MCU - Movimiento circular uniforme PDF

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Apunte de MCU (Movimiento circular uniforme) completo y entendible...

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MOVIMIENTO CIRCULAR El movimiento circular está presente en multitud de situaciones de la vida cotidiana: las manecillas de un reloj, las aspas de un molino eólico, las ruedas, el plato de un microondas, las fases de la Luna... En el movimiento circular uniforme (MCU) el móvil describe una trayectoria circular con rapidez constante. Es decir, recorre arcos iguales en tiempos iguales. Queremos para esta parte del curso estudiar cualitativamente el movimiento circular y su tratamiento gráfico. Nuestra finalidad es lograr:     

Diferenciar entre el desplazamiento angular y el desplazamiento a lo largo de la trayectoria. Encontrar la relación que entre ambos desplazamientos. Diferenciar entre la velocidad angular y la velocidad lineal. Encontrar la relación que existe entre ambas. Obtener el periodo y la frecuencia en un movimiento circular con velocidad uniforme. La aceleración en un movimiento circular con velocidad uniforme, entender la razón de su existencia. Ejemplos cotidianos: El movimiento de la Luna, etc.

Algunas de las principales características del movimiento circular uniforme (MCU) son las siguientes:    



La velocidad angular es constante (ω = cte) El vector velocidad es tangente en cada punto a la trayectoria y su sentido es el del movimiento. Esto implica que el movimiento cuenta con aceleración normal. Tanto la aceleración angular (α) como la aceleración tangencial (at) son nulas, ya que la rapidez o celeridad (módulo del vector velocidad) es constante. Existe un periodo (T), que es el tiempo que el cuerpo emplea en dar una vuelta completa. Esto implica que las características del movimiento son las mismas cada T segundos. La expresión para el cálculo del periodo es T=2π/ω y es sólo válida en el caso de los movimientos circulares uniformes. Existe una frecuencia (f), que es el número de vueltas que da el cuerpo en un segundo. Su valor es el inverso del periodo.

Partículaa en una trayectoria cirrcular L La característiica del movimiento es que lla velocidad es siempre tangente ala trayectoria. Esto significa quue si la trayec ctoria de la ppartícula es cirrcular V y r so on SIEMPRE perpendiculaares. E Es mejor tomaar como sistem ma de referenccia uno centrado en el ccentro del movvimiento circuular.

m escribir p osiciones y veelocidades en el sistema coordenado que Si queremos hemos de e finido estas sse expresarán vectorialmentt e así:    

r1 = (0,R); r2 = (R,0); r3 = (0,-R); r4 = (-R, 0);

v1= (v1, 0) v2= (0, -v2) v3= (-v3,0) v4= (0, v4).

Miremos el vector veloocidad: cambiia de dirección n constantemeente. Y ¿qué ssucede con ó n de la partíccula? Tambiénn cambia de dirección y senntido en cada iinstante de la posició tiempo. SIEMPRE supondremoos que el movimiento es en un plano o se a el “círculo no es alabeado”. Vemos quee aparece como un concepto nuevo, ahoraa el desplaza miento m es e tradicional movimiento r ectilíneo, o el un arcodde circunferencia, ya no es el movimiento del tiro obblicuo que era un arco de pa arábola. Entonce s ¿cuáles son l as restricciones de este moovimiento circcular?

|r = cte

nentes x e y; pero p si observamos Así la poosición de la p artícula vendrr á dada por suu vector posiciión de compon detenidam mente vemos que al tener la a distancia, coonstante, al ceentro de coord denadas podem mos describir su posición SOLO a través é de un ángullo: θ o Δθ. El recorrido de la partí cula puede ex x presarse com m o Δs = R Δθ d radio R, suu longitud, Recordarr que esta rela ción apareció con la definicción de radiánn. Dada una c ircunferencia de L, igual a es R por 2π radianes. Pero toda a la longitud dde la circunferr encia “barre” un arco de Δθ= 2π, y es igual a L = 2π RR. Eso quierre decir que el arco barrido por un ánguloo Δθ es Δs= R Δθ Ya tenem mos resuelto cual es la distancia recorridaa por la partícuula, y dado que un arco Δs en un tiempo Δt; Escribimos: Δ ≡ R ω (1) |V| = Δs/ Δt = R Δθ / Δt Donde definimos ω co mo la variación temporal ddel ángulo θ  Δθ / Δt ≡ ω , nos dice conn qué rapidez e l ángulo e está camb biando, por esso definimos ω como velo ocidad angular del movimie ento circular. a des son [θ]/[t]= rad/s. Sus unida

De este m modo si el mo vimiento es circular  |r| = R = cte vimiento circuular uniforme  ω = cte  (1) Si el mov

|v| = R ω =cte .

o mejor es gr aficarlo a para que q quede ¡OJO! V (vector) no es constante Cambia consstantemente de dirección, lo claro. o, por ejemplo el tiempo que e tarda en dar una vuelta coompleta es Definamos ciertas caraacterísticas de l movimiento constante e , y se lo denomina período : T o τ = 2 π/ ω y a la inv versa del perioodo se la deno o mina frecuenncia : la cantiddad de vueltas que da el mó vil (o partículla en el MCU) en n un segundo. . f = 1/ T = ω / 2 π 

[T T] = s; [f]= 1/s ≡ Hz

A partir de d la definicióón (1) Δθ / Δt ≡ ω  Δθ = ω Δt  θ – θ0 = ω (t – t0)

Posició n angular en un MCU

Digresión: El concept o de velocidad angular se ppuede emplearr para todo tipo de trayectorias, por ejemplo, el moviimiento rectilííneo, visto desde un punto O. r ación en un MCU: ¿Cómo es? ¿Existe una aceleracióón? Porque ell módulo Aceler de |v| ==cte. En princcipio para que no haya aceleeración el “ve ctor” velocida d debe ser con n stante. Que nno lo es en este caso. Pero para hacerlo más m claro calculemos u la am, entre los puntos 1 y 2 ó 2 y 3 o cualquier pa ar de puntos del d gráfico.    

am-12 = v2-v 1/(t2-t1) = (-v,,-v)/ (T/4) = am-23 = v3-v 2/(t3-t2) = (-v,, v)/ (T/4) = am-34 = v4-v 3/(t4-t3) = ( v, v)/ (T/4) = am-41 = v1-vv4/(t5-t4) = ( v,-v)/ (T/4) =

4 v/T (-1,-1) 4 v/T (-1, 1) 4 v/T ( 1, 1) 4 v/T (1,-1) etc. e

Vemos que por ejempllo, si bien |v| ee s constante, hay aceleración am en el MCU, M no es conn stante. Usemos m el siguientee gráfico para entender la ac celeración en eel MCU. A medida a que tomamo os tiempos (Δtt) más cercanoos am  ai ell vector aceleración cambia de dirección hasta hacerse rradial y entran te.

Δ = v2 – v1 ┴ v y por lo tanto el Δv t A m edida que v 1 y v2 se hacenn cada vez máás cercanas Δv se hace próximo al arco.

En laa figura de la izquierda i observarán e que l os o siguientes triángulos son ssemejantes  entonces sus lados homóloogos son semeejantes Δv/vv = Δr / r  Dividdo m.a.m porr Δt Δv/ (v ( Δt) = Δr/(r Δt) y en ell límite Δt 0 el an / v = v/r 

Δ Δt  an lím Δv/

2 an = v /r Aceleracción normal o centrípeta

Por lo tan nto si el movimiento del obj eto o partículla en observacción realiza un n movimientoo circular unifoorme MCU lass ecuaciones qque caracteriza a n su movimieento son (obseerve que todass las magnitu des d que evaluamos a son los módu ulos no los vec ctores): 1. 2. 3. 4. 5. 6.

|r| = cte ≡ R |ω| = cte |v| = cte = vt = ω R |an| = cte = ω2 R = vt ω = vt2/ R = 2π/ω = 1/f Período = T= Frecuencia = f = ω/ 2π

Llamamo os v = vt, velo ocidad tangencial, por redunndancia y paraa fijar conceptos, porque la velocidad es siempre tangente a la circunfer encia de mo vimiento.

Cuando teníamos t MRU U las ecuacion n es eran: i) ii) iii)

a=0 v = cte = v0 x(t) = x0 + v0 (t-t0)

De 3. vt = cte  at=0 relacionada c on el cambio en el móduloo, o sea con la “rapidez”. De 2. |ω| = cte  ω = Δθ/Δt = dθ/ddt = cte  d((dθ/dt)/dt = d2 θ/dt2 = dω /dt =0  Si llamo acelera ción angular, γ, al cambio ttemporal de laa velocidad a ngular resulta 7. 8. 9. 10.

γ = dω /dt =00 ω = cte θ(t) – θ0 = ω (t - t 00)  ω = Δθ/Δt   Δθ = ω Δt  Δ s = R Δθ  s(t) - s0 = R ω (t - t0) 

θ(t) θ = θ0 + ω ((t - t0) s(t) ( = s0 + R ω (t - t0)

Ejemplo Un objeto recorre una trayectoria circular, en el plano horizontal, de 3 metros de radio manteniendo en todo instante su velocidad lineal de módulo constante. Sabiendo que tarda 10 segundos en dar una vuelta, calcular: a) La frecuencia y el periodo del movimiento. b) La velocidad angular y la velocidad lineal del objeto c) El ángulo descrito y el espacio recorrido en 1/2 minuto. d) La aceleración del objeto. Solución: Datos : R = 4 m t1vuelta=10s Veamos 1- La trayectoria es circular  MC y 2- La velocidad lineal (tangencial) es de módulo constante  MCU . El tiempo que tarda en dar una vuelta es nuestra definición de período del MCU. a)

T = 10 s

y

f = 1/T = 0.1 Hz

Para calcular la velocidad angular, ω, utilizaremos la expresión que la relaciona con el periodo T en el MCU. ω=2⋅π/T ⇒ ω = 6.28 rad / 10 s ⇒ ω = 0.628 rad/s Y la velocidad lineal es: v = ω⋅R ⇒ v = 0.628 rad/s ⋅ 3 m ⇒ v=1.884 m/s b) ω = 0.628 rad/s

y

v = 1.884 m/s

Si quiero conocer el ángulo barrido, θ (t), recuerdo que para el movimiento circular uniforme ω = cte Y eso quiere decir que γ=0 (aceleración angular) y que θ (t) = θ0+ ω (t – t0) Entonces como en el MRU, tenemos que conocer o definir las condiciones iniciales (θ0, ω, t0) del movimiento ω = 0.628 rad/s; θ0 = θ(t = t0) ≡ θ(t0=0) ≡0 θ (t) = 0 rad + 0.628 rad/s (t – 0s)

 θ (t) = 0.628 rad/s t

 θ (t) = 0.628 rad/s 30s ≈ 18.84 rad Recordar que una vuelta (2π radianes) la da en 10 segundos, entonces en 30 segundos dará tres vueltas. Calculemos ahora el espacio recorrido Δs = R Δθ

s(t) - s0 = R [ θ (t ) – θ0]

Como antes las condiciones iniciales (θ0, s0, t0) del movimiento  s(t) = R θ (t ) = R ω t = R 0.628 rad/s t = vt t = 1,884 m/s t s(t=30s) = 1,884 m/s 30s = 56,52 m c)

θ (t=30s) =18.84 rad

y

s(t=30s) = 56,52 m

Finalmente dado que es un MCU la aceleración es la aceleración normal o centrípeta (para todo t): d) γ=0 rad/ s2; at=0 m/ s2 y an = v2 / R = ω2⋅R ≈ 1,18m/s2;...