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Movimiento circular uniforme

Situación problemática

Solución de la situación problemática

LECCIÓN 1 de 2

Situación problemática

En un centro de entrenamiento para pilotos de avión caza bombarderos, nos pidieron que pongamos en funcionamiento un equipo para monitorear a los pilotos en su respuesta con respecto a las fuerzas producidas por las aceleraciones "g". En la figura 1, se observan los elementos del equipo.

Figura 1: Elementos del dispositivo de prueba G

Fuente: elaboración propia.

Antes de poner a funcionar el equipo, debemos hacer unos cálculos de verificación y de calibrado que pasamos a detallar.

Cálculos de verificación:

Velocidad máxima de rotación del brazo giratorio con una aceleración centrípeta de 5g (expresada en r.p.m. y despreciar el rozamiento del brazo móvil con el plato fijo).

Velocidad de las correas "C" (expresada en m/seg).

Velocidad de rotación de la polea conducida (expresada en r.p.m.).

Además, debemos calibrar el sistema de seguridad que está ubicado debajo del asiento del piloto, este sistema actúa como el sistema de hombre muerto, ya que en caso de desvanecimiento del piloto (producto de la aceleración) el dispositivo corta la corriente automáticamente. Es decir, se debe ajustar la fuerza de accionamiento de un gatillo, que está unido al piloto por un sistema de cable de acero, de manera que, si el piloto de 80 kg llega a 5 g, el gatillo acciona el corta corriente eléctrico para que no se produzca un accidente. El calibrado depende de la aceleración y la masa del piloto.

Para resolver esta situación, previamente, deberemos realizar una actividad exploratoria sobre algunos conceptos. Como ya hemos señalado en lecturas anteriores, para toda situación problemática física implementaremos el procedimiento de cuatro pasos llamado E.P.R.E. (E: evidenciar los datos e incógnitas; P: proponer la solución a través de fórmulas físicas; R: resolver numéricamente; y E: evaluar los resultados).

A continuación, algunos conceptos y definiciones que serán útiles para resolver la situación problemática planteada.

Movimiento circular uniforme (MCU)

Las velocidades de los automóviles, bicicletas, fresas de corte, brocas, así como muchos otros ejemplos (en definitiva, todo movimiento que tenga una rueda o círculo en su cinemática), experimentan generalmente un movimiento circular uniforme (MCU). Vamos a determinar las ecuaciones del movimiento circular uniforme (MCU) por medio del análisis de la figura 2.

Figura 2: Determinación de las ecuaciones del MCU

Fuente: elaboración propia.

De acuerdo con la figura 2, podemos intuir que hay otro tipo de velocidad cuyo vector está en forma perpendicular al plano formado por la velocidad y la aceleración centrípeta; este vector será entrante o saliente, de acuerdo con la convención que se adopte. Este vector se denomina velocidad angular w.

La velocidad angular w está representada por la fórmula w = 2 p /T y su unidad es [1/seg]. T es el periodo o tiempo en recorrer una revolución, con esto podemos definir la frecuencia f = 1/T, que representa la cantidad de rotaciones en la unidad de tiempo. Cuando el periodo está medido en segundos, la frecuencia se mide en hertzio [Hz], o sea que

podemos decir que la velocidad angular w = 2p f. En los motores es común expresar la velocidad angular en revoluciones por minuto (r.p.m.), la frecuencia en los motores es común representarla con la letra n.

La fórmula que vincula la velocidad tangencial con la velocidad angular es: v = w . r; ahora, podemos obtener v = 2p n r.

Con lo explicado de la velocidad tangencial, de la velocidad angular y su vinculación, podemos hacer las siguientes consideraciones:

a) Vemos que la velocidad tangencial depende del radio, por lo tanto, su rapidez varía desde un valor 0 a un valor máximo que es proporcional al radio r.

b) La velocidad angular no depende del radio, por lo tanto, la velocidad angular en el centro de giro va a ser igual a la misma que en la periferia del círculo de radio r.

En la figura 3, representamos la variación de velocidad tangencial en un disco que gira con una velocidad angular constante w. La velocidad tangencial es una velocidad que varía punto a punto, de acuerdo con la trayectoria circular. Por lo tanto, es conveniente hablar de rapidez tangencial.

Figura 3: Representación de la variación de la velocidad tangencial

Fuente: elaboración propia.

Fuerza centrípeta

La fuerza centrípeta es propia de la dinámica del MCU. Si aplicamos la segunda ley de Newton al MCU, aparece el concepto de fuerza centrípeta, dado que tenemos una aceleración centrípeta cuyo valor se mantiene constante y en dirección concurrente al centro de rotación.

Podemos decir que la fuerza neta que mantiene a la partícula u objeto en rotación uniforme es la fuerza centrípeta, su fórmula es Fc = m . ac; donde Fc es la fuerza centrípeta y con dirección al centro de rotación, m es la masa cuya unidad en el SI es [kg] y ac es la aceleración centrípeta cuya fórmula es ac = vt2/r. Si reemplazamos en la fórmula de fuerza centrípeta nos queda: Fc = m vt2/r.

Algo que es usado, aunque mal expresado, es la fuerza centrífuga, que sería una fuerza de igual valor, pero con sentido contrario a la fuerza centrípeta. Veremos por qué no existe la fuerza centrífuga, si existiese, la partícula o cuerpo estaría en equilibrio. Para ello, aplicamos la primera ley de Newton, que expresa que la fuerza neta actuante en un cuerpo o partícula es 0 y, por lo tanto, el cuerpo o partícula está en equilibrio o moviéndose con MRU. Esto no es cierto, ya que el cuerpo rota con rapidez constante y tiene una aceleración centrípeta hacia el centro de rotación, que lo hace rotar y determina un MCU. La aceleración centrípeta es la que forma la fuerza centrípeta que mantiene al cuerpo rotando en una trayectoria circular.

En caso que el elemento que mantiene a la partícula o cuerpo en trayectoria circular se cortara, la partícula o cuerpo saldría con una velocidad tangencial y con una trayectoria tangente al punto de corte. El análisis del movimiento del cuerpo o partícula, un instante después del corte, corresponde al movimiento de un proyectil.

En la figura 4, observaremos un gráfico con la representación de la fuerza centrípeta y de la aceleración centrípeta.

Figura 4: Gráfico de la fuerza centrípeta y aceleración centrípeta de un cuerpo de masa m

Fuente: elaboración propia.

LECCIÓN 2 de 2

Solución de la situación problemática

Las incógnitas están colocadas en las consignas, por lo tanto, pasaremos a proponer la solución y resolver la situación.

Para averiguar la velocidad máxima de rotación del brazo giratorio, procederemos a averiguar la rapidez tangencial del brazo giratorio. Para ello, recordaremos la fórmula de aceleración centrípeta explicada en esta lectura que es: ac = V2/r; de esta fórmula despejamos V = (ac .r) ½, antes de reemplazar por los valores numéricos debemos homogenizar las unidades como lo vimos en la lectura 1 del módulo 1. Así, vamos a pasar la longitud del brazo de 2.000 [mm] a [m], para esto hacemos 2.000 . 1/1.000 [m] = 2[m], ahora podemos reemplazar por los valores numéricos, ya que sabemos que ac = 5. 9,8 [m/seg2]. De este modo, nos queda: V = (5 . 9.8 [m/seg2] . 2[m])½ ; resolvemos V = 9,89 [m/seg], y redondeamos a V = 10 [m/seg].

Con el valor expresado anteriormente, determinaremos la velocidad de rotación. Para ello, recordemos que la fórmula que vincula la rapidez tangencial con la velocidad angular es la siguiente: V = 2p. n . r / 60, aquí debemos despejar n = V . 60 / 2 p . r. Luego, reemplazamos los valores numéricos y nos queda n = 10 [m/seg] . 60 [seg/min] / 2p. 2 [m]. Finalmente, resolvemos y obtenemos n = 47,74 rpm.

El resultado corresponde a las revoluciones por minuto que debe girar el piloto en el dispositivo graficado para experimentar una aceleración de 5 g.

Para resolver el próximo punto, debemos determinar la rapidez tangencial en la polea conductora y, luego, obtener la rapidez tangencial de la polea, que resulta ser la rapidez de las correas por estar en contacto con la polea conductora. La velocidad angular de la polea conductora es la misma que la velocidad de rotación del motor eléctrico de 100 hp y que su velocidad de rotación es de 1.480 rpm. Antes de recordar la fórmula que vincula la velocidad angular o de rotación con la rapidez tangencial, homogenizaremos las unidades del radio de la polea de milímetro a metro. Para

esto, operamos de acuerdo con lo estudiado en las lecturas anteriores. Hacemos: 200 . 1 / 1.000 [m]; el radio de la polea conductora es r = diámetro / 2; reemplazamos por los valores numéricos r = 0,2[m] / 2; resolvemos y nos queda r = 0,1 [m]. La fórmula que vincula la rapidez tangencial con la velocidad angular está dada, como vimos en esta lectura, por V = 2p.n . r/60; reemplazamos por los valores numéricos y nos queda V = 2p . 1480 . 0,1 [m] /60. Finalmente, resolvemos y nos queda V = 15,50 [m/seg].

De este modo, 15,50 [m/seg] es la velocidad a la que están sometidas las correas, con este valor verificaremos en el catálogo del fabricante si las correas están dentro del rango de la rapidez de uso.

El siguiente punto lo resolveremos a partir de la rapidez de las correas, que es la misma que la rapidez tangencial de la polea conducida. Para resolver esta situación, primero homogenizaremos las unidades del diámetro de la polea conducida, según lo visto en la lectura 1 del módulo 1. Para ello, aplicamos 800 . 1/1.000 [m], el diámetro es de 0,8 [m], por lo tanto, el radio es el diámetro dividido dos. Aplicamos r = 0,8[m] /2; r = 0,4[m], luego aplicamos la fórmula V = 2p.n .r /60, despejamos n = V . 60/ 2p.r; y reemplazamos por los valores numéricos. De este modo, nos queda n = 15,5 [m/seg].60 / 2p 0,4 [m], finalmente, resolvemos y obtenemos n = 370 rpm.

El resultado del último punto está ligado a la masa de cada piloto que se vaya a someter a la prueba, en este caso, el piloto tiene una masa de 80 kg. Para determinar la fuerza de calibración del gatillo aplicaremos la fórmula que vimos en esta lectura que es Fc = m.ac. Si reemplazamos por los valores numéricos, nos queda Fc = 80 [Kg] . 5 . 9,8 [ [m/seg2], resolvemos y obtenemos Fc = 3920 [N].

Esta es la fuerza centrípeta que va a experimentar el piloto de 80 kg de masa. Recordemos el concepto, la fuerza centrífuga no existe.

El radio de la rueda trasera de una bicicleta es de 0,4 [m] ¿cuál es la rapidez de rotación de esa rueda trasera, si la bicicleta se desplaza con una rapidez de 500 [m/min]?

w = 199 rpm.

w = 2.000 rpm.

w = 199 [m/min].

w = 199 [m/seg].

w = 20 rpm.

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