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Apuntes de Matemáticas 2 ADE/Economía/Marketing

Universitat d’Alacant

Begoña Subiza & Josep E. Peris Mètodes Quantitatius i Teoria Econòmica licensed under a Creative Commons Internacional License

Capítulo 1

ÁLGEBRA LINEAL (continuación) 1. Algunos conceptos sobre vectores 2. Planos en el espacio tridimensional 3. Formas cuadráticas

Introducción Este capítulo es una continuación del último de la asignatura Matemáticas 1 y en el mismo se analizarán distintas cuestiones sobre vectores n°dimensionales, planos en el espacio tridimensional (R3 ) y algunas cuestiones sencillas sobre formas cuadráticas que jugarán un papel muy importante en el desarrollo de la asignatura.

1. Algunos conceptos sobre vectores En la asignatura Matemáticas 1 ya se ha utilizado el concepto de vector (vector director de una recta, vector solución de un sistema de ecuaciones, matriz/vector fila o columna, vectores independientes, ...) aunque sin dedicar un estudio específico a los mismos. Como se sabe, un vector en Rn es un conjunto de n números reales ordenados, v = (v 1 , v 2 ,. . . , v n ). Cada v i se denomina coordenada (o componente) del vector v . Así, v 1 es la primera coordenada, v 2 la segunda, . . . Esta sección está dedicada a introducir/recordar algunas nociones básicas sobre vectores.

1.1. Operaciones con vectores Se consideran dos vectores de Rn , v = (v 1 , v 2 ,. . . ,v n ), w = (w 1 , w 2 ,. . . , w n ) y un número real (un escalar) Æ 2 R. Suma/resta de vectores: La suma o resta de vectores se realiza coordenada a coordenada v + w = (v 1 , v 2 ,. . . ,v n ) + (w 1 , w 2 ,. . . , w n ) = (v 1 + w 1 , v 2 + w 2 ,. . . , v n + w n ) v ° w = (v 1 , v 2 ,. . . ,v n ) ° (w 1 , w 2 ,. . . , w n ) = (v 1 ° w 1 , v 2 ° w 2 ,. . . , v n ° w n ) Geométricamente, como se observa en la figura 1.1, el vector suma es la diagonal mayor del paralelogramo que determinan los vectores, mientras que la resta viene determinada por la diagonal menor (trasladada al origen). 1

CAPÍTULO 1: ÁLGEBRA LINEAL (continuación)

Figura 1.1: Suma y resta de vectores en R2 Multiplicación de un vector por un escalar: Para multiplicar un vector por un escalar, se multiplica cada coordenada del vector por dicho número real Æv = Æ (v 1 , v 2 ,. . . ,v n ) = (Æv 1 ,Æv 2 ,. . . , Æv n ) Cuando se multiplica un vector por un escalar, el resultado que se obtiene es un vector en la misma dirección, y: • Si el escalar tiene valor absoluto mayor que 1, la longitud del vector aumentará (se alarga el vector) • Si el escalar tiene valor absoluto entre 0 y 1, la longitud del vector disminuirá (se acorta el vector) • Si el escalar es positivo, mantendrá su sentido • Si el escalar es negativo cambiará el sentido del vector

Figura 1.2: Multiplicación de un vector por un escalar

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CAPÍTULO 1: ÁLGEBRA LINEAL (continuación)

Combinación lineal de (dos) vectores: Esta operación conjuga las dos operaciones anteriores: suma/resta de vectores y multiplicación por un escalar. Si Æ,Ø 2 R, ¢ ° Æv + Øw = Æ (v 1 , v 2 ,. . . ,v n ) + Ø(w 1 , w 2 ,. . . , w n ) = Æv 1 + Øw 1 ,Æv 2 + Øw 2 ,. . . ,Æv n + Øw n

Producto escalar de vectores:

El producto escalar de dos vectores da como resultado un número real, que se define del siguiente modo: v · w = (v 1 , v 2 ,. . . ,v n ) · (w 1 , w 2 ,. . . ,w n ) = v 1 w 1 + v 2 w 2 + . . . + v n w n 2 R Nota 1 Si los vectores de Rn se consideran como matrices columna n £1, y se representa su transpuesta (matriz fila 1 £ n) por v 0 , el producto escalar de dos vectores se escribe, en forma matricial 0 1 w1 B w C B 2 C C v · w = v 0 w = (v 1 , v 2 ,. . . ,v n ) B B .. C = v 1 w 1 + v 2 w 2 + . . . + v n w n @ . A wn Ejemplo 1 Dados los vectores de R3 , v = (1, °1,2), w = (0,3,°2) calcula: • 3v + 5w = 3(1, °1,2) + 5(0,3,°2) = (3, °3,6) + (0,15, °10) = (3,12,°4)

• v · w = (1, °1,2) · (0,3, °2) = 1 · 0 + (°1) · 3 + 2 · (°2) = 0 ° 3 ° 4 = °7

• v · v = (1, °1,2) · (1, °1,2) = 12 + (°1)2 + 22 = 1 + 1 + 4 = 6

Nota 2 Hay que señalar que el producto escalar de dos vectores es un número real que puede ser positivo o negativo, como puede verse en los dos productos calculados en el ejemplo 1. Sin embargo, cuando se multiplica un vector por sí mismo el resultado será siempre mayor o igual a cero, ya que será la suma de las coordenadas del vector al cuadrado v · v = (v 1 , v 2 ,. . . ,v n ) · (v 1 , v 2 ,. . . , v n ) = v 1 v 1 + v 2 v 2 + . . . + v n v n =

n X

(v i )2 ∏ 0

i =1

De hecho, siempre que el vector sea distinto del vector nulo, el producto escalar del vector por sí mismo dará un número estrictamente positivo. El único vector que cumple v · v = 0 es el vector nulo, v = (0,0,. . . ,0) .

1.2. Norma, distancia y ángulo entre vectores Norma o longitud de un vector: Dado un vector v = (v 1 , v 2 ,. . . , v n ), se denomina norma (o longitud) de este vector al número real s n X p kv k = v · v = (v i )2 i =1

Nótese que la raíz cuadrada está bien definida ya que, como se ha remarcado, el producto escalar de un vector por sí mismo es un número mayor o igual a cero.

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CAPÍTULO 1: ÁLGEBRA LINEAL (continuación)

Por otro lado, la norma de un vector es justo lo que mide este vector (en las unidades correspondientes: metros, centímetros, ...). Por ejemplo, para el caso de vectores de R2 , v = (a,b), a partir del Teorema de Pitágoras se tiene que la longitud del vector (la hipotenusa del triángulo rectángulo) es igual a la raíz cuadrada de la suma de las coordenadas al cuadrado (los catetos al cuadrado), es decir, la longitud de dicho vector coincide con su norma: kv k = k(a,b)k =

p

a2 + b2

Figura 1.3: Norma o longitud de un vector en el plano R2

Ejemplo 2 Calcula la norma de los vectores del ejemplo 1. p 6 p p • kw k = k (0,3,°2) k = 0 + 9 + 4 = 13

• kv k = k (1,°1,2) k =

µ ∂ 1 1 Ejemplo 3 Calcula la norma de los vectores de R2 v = (3, °4), u = ° p , p 2 2 p p • kv k = k (3,°4) k = 9 + 16 = 25 = 5 ∞µ ∂∞ r ∞ 1 p 1 1 ∞ ∞= 1 + = 1= 1 , p • kuk = ∞ ° p ∞ ∞ 2 2 2 2

Normalización de un vector:

El vector u del ejemplo 3 tiene longitud igual a 1. Se llama unitario a un vector de estas características, es decir que tiene norma igual a 1. En muchas ocasiones los vectores únicamente indican una dirección en la que moverse, y su longitud es irrelevante. Es por ello que, en estos casos, se eligen vectores unitarios. Dado un vector v 2 Rn , se denomina normalizar este vector, a calcular otro vector que tenga la misma dirección y sentido, y su longitud sea 1, es decir, sea unitario. Para obtenerlo, basta con dividir el vector v por su longitud kv k, v u= kv k 4

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CAPÍTULO 1: ÁLGEBRA LINEAL (continuación)

Ejemplo 4 Normaliza los vectores del ejemplo 1. • v = (1, °1,2) , • w = (0,3,°2) ,

∂ µ 1 1 1 2 ) u = p v = p ,° p , p 6 6 6 6 ∂ µ p 1 3 2 kw k = 13 ) u = p w = 0, p ,° p 13 13 13

p kv k = 6

Distancia entre dos vectores: Se llama distancia entre dos vectores u, v a la norma del vector diferencia (resta) de ambos: dados v = (v 1 , v 2 ,. . . ,v n ), w = (w 1 , w 2 ,. . . , w n ) 2 Rn , q d (v, w ) = kv ° w k = (v 1 ° w 1 )2 + (v 2 ° w 2 )2 + . . . + (v n ° w n )2

Figura 1.4: Distancia entre dos vectores Ejemplo 5 Calcula la distancia entre los vectores del ejemplo 1. p p d (v, w ) = kv ° w k = k (1,°1,2) ° (0,3, °2) k = 12 + (°4)2 + 42 = 33 Ángulo entre dos vectores: Dados dos vectores no nulos v = (v 1 , v 2 ,. . . ,v n ) 2 Rn , v 6= 0, w = (w 1 , w 2 ,. . . , w n ) 2 Rn , w 6= 0, su producto escalar coincide con el valor v · w = kv k kw k cos(') donde ' es el ángulo que forman dichos vectores. Hay que recordar que en el plano R2 el ángulo que forman dos rectas que se cortan se define como el menor de los dos ángulos que se originan. De igual manera, para cualquier dimensión, el ángulo entre dos vectores siempre se considera entre [0,º ] (entre 0 y 180 grados). Si se despeja en la fórmula anterior el coseno, queda cos(') =

v ·w v1w1 + v2w2 + . . . + vn wn qP = qP n n (v )2 kv k kw k (w )2 i =1

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i

i =1

i

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CAPÍTULO 1: ÁLGEBRA LINEAL (continuación)

Figura 1.5: Ángulo entre dos vectores Tienen especial interés los casos en que los vectores son proporcionales (forman un ángulo de 0 grados, cuando cos(') = 1, o de 180 grados, ºradianes, cuando cos(') = °1) o perpendiculares º (también denominados ortogonales, forman un ángulo de 90 grados, radianes). En este caso, 2 v ·w se cumple que: como cos(º /2) = 0 = kv k kw k Dos vectores v , w son perpendiculares , v · w = 0 Ejemplo 6 Los vectores del ejemplo 1 no son perpendiculares, ya que, según se ha visto, su producto escalar vale °7 6= 0. El coseno del ángulo que forman vale 7 °7 cos(') = p p = ° p 78 6 13 que es diferente de 1, °1 y, por tanto, tampoco son proporcionales. Con la ayuda de una calculadora, se puede obtener que ' º 10 43 radianes (º 82o ). Ejemplo 7 Analiza si los siguientes vectores son perpendiculares o proporcionales y, en este caso, indica el ángulo que forman (' = 0, ' = ). º • v = (1, °1), w = (°2,2).

Como v · w = °4, no son perpendiculares. Si se calcula el coseno del ángulo que forman se tiene °4 °4 °4 = °1 cos(') = p p = p = 4 16 2 8 luego son proporcionales y forman un ángulo de ºradianes (180 grados); es decir, tienen sentido contrario.

• v = (1, °1), w = (1,1).

En este caso, v · w = 1 ° 1 = 0, luego estos vectores son perpendiculares.

Ejercicio 1 Encuentra un vector en el plano R2 que sea perpendicular al vector v = (3, °2). 6

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CAPÍTULO 1: ÁLGEBRA LINEAL (continuación)

2. Planos en el espacio tridimensional En el espacio tridimensional R3 , dado un vector no nulo p = (A,B,C ) 6= (0,0,0), se denomina plano a un conjunto de puntos de la forma © ™ © ™ (x, y, z) 2 R3 : (A,B,C ) · (x , y, z) = c ¥ (x , y, z) 2 R3 : Ax + B y + C z = c

siendo c un número real, c 2 R. Al vector p = (A,B,C ) se le denomina vector perpendicular (o vector normal) al plano.1

Figura 1.6: Plano en R3 Dado un punto (x 0 , y0 , z 0 ) 2 R3 y un vector no nulo p = (A,B,C ) 6= (0,0,0), solo hay un plano en R3 que pasa por dicho punto y es perpendicular al vector p, que tiene la ecuación (A, B,C ) · (x, y, z) = (A , B,C ) · (x 0 , y0 , z 0 )

)

Ax + B y + C z = Ax0 + B y 0 + C z0

Ejemplo 8 Calcula la ecuación del plano que pasa por el punto (1,°1,2) y es perpendicular al vector p = (°2,2, °1). Calcula otros dos puntos que estén en el plano. La ecuación del plano es (°2,2, °1) · (x, y, z) = (°2,2, °1) · (1, °1,2)

)

°2x + 2y ° z = °6

Para obtener otros dos puntos, una vez se tiene la ecuación del plano se dan valores a las variables x, y, calculando el valor de z que cumple la ecuación. Por ejemplo, x = 0, y = 0

)

°z = °6

x = 0, y = 1

)

2 ° z = °6

) )

z =6 z =8

) )

se tiene el punto (0,0,6) se tiene el punto (0,1,8)

1 Este concepto se generaliza a espacios de dimensión superior, y se denominan hiperplanos. Por ejemplo, en R4 un

hiperplano es un conjunto de la forma n o n o (x, y, z, t) 2 R4 : (A,B,C ,D) · (x , y, z, t) = c ¥ (x , y, z, t) 2 R4 : Ax + B y + C z + Dt = c

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CAPÍTULO 1: ÁLGEBRA LINEAL (continuación)

Ejemplo 9 Obtén un vector unitario que sea perpendicular al plano 3x ° y + 5z = °21. Encuentra un punto con las tres coordenadas iguales que esté en el plano. Un vector perpendicular se obtiene tomando los coeficientes de las variables x, y, z en la ecuación del plano. Por tanto, en este caso será µ p = (3, °1,5). ∂Este vector no tiene norma 1, luego es necesario p 3 °1 5 normalizarlo: kpk = 35, luego u = p , p , p . 35 35 35 Para que un punto con tres coordenadas iguales (a , a , a) esté en el plano, debe cumplir su ecuación: 3a ° a + 5a = °21

)

7a = °21

)

a = °3 y se tiene el punto (°3, °3, °3)

2.1. Posición de dos planos en el espacio tridimensional Dos planos en el espacio tridimensional se cortan en una recta, o son paralelos. En caso de ser paralelos, sus vectores normales serán proporcionales; es decir, formarán un ángulo de 0 o de ºradianes (0 o 180 grados). Si los vectores normales a los planos no son proporcionales, entonces se cortarán en una recta. Un caso particular de planos que se cortan es cuando lo hacen formando un ángulo de 90o , en cuyo caso los vectores normales serán perpendiculares uno al otro, es decir su producto escalar será cero: Dados dos planos p · (x, y, z) = c, q · (x, y, z) = d , éstos se cortan formando un ángulo de 90o cuando p · q = 0.

Figura 1.7: Planos formando un ángulo de 90o en R3

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CAPÍTULO 1: ÁLGEBRA LINEAL (continuación)

Ejemplo 10 Analiza, para cada uno de los diferentes apartados, si los planos son paralelos, o si se cortan formando un ángulo de 90o . 3x + y = 2, °x + y ° z = 1

Los vectores normales son p = (3,1,0), q = (°1,1, °1). Si se realiza el producto escalar de estos vectores, p · q = °3 + 1 + 0 = °2 6= 0, luego no forman un ángulo de 90o . También se observa que estos vectores no son proporcionales, por tanto los planos no son paralelos. x ° 2y ° 00 5z = 12, °2x + 4y + z = 1

Los vectores normales son p = (1, °2, °00 5), q = (°2,4,1). Si se realiza el producto escalar de estos vectores, p ·q = °2°8°00 5 = °100 5 6= 0, luego no forman un ángulo de 90o . En este caso, se observa que estos vectores son proporcionales, q = °2p, por tanto los planos son paralelos. x + y + z = 3, °x + 2 y ° z = 0

Los vectores normales son p = (1,1,1), q = (°1,2, °1). Si se realiza el producto escalar de estos vectores, p · q = °1 + 2 ° 1 = 0, luego los planos se cortan formando un ángulo de 90o .

3. Formas cuadráticas Definición 1 Dada una matriz cuadrada simétrica An£n , se llama forma cuadrática asociada a dicha matriz a una función Q : Rn ! R que a cada vector v 2 Rn le asocia el número real Q(v ) = v 0 Av =

n X

ai j v i v j

i ,j =1

En el caso de una matriz simétrica de orden 2, se tiene ∂ ∂µ µ x a 11 a 12 = a 11 x 2 + 2a 12 x y + a 22 y 2 Q(x, y) = (x y) a 12 a 22 y En el caso de tres variables (matriz simétrica de orden 3), 0 1 10 x a 11 a 12 a 13 Q(x, y, z) = (x y z) @ a 12 a 22 a 23 A @ y A = a 11 x 2 +2a 12 x y +2a 13 xz+ a 22 y 2 +2a 23 yz + a 33 z 2 a 13 a 23 a 33 z Ejemplo 11 Observa las siguientes formas cuadráticas. a) La forma cuadrática asociada a la matriz A =

µ

1 3

0 @ °1 b) La forma cuadrática asociada a la matriz A = 3 0

3 °1

∂

°1 2 1

es Q(x , y) = x 2 + 6x y ° y 2 1 3 1 A es 4

Q(x, y, z) = °2x y + 6xz + 2y 2 + 2yz + 4z 2

c) Dada la forma cuadrática Q (x , y, z) = x 2 + 2x y + 3y 2 ° yz + 2z 2 , su matriz simétrica es 1 @ A= 1 0 0

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1 3 °00 5

1 0 0 °0 5 A 2 9

CAPÍTULO 1: ÁLGEBRA LINEAL (continuación)

Nota 3 ¿Por qué se llaman formas cuadráticas? La razón es porque se trata de polinomios (en varias variables) en los que todos los sumandos tienen grado exactamente dos (cuadrático), sumando los exponentes de las variables que aparecen en cada sumando. En el caso de una variable, se trataría de funciones del tipo f (x) = ax 2 , es decir, parábolas.

3.1. Signo de una forma cuadrática Definición 2 Una forma cuadrática Q(v ) = v 0 Av se dice que es: 1. Definida positiva, si para cualquier vector v no nulo, v 6= 0, Q(v ) = v 0 Av > 0 2. Definida negativa, si para cualquier vector v no nulo, v 6= 0, Q(v ) = v 0 Av < 0 3. Semidefinida positiva, si para cualquier vector v , Q(v ) = v 0 Av ∏ 0 y existe un vector v no nulo, v 6= 0, tal que Q(v ) = v 0 Av = 0 4. Semidefinida negativa, si para cualquier vector v , Q(v ) = v 0 Av ∑ 0 y existe un vector v no nulo, v 6= 0, tal que Q(v ) = v 0 Av = 0 5. Indefinida en cualquier otro caso; es decir, si existe un vector v no nulo, v 6= 0, tal que Q (v ) = v 0 Av > 0 y existe otro vector w no nulo, w 6= 0, tal que Q(w ) = w 0 Aw < 0 Ejemplo 12 Analiza el signo de las siguientes formas cuadráticas. a) La forma cuadrática Q(x, y, z) = x 2 + 2y 2 + 4z 2 Esta forma cuadrática es definida positiva, ya que todos los términos que aparecen lo son, y el único modo de que se anule es hacer x = y = z = 0. b) La forma cuadrática Q(x, y ) = °x 2 ° 2 y 2

Esta forma cuadrática es definida negativa, ya que los elementos que aparecen son negativos y solo se anula para x = y = 0.

c) La forma cuadrática Q(x, y, z) = x 2 ° 2y 2 + 4z 2

Esta forma cuadrática es indefinida, ya que Q(1,0,0) = 1 > 0, mientras que Q(0,1,0) = °2 < 0.

d) La forma cuadrática Q(x, y, z ) = x 2 + 4z 2 Esta forma cuadrática es semidefinida positiva, al ser siempre mayor o igual a cero, pero si se considera el vector (0,1,0) 6= (0,0,0) entonces Q (0,1,0) = 0. Nota 4 Cuando en una forma cuadrática aparecen solo las variables al cuadrado (no aparecen los productos de dos variables diferentes), como es el caso de los ejemplos anteriores, es fácil saber el signo que tiene dicha forma cuadrática. Sin embargo, cuando aparecen los productos de distintas variables x y, xz, . . . (por ejemplo, Q(x , y) = x 2 + 5x y + 4y 2 , o Q (x, y) = x 2 °4x y + 4y 2 ) ya no resulta tan evidente, ni siquiera en el caso de solo dos variables. En los siguientes apartados se verá cómo saber de manera sencilla el signo de una forma cuadrática.

3.2. Clasificación de formas cuadráticas: menores principales Un modo sencillo para clasificar una forma cuadrática se basa en el cálculo de determinantes. En primer lugar se verá un método para determinar si una forma cuadrática es definida (positiva o negativa). 10

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CAPÍTULO 1: ÁLGEBRA LINEAL (continuación)

Definición 3 Dada una matriz A n£n los menores principales superiores izquierda son los determinantes 0 1 µ ∂ a 11 a 12 a 13 a 11 a 12 D 3 = det @ a 21 a 22 a 23 A D 1 = a 11 D 2 = det ... D n = det(A) a 21 a 22 a 31 a 32 a 33 Si los menores principales superiores izquierda de la matriz simétrica A asociada a una forma cuadrática Q(v ) son todos distintos de cero, D i 6= 0, para i = 1,2,. . . ,n, la forma cuadrática se puede expresar del siguiente modo Q(v ) = v 0 Av = D 1 u12 +

D2 D1

u 22 +

D3 D2

u32 . . . +

Dn D n°1

un2

siendo u 1 , u 2 , ..., u n nuevas variables (obtenidas mediante cambios de variable). Entonces solo aparecen las variables al cuadrado, y son los D i (los menores principales superiores izquierda) los que deciden el signo de la forma cuadrática. Se tiene por tanto que: 1. Q es definida positiva, si todos los D i > 0 2. Q es definida negativa, si los D i van cambiando de signo empezando por negativo: D 1 < 0,

D 2 > 0,

D 3 < 0,

...

Ejemplo 13 La forma cuadrática asociada a la matriz 1 A=@ 1 0 0

1 3

0

1

° 12 A 2

° 12

es definida positiva, ya que D 1 = 1 > 0,

D 2 = 2 > 0,

D3 =

15 >0 4

Ejemplo 14 La forma cuadrática asociada a la matriz A=

µ

°3 2

2 °2

∂<...