Matriz Teoria - Apuntes 2 PDF

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Profesor Bertoa...

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MATRICES Intervalo Natural Inicial: I n = { 1 ; 2 ; 3; 4; .....; n }, es el conjunto formado por los n

primeros números naturales. Tomemos dos intervalos naturales iniciales I p , I q y calculemos el producto cartesiano de dichos conjuntos:

Ip I { (i ; j )/i I p  j Iq } q

Definición:

Se llama matriz “ p x q “ con elementos en K a toda función cuyo dominio es el producto cartesiano de dos intervalos naturales iniciales y codominio un cuerpo ( en nuestro caso los reales ). f : Ip  Iq



K /

f ( i; j ) =

a

i j

La matriz “ f ” queda caracterizada por el conjunto de las imágenes y se escribe como un cuadro de ( p. q ) elementos dispuestos en p filas y q columnas según el ordenamiento natural. Llamaremos A a la matriz cuyo elemento genérico es a i j .

A =

 a 11 a 12 a 13 .................. a 1q    a a a a ................... 2q   21 22 23        a a a ..................a   p1 p 2 p 3 pq 

forma explícita de la función

La imagen de ( i ; j ) es un número perteneciente a K que está ubicado en la fila i y en la columna j y se denota : a i j Tanto las filas como las columnas se llaman líneas. También se denota a la matriz A con ((a i j )) o [a i j ] Con K p  q se denota al conjunto de todas las matrices de p x q con elementos en K. MATRIZ CUADRADA Es toda matriz que tiene igual cantidad de filas que de columnas ( p = q ), es decir, los intervalos naturales iniciales son iguales. En dicho caso diremos que la matriz es de orden p

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. MATRIZ COLUMNA O VECTOR COLUMNA Es toda matriz que posee una sola columna ( p x 1 ). MATRIZ FILA O VECTOR FILA Es toda matriz que posee una sola fila ( 1 x q ). IGUALDAD DE MATRICES A=B

    p q     p     ( i ; j )   p  q

SUMA DE MATRICES   p q     p q 

A +B  p q / A+B = [a i j ] + [b i j ] = [a i j +b i j ]

PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UNA MATRIZ - PRODUCTO EXTERNO k       p q  k    p q / k  k [ a i j ] [ k . a i j ]

ESPACIO VECTORIAL DE MATRICES REALES ( R p q ;

;

R ; .)

Demostraremos que ( R p q ;  ; R ; . ) es un espacio vectorial Siendo  la suma usual de matrices . el producto de un escalar por una matriz La demostración se dará en clase.

FUNCIÓN TRASPOSICIÓN t :  p q   q  p / t (  )  t  [ a' i j ] si  [ a i j ] entonces a ' i j  a j i para todo i, j

Propiedades de la trasposición: P.1) La traspuesta de la traspuesta de una matriz es la misma matriz:

  

p q

:

( t )

t

 

P.2) La traspuesta de la suma es igual a la suma de las traspuestas  

p q

  

p q

: (   ) t  t  t

P.3) La traspuesta de un escalar por una matriz es igual al escalar por  k      p q : ( k  ) t  k  t la traspuesta de la matriz

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PRODUCTO DE MATRICES Veamos primero el producto de una matriz fila por una matriz columna con igual cantidad de elementos

 ( a1 a2... .. .. an ) 1n matriz fila  b1   b2     n1 matriz columna    bn 

n

A . B = a 1b 1  a 2 b 2  ....... a n b n   a i b i i 1

Definición de Producto de Matrices   [ a i j ]  

p q

    [ b i j ]  q r :  .   C  pr / c i j  i 

j

q

donde el elemento

c i j   a ikb k 1

kj

Vemos que el elemento de la matriz C ubicado en la fila i, columna j se obtiene como el producto de la matriz fila i de A por la matriz columna j de B. El producto A.B esta definido si y sólo si la cantidad de columnas de A es igual a la cantidad de filas de B. Podemos escribir el producto de la siguiente forma:

 1 1 1 2. . . 1 r   1 2 r    : fila ide  2 2 . . . 2 i C .   donde  j     : columna jde   1 2. . . .r  p p p

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Propiedades del producto de matrices Asociativa:    p q     q r  C   r n : (  .  ) .C   .(  .C )

Distributiva respecto de la suma:   p q    q r  C  q r :  .(   C )   .   . C

Elemento neutro para el producto de matrices cuadradas:

  n  n n /   n n :  n .  . n  Otra propiedad de la trasposición P.4) La traspuesta de un producto de matrices es igual al producto de las traspuestas permutado   p q    q l : ( .  ) t  t . t

MATRICES CUADRADAS ESPECIALES MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR   [ t i j ]  n n es triangular sup.  t i j 0 si i  j

Espacio vectorial de matrices triangulares superior. Se dará en clase. MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR   [ t i j ]  n n es triangular inf.  t i j 0 si i  j

Espacio vectorial de matrices triangulares inferior. Se dará en clase. MATRIZ DIAGONAL D [ d i j ] n n es diagonal  d i j 0 si i  j Espacio vectorial de matrices diagonales. Se dará en clase. Si una matriz es triangular inferior y superior entonces es diagonal MATRIZ ESCALAR

 0 si i j  [eij ]  esescalar  eij    a si i  j ( a   ) n n

Espacio vectorial de matrices escalares. Se dará en clase

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Una matriz escalar es una matriz diagonal especial en donde todos los elementos de la diagonal principal son iguales. MATRIZ UNIDAD O IDENTIDAD

 0 si i j  n [  i j ]  esunidad   i j   1 si i  j n n

Una matriz unidad es una matriz escalar especial en donde todos los elementos de la diagonal principal son iguales a 1. MATRIZ SIMÉTRICA S = [ s i j ] nn es simé trica  s i j s j i  i  j S es simé trica  S = S t Espacio vectorial de matrices simétricas. Se dará en clase. Si una matriz es diagonal entonces es simétrica. Propiedad: P.5) de la trasposición La suma de una matriz y su traspuesta es una matriz simétrica   n n :   t  S y S simétrica D) St  (    t ) t  t  (  t ) t  t      t  S por transitiva de la igualdad

S=

P. 2) S t entonces

P.1)

Ax.3

S es simétrica entonces A + A t es simétrica

MATRIZ ANTISIMÉTRICA   [ a i j ]  n n es antisimé trica  a i j  a j i  i , j  es antisimé trica    t

Espacio vectorial de matrices antisimétricas Se dará en clase. En una matriz antisimétrica los elementos de la diagonal principal son todos nulos. Si i  j  a i i  a i i  a i i 0

Propiedad: P.6) de la trasposición La diferencia entre una matriz y su traspuesta es una matriz antisimétrica     n n :    t  B y B antisimétrica D)  t   (   t ) t  [  (   t ) ]t  (    t ) t  (   )t  (t )t  t     t   P.3)

dist.

P.2)

P.1)

Ax. 3

Por transitiva de la igualdad:  t   entonces B es antisimétrica entonces antisimétrica De las P.5) y P.6) obtenemos que:   t  S siendo S simétrica (1) t   = Q siendo Q antisimétrica (2) Sumando miembro a miembro (1) y (2)

  t

es

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(   t ) + ( 

t

) = S+Q 2 A = S + Q A =

1 1 Q S + 2 2

Por lo tanto toda matriz cuadrada se puede descomponer en suma de una matriz simétrica más otra antisimétrica. MATRIZ ORTOGONAL P  nn es ortogonal

  . t   t .   n

RANGO DE UNA MATRIZ Dada la matriz   n n

A =

 a 11 a 12 a 13 .................. a 1q    1   a 21 a 22 a 23 ...................a 2 q      =  2   1  2. . .q        a a a .................. a   p  p1 p 2 p 3 pq 

 

ESPACIO FILA Y ESPACIO COLUMNA DE UNA MATRIZ El espacio fila de la matriz A es el espacio generado por los vectores fila de A E f ( A ) = gen { 1 ; 2 ;........;  p } El espacio columna de la matriz A es el espacio generado por los vectores columna de A E c ( A ) = gen { 1 ; 2 ; ............; q } RANGO FILA Y RANGO COLUMNA DE UNA MATRIZ El rango fila de una matriz es igual a la dimensión del espacio fila de dicha matriz rg f ( A ) = dim E f ( A ) El rango columna de una matriz es igual a la dimensión del espacio columna de dicha matriz rg c ( A ) = dim E c ( A ) El rango fila de una matriz es igual al rango columna e igual al rango de la matriz rg f ( A ) = rg c ( A ) = rg ( A )

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Por lo tanto el rango de una matriz es igual a la máxima cantidad de vectores fila o columna linealmente independientes que tiene la matriz. OPERACIONES ELEMENTALES EN UNA MATRIZ Op.1) Permutación de dos líneas paralelas. Op.2) Multiplicación de una línea por un escalar no nulo. Op.3) A una línea sumarle otra multiplicada por un escalar. Dada A = ( 1 2....... i ......  j....... q )   pq Op.1) Permutación de dos columnas ( operación  1 ) i   j  1 (  )  '  ( 1  2 ...... j ......i .......q ) Op.2) Producto de una columna por un escalar no nulo. ( operación  2 ) i '   i 2 (  )  ' '  ( 1 2 ........ i........  j ...... q ) Op.3) A una columna sumarle otra por un escalar. ( operación  3 )  i '  i    j  3 (  )  ' ' '  ( 1 2 ....... i   j ...... j ..... q )

En forma análoga se realizan las operaciones elementales sobre filas. Propiedad El rango de una matriz no varía si se le aplican a la misma un número finito de operaciones elementales. Es decir gen { 1 ; 2 ;.......; i ;......; j ;.......; q } = gen { 1; 2 ;......; j ;......; i ;.......; q } = = gen { 1; 2;.....; i ;.....; j ;....; q }= gen{ 1; 2;......; i   j ;......;  j ;.....; q } Todos estos conjuntos de vectores generan el mismo espacio y por lo tanto tienen la misma dimensión (rango) Vector Canónico: Son vectores en los cuales todos los elementos son iguales a cero excepto uno que vale 1 RANGO DE UNA MATRIZ Es la mayor cantidad de vectores columna (o fila ) canónicos distintos que se pueden obtener en una matriz aplicando operaciones elementales. MATRIZ INVERSIBLE   n n es inversible o regular    n n / .   .   n

Se lee B es la inversa de A y se denota con

  1=

B

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Propiedades : 1) Si una matriz admite inversa, ésta es única D) Supongamos que B y C son inversas de A: B = B . I = B . (A. C ) = ( B .A) . C = I . C = C entonces por transitiva de la I neutro. C inv A

. asoc

B inv A

I neutro .

igualdad B = C por lo tanto la inversa es única. 2) Si A es inversible entonces la inversa de la inversa de A es A D)

(   1 )  1   .    .    entonces (  1 ) 1   1

1

3) Si A y B son inversibles de igual orden entonces la inversa del producto es igual al producto de las inversas permutado.

( .  )  1    1 .   1 D) ( . ) . (  1.  1 )  . ( .  1 ) .  1  . .  1 ( .  ) .  1  .  1   (1) (  1.  1 ) .( .  )   1.(  1 .  ) .   1 .  .   (  1 .  ) .    1 .    (2)

de (1) y (2) :

( .  ) . (  1 .  1 ) = (   1.  1 ) . (  .  ) = I entonces (  .  )  1    1 . 

1

4) Una matriz es inversible si y sólo si su rango es igual al orden   n n es inversible  rg (  )  n (La dem. se verá más adelante)

Propiedad de las matrices ortogonales: La inversa de una matriz ortogonal es igual a su traspuesta. (ver la definición de matriz ortogonal ) MATRIZ ELEMENTAL Es la matriz que se obtiene al aplicar una única operación elemental a la matriz identidad. E =  ( n ) Propiedades: Prop. 1) Las matrices elementales son inversibles. D) rg ( E ) = rg (  n ) = n entonces E es inversible Prop. 2) Aplicar una operación elemental sobre filas (columnas ) a una matriz, equivale a premultiplicar ( posmultiplicar ) por la matriz elemental que se obtuvo al aplicar la misma operación elemental a la identidad. MATRICES EQUIVALENTES Dos matrices son equivalentes si a partir de una se puede obtener la otra mediante un número finito de operaciones elementales. Entonces dadas A, B  p q :     (  t ....  2 1 )  ( 1  2......  u ) a partir de A para obtener B se aplicaron t operaciones elementales sobre filas y u operaciones sobre columnas

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B = C A D siendo C y D inversibles Propiedad: Dos matrices equivalentes tienen el mismo rango. CÁLCULO DEL RANGO DE UNA MATRIZ POR EL MÉTODO DE GAUSS JORDAN Para calcular el rango de una matriz cualquiera el método consiste en obtener una matriz equivalente a la dada aplicando operaciones elementales para obtener la mayor cantidad de vectores columna canónicos. Por lo tanto el rango de la matriz será la mayor cantidad de vectores columna canónicos linealmente independientes. El proceso es: 1) Se elige un elemento como pivote (distinto de 0, en lo posible igual a 1) 2) Se divide la fila del pivote por el pivote. 3) Los elementos de la columna del pivote se transforman en 0 y el pivote en 1. 4) A los demás elementos se les resta el producto de los elementos que se encuentran en la intersección de las filas y columnas del elemento y el pivote. 5) Se repite el procedimiento a partir de 1) eligiendo otro pivote que se encuentre en distinta fila y columna del anterior; hasta que se logre obtener la mayor cantidad de vectores columna canónicos. MÉTODO DE GAUSS JORDAN PARA EL CÁLCULO DE LA MATRIZ INVERSA Dada A n n inversible entonces

la inversa de  es  1 n n

Se escriba la matriz A y a su derecha la matriz identidad de igual orden que A, así es obtiene una matriz de n x 2n. Se aplican operaciones elementales exclusivamente sobre filas a la nueva matriz hasta que la matriz A se transforme en la identidad y la que se obtiene a su derecha es la inversa de A.

 (  )  n C   (  n)    C n  C



I

In

B

n

operaciones elementales sobre filas

entonces (1) n  C  entonces ( 2)   C

reemplazando (2) en (1) n  

entonces    1

El proceso para al cálculo de la inversa es idéntico al del rango, el pivote siempre se elige en la matriz A y se transforman todos los elementos de la matriz de n x 2n hasta que A se transforme en la matriz identidad. En el caso que se obtengan los vectores canónicos pero no en el orden que están en le identidad se deben permutar las filas hasta obtener la identidad.

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Nota: Si no se obtiene la matriz identidad a partir de la matriz A es porque A no es inversible, calcule su rango y verá que es menor n, el orden de la matriz A. Otras matrices cuadradas especiales: MATRIZ IDEMPOTENTE   n n es idempotente

Siendo

 2  

 2   .

MATRIZ INVOLUTIVA    n n es involutiva  2   n

Propiedad de las matrices involutivas: La inversa de una matriz involutiva es la misma matriz  es involutiva

  1  

Otra propiedad de las matrices inversibles de la página 8: 5) k  R - { 0 } y A inversible :

( k  )  1  1  1

k 1 1 1 1 1 1 D) ( k  ) .(  )  k (  ) .  k (  )  1  ( k ) (  1 ) 1 .   (1) k k k k 1 de forma análoga se demuestra que . (  1 ) ( k A ) = I (2) k 1 1 1 1 de (1) y (2) ( k A ) . (  ) = . (  ) . ( k A ) = I entonces ( k  )  1  1  1 k k k...