7" (𝑥 ) bezeichnet. 𝑃% (𝑥 ) = 𝑓(𝑥# ) +& 𝑅%7"(𝑥 )

,' ( '!) "!

&(𝑥 − & 𝑥# ) +&

,'' ( '! ) $!

(& 𝑥 − & 𝑥#) $ + ⋯ + &

, (*) ( '!) %!

(& 𝑥 − & 𝑥#) % +

Lagrange`sche Form des Restglieds: Ist explizite Formulierung des Restglieds 𝑅%7" (𝑥) = &

1 𝑓 %7"(𝑐)𝑥 %7" (𝑛 + 1 )!

Wobei 𝑐 eine Zahl zwischen 0 und 𝑥 ist und diese Funktion auf diesem Intervall 𝑛 + 1&mal differenzierbar sein muss Durch Restglied ist der Fehler und damit die Güte der Approximation bekannt

Folgen und Reihen

Eine Folge {𝑎% } ist eine Folge von Zahlen

Kurz beschreibt man die Folge mit dem n – ten Glied: -

Rekursiv: 𝑎% = & 𝑎%!" + 2,&wobei 𝑎# = 2

Explizit: 𝑎% = 3%

Explizit ist eine geometrische Folge. Allgemein sind geometrische Formen von der Form 𝑎% = 𝑎# ∙ 𝑞 %

Dabei sind 𝑎# und 𝑞 beliebige, aber feste Zahlen Eulerfolge

𝑥 % 𝑎% = a 1 + & b 𝑛

Für 𝑛 → &∞ kommt gerade die Exponentialfunktion heraus: 𝑥 % lim a1 + & b = 𝑒 ' %→(* 𝑛

Eigenschaften: -

-

-

-

(streng) monoton wachsend, falls 𝑎%7" ≥ & 𝑎% &(respektive&𝑎%7" > & 𝑎% )&für&alle&𝑛 Dies ist gleichbedeutend mit 𝑎%7" −& 𝑎% & ≥ 0&(respektive&𝑎%7" −& 𝑎% > 0) (streng) monoton fallend, falls 𝑎%7" ≤ & 𝑎% & (respektive&𝑎%7" < & 𝑎% )&für&alle&𝑛 Dies ist gleichbedeutend mit 𝑎%7" −& 𝑎% & ≤ 0&(respektive&𝑎%7" −& 𝑎% < 0)

Beschränkt, falls |𝑎% | ≤ 𝑀 , Das heisst alle 𝑎% sind kleiner als eine feste Grösse 𝑀 (𝑀 ist feste Zahl, die beliebig gross sein kann)

Konvergent, falls ihr Grenzwert existiert: lim 𝑎% & ∈ &ℝ %→(*

Divergent, falls sie nicht konvergent ist. Beispiele dafür sind unbeschränkte Folgen 𝑎% = 2% oder beschränkte Folgen mit mehreren Häufungspunkten 𝑎% = (−1 )%

Reihen Ein Ausdruck bestehend aus endlich vielen Summanden ist eine endliche Reihe: 𝑠% = & 𝑎# +& 𝑎" + & 𝑎$ + ⋯ +& 𝑎% = &‡ 𝑎F &oder&&𝑠% = & ‡ 3F %

%

FG#

FG#

Hat die Summe unendlich viele Summanden, wird sie unendliche Reihe genannt 𝑎# &&&für&|q | < 1 ‡ 𝑎# 𝑞 F = & 𝑎# + & 𝑎# 𝑞 + & 𝑎# 𝑞 $ + & 𝑎# 𝑞 ; + ⋯ = & 1 − 𝑞& *

FG#

Beachte! - Die Summe fängt bei 𝑘 = 0 an -

Für alle 𝑞 = mit& |𝑞| > 1 divergiert die Summe, d.h. der Wert ist ∞

Summieren wir statt bis ∞ nur bis 𝑛, dann gilt folgende Formel: 1 − 𝑞 %7" 𝑠% = & 𝑎# & 1−𝑞

Anwendung in der Finanzmathematik Zinseszins Formel 𝐾# = Anfangskapital 𝑝 = Zins 𝑛 = Jahre

𝐾% = && 𝐾# ∙ (1 + 𝑝)%

Barwert 𝑆# = Betrag den man jetzt einzahlen müsste um in 𝑛 Jahren 𝑆% = Schuld zu tilgen 𝑆# = &

𝑆% (1 + 𝑝 )%

Projektevaluation 𝐴F = Ausgaben 𝐸F = Erträge

𝐸F 𝐴F & −& ‡ 𝐵# = & ‡ F ( 1 + 𝑝) (1 + 𝑝 ) F %

%

FG#

FG#

Für Unternehmen lohnt es sich, falls: 𝐵# > 0

Will man kritischen Zins 𝑝 berechnen, muss die Ungleichung 𝐵# (𝑝) > 0 nach 𝑝 aufgelöst werden Rentenformel Einzahlung am Ende (post) oder am Anfang (prä) einer jeden Periode: Am Ende: postnummerando:&&𝐾% = (1 + 𝑝) % ∙ 𝐾# +&

(1 + 𝑝 )% − 1 ∙𝐸 𝑝

Am Anfang: (1 + 𝑝)% − 1 pränummerando:&&𝐾% = ( 1 + 𝑝) % ∙ 𝐾# +& ∙ 𝐸 ∙ (1 + 𝑝) 𝑝

Kontinuierliche Verzinsung Der Zins wird n-mal jährlich zum Kapital geschlagen und die Zeitabschnitte werden kleiner Kapital nach einem Jahr: Kapital nach 𝑡 Jahren:

𝐾" = 𝐾# ∙& lim a1 + & b = 𝐾# ∙ 𝑒 H % H %

%→*

𝐾I = 𝐾# ∙ 𝑒 IH

Funktionen mit mehreren Variablen Partielle Elastizitäten 𝜖,,' = &

𝑓J ∙ 𝑦 𝑓' ∙ 𝑥 &&&&&&&&&&&&& 𝜖,,J = & 𝑓 𝑓

Totales Differential Wie verändert sich 𝑓 wenn 𝑥&und 𝑦 gleichzeitig leicht grösser / kleiner werden?

Ändert man 𝑥 um 𝑑𝑥 und 𝑦 um 𝑑𝑦, dann gibt das totale Differential &𝑑𝑓&die Änderung von 𝑓 an. Totales Differential:

𝑑𝑓 = 𝑓' 𝑑𝑥 + 𝑓J 𝑑𝑦

Homogene Funktionen: Eine Funktion 𝑓(𝑥, 𝑦) heisst homogen vom Grad 𝑟, falls für jeden Wert von 𝑘 > 0 gilt: 𝑓(𝑘𝑥 , 𝑘𝑦 ) = 𝑘 : ∙ 𝑓(𝑥, 𝑦)

Eine Funktion 𝑓 (𝑥, 𝑦) heisst linear – homogen, falls für alle 𝑘 > 0 gilt: 𝑓 (𝑘𝑥 , 𝑘𝑦) = 𝑘 ∙ 𝑓(𝑥, 𝑦)

Weiter gilt für homogene Funktionen die Eulersche Relation: 𝑟 ∙ 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 ∙ 𝑓' + 𝑦 ∙ 𝑓J

Anwendung in der Ökonomie Eine Produktionsfunktion gibt den Ertrag 𝑄 in Abhängigkeit vom Kapital 𝐾 und der Arbeit 𝐴 an Kapital&𝐾, Arbeit&𝐴 → Ertrag&𝑄 = 𝑓 (𝐾, 𝐴)&

Cobb – Douglas – Produktionsfunktion: 𝑄 = 𝑐𝐾 K 𝐴L ,&&&&0 < &𝛼 < 1,&&&0 < &𝛽 < 1 Spezialfall:&&𝑄 = 𝑐𝐾 K 𝐴"!(K

CES – Produktionsfunktion: 𝑄 = 𝑓 (𝐾, 𝐴) = (𝑎𝐾M + 𝑏𝐴M) M ,&&&&&&&&&𝑎, 𝑏 > 0, "

𝑝 < 1,

𝑝≠0

Beide Produktionsfunktionen Selten Prüfungsrelevant!!!!

Skalenerträge Geben an, wie sich die Produktionsmenge 𝑄 verhält, wenn die beiden Produktionsfaktoren (fix) je um den Faktor 𝜆 (variabel) gesenkt oder erhöht werden. Wachsen die Faktoren um den Faktor 𝜆, so ist:

𝑄(𝜆) = 𝑃(𝜆 ∙ 𝐾# , 𝜆 ∙ 𝐴# )

Ist 𝑃 homogen vom Grad 𝑘, dann kann nach Definition von Homogenität folgendermassen vereinfacht werden: 𝑄 (𝜆 ) = & 𝜆F &𝑃( 𝐾# , 𝐴# )

Die Änderung in Abhängigkeit von 𝜆&erhält man über die 1. Ableitung. Dies ist der Skalenertrag 𝑄5 ( 𝜆) = 𝑘 ∙& 𝜆F!" &𝑃(𝐾# , 𝐴# )

Durch 2. Ableitung lässt sich bestimmen: Steigung der Skalenerträge für 𝑘 > 1 Konstante Skalenerträge bei 𝑘 = 0

Fallende Skalenerträge für 0 < 𝑘 < 1

Niveaulinien Die Niveaulinien von 𝑓(𝑥, 𝑦) sind die Kurven in der xy – Ebene, die durch 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑧#

Fest gegeben sind. Man schneidet also „das Gebirge“ auf der Höhe 𝑧# mit der xy – Ebene Steigung der Höhenlinie 𝑚 = & −&

𝑓'5 𝑓J5...